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长沙市一中教案


长沙市第一中学高二数学备课组

选修 2-3 教案

1.3 组合 第一课时 教学目标
理解组合及组合数的意义, 掌握组合数与排列数的联系, 掌握组合数公式及其推导并能解决一 些简单的组合问题.

教学重点与难点
1、 组合及组合数的意义,2、组合数与排列数的联系。 、

教学过程
一、复习引入: 复习引入: 1 分类加法计数原理:做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同
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的方法,在第二类办法中有 m 2 种不同的方法,……,在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法 那么完
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成这件事共有 N = m1 + m2 + L + mn 种不同的方法

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2.分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法, 做 第 二 步 有 m2 种 不 同 的 方 法 , … … , 做 第 n 步 有 mn 种 不 同 的 方 法 , 那 么 完 成 这 件 事 有

N = m1 × m2 ×L × mn 种不同的方法

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3.排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ≤ n )个元素(这里的被取元素各不相同) 按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 ..... ....
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4.排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ≤ n )个元素的所有排列的个数叫做从 n 个 元素中取出 m 元素的排列数,用符号 An 表示
m m
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5.排列数公式: An = n( n ? 1)( n ? 2)L ( n ? m + 1) ( m, n ∈ N ? , m ≤ n ) 6 阶乘: n ! 表示正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘 规定 0! = 1 .
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7.排列数的另一个计算公式: An =

m

n! (n ? m)!

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二.设置情境 问题 1:有 5 本不同的书 : 本分给甲、 有几种不同的分法? (1)取出 3 本分给甲、乙、丙三人每人 1 本,有几种不同的分法? ) (2)取出 4 本给甲,有几种不同的取法? ) 本给甲,有几种不同的取法? 分析:问题(1)中,书是互不相同的,人也互不相同,所以是排列问题,而在问题(2)中,书不 相同,但甲所有的书只有数量的要求而无“顺序”的要求,因而问题(2)不是排列问题, 它就是我们这一节要研究的组合问题. 三.探索研究 1.组合 问题 2: 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去分别参加上午与下午的活动,有多少种不同的选法? 从甲、 名去分别参加上午与下午的活动,有多少种不同的选法? 从甲、 名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动,有多少种不同的选法?
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很明显,从 3 名同学中选出 2 名,不同的选法有 3 种: 甲、乙 乙、丙 丙、甲 所选出的 2 名同学之间并无顺序关系,甲、乙和乙、甲是同一种选法. 每次取出两个点作一条直线, 问题 3:从不在同一条直线上的三点 A 、 B 、 C 中,每次取出两个点作一条直线,问可以得到几条 从不在同一条直线上的三点 不同的直线? 不同的直线? 根据直线的性质,过任意两点可以作一条直线,并且只能作一条直线,所以过 A 、 B 两点 只能连成一条直线,因此可以得到三条直线: AB 、 BC 、 AC ,直线 AB 与直线 BA 是一条 直线,这也就是说, “把两点连成直线”时,不考虑点的顺序. 归纳总结 四.归纳总结 1.一般地,从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n )个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 一般地, 个元素并成一组, 一般地 元素的一个组合. 元素的一个组合. 说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同 例 1.判断下列问题是组合还是排列 (1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种 不同的飞机票价? (2)高中部 11 个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛? (3)从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选 法?选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法? (4)10 个人互相通信一次,共写了多少封信? (5)10 个人互通电话一次,共多少个电话? 问题 4: (1)1、2、3 和 3、1、2 是相同的组合吗? 什么样的两个组合就叫相同的组合? 问题 5;什么样的两个组合就叫相同的组合? (1)排列与组合的区别:排列与元素的顺序有关,而组合与元素的顺序无关, )排列与组合的区别:排列与元素的顺序有关,而组合与元素的顺序无关, (2)如果两个组合中的元素相同,那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合;只有当两个组合 )如果两个组合中的元素相同,那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合; 中的元素不完全相同时,才是不同的组合. 中的元素不完全相同时,才是不同的组合.
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2.组合数及其公式 . 个元素的所有组合的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 素的所有组合的个数, 从 n 个不同元素中取出 m( m ≤ n ) 个元素的所有组合的个数, 个元素的组合数.记作 Cn . 个元素的组合数. 是一个数,应该把它与“组合”区别开来. 这里要注意 Cn 是一个数,应该把它与“组合”区别开来.例如,从 3 个元素 a , b , c 中每 次取出 2 个元素的所有组合是 ab 、 bc 、 ac ,而组合数是 C3 = 3 .
2 m m

排列与组合是有区别的,但它们又有联系.一般地,求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排 列数 An ,可以分为以下 2 步: 第 1 步,先求出从这 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 Cn . 第 2 步,求每一个组合中 m 个元素的全排列数 An . 根据分步计数原理,得到
m m m An = Cn ? Am m m m

因此

m Cn =

m An n(n ? 1)(n ? 2 )L (n ? m + 1) = . m Am m!

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这里 m 、 n ∈ N + ,且 m ≤ n ,这个公式叫做组合数公式. 上面的公式还可以写成
m Cn =

n! . m !(n ? m ) !

上面第一个公式一般用于计算, 较大时,利用第二个式子计算组合数较为方便, 上面第一个公式一般用于计算,但当 m 、 n 较大时,利用第二个式子计算组合数较为方便, 在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时,常用第二个公式. 在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时,常用第二个公式. 五.例题讲解 例 2.计算: ) C7 .计算: (1) ( 解: (1) C7 =
4
m
4

(2) C10 ) (2) C10 =
7 7 A10 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = = 120 7 A7 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1

7

4 A7 7 × 6 × 5 × 4 = = 35 4 A4 4 × 3 × 2 × 1

求证: 例 3 求证: Cn = 证明:右边 =

m + 1 m +1 Cn . n?m

m + 1 m +1 m + 1 n! Cn = ? n?m n ? m (m + 1) ! (n ? m ? 1) ! m +1 n! n! m ? = = Cn = 左边 (m + 1) ! (n ? m) (n ? m ? 1) ! m !(n ? m ) !
x ?1

=

所以原式得证.

例 4.设 x ∈ N + , 求 C 2 x ?3 + C x +1 的值
2x ? 3 ≥ x ? 1 解:由题意可得: ? ? ?x + 1 ≥ 2x ? 3

2 x ?3

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,解得 2 ≤ x ≤ 4 ,

∵ x ∈ N+ ,

∴ x = 2 或 x = 3或 x = 4 ,

当 x = 2 时原式值为 7;当 x = 3 时原式值为 7;当 x = 4 时原式值为 11. ∴所求值为 4 或 7 或 11. 六.演练反馈
1.解方程: 11C x = 24C x +1 .
3 2

解:原方程可化为

11 ?

x! (x + 1) ! = 24 ? 3 ! ( x ? 3) ! 2 !( x ? 1) !

整理得

11x 2 ? 105 x ? 50 = 0

解得 x = 10 或 x = ?
m m +1

5 (不合题意舍去) .经检验 x = 10 是原方程的根. 11
m+2

2.已知 Cn + 2:Cn + 2 :Cn + 2 = 3:5 ,求 m 、 n 的值. 5:

解:依题意得
m m ?3Cn ++21 = 5Cn + 2 ? ? m+1 m ?Cn + 2 = Cn ++22 ?

整理得 ?

?8m ? 3n = 1 ?n ? 2 m = 1

解得

?m = 2 ? ?n = 5

3.教材 P25 面练习 1、5、6。
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七.总结提炼 1、组合的定义简单地说,一是取出元素,二是并成一组,与排列是有区别的. 2、要能理解、记住并正确地运用,尤其要注意逆用公式. 课后作业 八.课后作业 习案》 《习案》与《学案》

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