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③限时作业 对数函数


课后限时作业(九)
A级
(时间:40 分钟 满分:90 分) 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分)

1 ?1? 1.(2013 届·厦门质检)若 a ? log 2 sin , 3b ? log 1 b , ? ? ? log3 c ,则 ( ) 3 ? 3? 3
3

c

/>
A.a>b>c C.c>b>a

B.b>c>a D.b>a>c
b

解析:因为 3 a <0,故 a<0.因为 3 >0,b>0,故 log 1 b >0,所以 0<b<1.因为 c>0,故 ? ? <1,所
3

?1? ?3?

c

以 0<log3c<1,所以 1<c<3,所以 a<b<c. 答案:C 2.已知 a>0 且 a≠1,函数 y=logax,y=a 在同一坐标系中的图象可能是 ( )
x

解析:逐项判断,易知选 D. 答案:D 3. 已 知 不 等 式 log x (2x2 ?1) ? log x (3x) ? 0 成 立 , 则 实 数 x 的 取 值 范 围 是 ( A. (0, ) )

1 3

B. (0, )

1 2

C. ( ,1)

1 3

D. ( , )

1 1 3 2

解析:因为 log x (2x2 ? 1) ? 0, 2x2 ? 1 ? 1, 所以 0<x<1. 所以 2 x ? 1 ? 3x ? 1, 2 x ? 1 ? 3x ? 1, .所以
2 2

1 1 ? x ? .故选 D. 3 2

答案:D 4. 若 函 数 y ? log (x ? b ) (a>0 , 且 a ≠ 1) 的 图 象 过 两 点 ( -1 , 0 ) 和 ( 0 , 1 ) 则 , a ( A.a=2,b=2 B.a= 2 ,b=2 C.a=2,b=1 D.a= 2 ,b= 2 )

解析:由函数过(-1,0)和(0,1)知 ? 答案:A

?log a (b ? 1) ? 0, ? a ? 2, 解得 ? 选 A. ?b ? 2. ?log a (0 ? b) ? 1,

5.(2013 届·龙岩质检)已知函数 f ( x ) ? ? A.-1 B.

?log 2 x, x ? 0; ? 2 , x ? 0.
x

若 f (a) ?

1 ,则 a 的值为( 2
D.-1 或 2



2

C.-1 或

1 2

解析:若 a>0,有 log 2 a ? 答案:D

1 1 , a ? 2 ;若 a≤0,有 2 a ? ,a=-1,故选 D. 2 2

6.(2013 届·海淀质检)函数 f(x)=log2x-

1 的零点所在区间为 x

( )

A. ? 0, ? C.(1,2)

? ?

1? 2?

B. ?

?1 ? ,1? ?2 ?
1 1 1 =1- = >0,所以零点在区间(1,2) 2 2 2

D.(2,3)

解析:因为 f(1)=log21-1=-1<0,f(2)=log22-

上. 答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 7.方程 lg x+lg(x+3)=1 的解是 x= . 解析:lg x+lg(x+3)=lg(x +3x)=1,所以 x +3x=10,解得 x=2,x=-5(舍去). 答案:2 8. ?
2
2

?1? ? ?2?

log

2

8

的值为
log 8 6

.

?1? 解析: ? ? ?2?
答案:164

2

1 1 ?1? =? ? ? 6 ? . 64 ?2? 2

? 1 x ?( ) , x ? 0; 9. 函数 f ( x) ? ? 2 ?log 2 ( x ? 2), x ? 0. ?
若 f( x0 )≥2,则 x0 的取值范围是 .

解析:函数的图象如图所示,f( x0 )≥2 的范围分两种情况,即 x>0 和 x<0,求出 f(x)=2 的 函数值即可求出范围.

答案: (-∞,-1]∪[2,+∞) 10. 已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈[-1,1]时,f(x)= x 2 ,则 y=f(x) 与 y=lg x 的图象的交点个数为 . 解析:函数 y=lg x 的定义域为(0,+∞),故 y=f(x)与 y=lg x 的图象在(-∞,0]上没有 交点.由题知,f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时,f(x)的图象是一段抛物线,且最大值为 1,最小值为 0.当 x=10 时,y=lg x=lg 10=1,从而可知两个函数的图象在区间[1,3] 、 [3,5][5,7][7,9]上各有两个交点,在[9,10]上有一个交点,在[10,+∞)上 、 、 没有交点,故 y=f(x)与 y=lg x 的图象的交点个数为 9. 答案:9 三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 12 分,共 24 分) 11. 求下列各式的值: (1)2lg 2+lg 25. (2) log 2 ( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) . .
4

(3) 2log 1
2

2 ? log5

1 ? log5 14. 70

(4) log6 [log4 (log3 81)]. 解: (1)原式=2lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2lg 10=2.

(2)原式 ? 2 log 2 ( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) 2 ? 2 log(3 ? 5 ? 2 9 ? 5 ? 3 ? 5) ? 2 log 2 2 ? 2. (3)原式 ? 2 log 1 2 ? log 5 70?1 ? log5 14 ? log 1 2 ? log 5 70 ? log 5 14
2 2 1 2

70 ? ?1 ? 1 ? 0. 14 (4)原式 ? log 6 [log 4 (log 3 34 )] ? log 6 (log 4 4) ? log 6 1 ? 0. ? ?1 ? log 5
12. 设函数 y=f(x),且 lg(lg y)=lg(3x)+lg(3-x). (1)求 f(x)的表达式及定义域. (2)求 f(x)的值域. 解: (1)因为 lg(lg y)=lg(3x)+lg(3-x),

? x ? 0, ?0 ? x ? 3, ? 所以 ?3 ? x ? 0, 即 ? ?lg y ? 0, ? y ? 1. ?
又因为 lg(lg y)=lg[3x·(3-x)], 所以 lg y=3x(3-x). 因此 y ? f ( x) ? 10
3 x (3? x )

? 10?3x ?9 x (0 ? x ? 3).
2

3 27 (2)因为 ? 3 x 2 ? 9 x ? ?3( x ? ) 2 ? (0 ? x ? 3), 2 4 27 所以0 ? ?3 x 2 ? 9 x ? , 4 因此1 ? y ? 10 4 , 即值域为(1, 4 ]. 10
(2)因为-3x2+9x=-3x-322+274(0<x<3), 所以 0<-3x2+9x≤274, 因此 1<y≤10274,即值域为(1,10274].
27 27

B级
1. 已 知 f ( x) ? loga [(3 ? a) x ? a] 是 其 定 义 域 上 的 增 函 数 , 那 么 a 的 取 值 范 围 是 ( ) A.(0,1) C.(0,1)∪(1,3) 解析:记 u=(3-a)x-a, B.(1,3) D.(3,+∞)

当 1<a<3 时, f ( x) ? log a u 在(0,+∞)上为增函数, u=(3-a)x-a 在其定义域内为增函数, 所以此时 f(x)在其定义域内为增函数,符合要求. 当 a>3 时, f ( x) ? loga u 在其定义域内为增函数, 而 u=(3-a)x-a 在其定义域内为减函数, 所以此时 f(x)在其定义域内为减函数,不符合要求. 当 0<a<1 时,同理可知 f(x)在其定义域内是减函数,不符合题意.故选 B. 答案:B 2.(2011·辽宁)设函数 f(x)= ? ( ) A.[-1,2] C.[1,+∞) 解析:由题意知 ? 答案:D

?21? x , x ? 1, ?1 ? log 2 x, x ? 1.

,则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是

B.[0,2] D.[0,+∞)

? x ? 1, ?2
1? x

? x ? 1, 或? 解得 x≥0. ? 2 ?1 ? log 2 x ? 2,

1 1 , log a b, logb 的大小关系是 . b b 1 1 1 1 解析:因为 0<a<1,b>1,ab>1,所以 log a ∈(0,1),b> , log a b ? log a =-1= log b ,所 b a a b 1 1 以 log a b ? log b ? log a . b b
3.已知 0<a<1,b>1,ab>1,则 log a

答案: log a b ? log b

1 1 ? log a b b

= 解析: f ? ? ? ln 答案:

?1? ? 3?

1 1 ? ? ln 3 ? 0, f(-ln 3)=e-ln 3= . 3 3

1 . 3

5.已知过原点 O 的一条直线与函数 y= log8 x 的图象交于 A、B 两点,分别过 A、B 作 y 轴的 平行线与函数 y= log 2 x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明点 C、D 和原点 O 在同一直线上; (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标. (1)证明:设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2, 由题设知 x1>1,x2>1,则点 A、B 的纵坐标分别为 log8 x1 、 log8 x2 . 因为 A、B 在过点 O 的直线上,所以

log8 x1 log8 x2 . ? x1 x2

点 C、D 的坐标分别为(x1, log 2 x1 )、(x2, log 2 x2 ), 由于 log 2 x1 =

log 8 x1 =3 log8 x1 , log 2 x2 =3 log8 x2 , log 8 2

OC 的斜率为

OD 的斜率为 由此可知 k1=k2,即 O、C、D 在同一直线上. (2)解:由于 BC 平行于 x 轴,知 log 2 x1 = log8 x2 ,

即得 代入

由于 x1>1,知 又因 x1>1,解得 x1= 3 ,于是点 A 的坐标为( 3 , log8 3 ). 6.已知函数 f(x)=-x+ log 2 (1) f (

1? x . 1? x

1 1 ) ? f (? ) 的值; 2007 2007

(2)试判断函数 f(x)在(-1,1)上的单调性并加以证明; (3)当 x∈(-a,a] (其中 a∈(-1,1),且 a 为常数)时,f(x)是否存在最小值,若存在,求 出最小值;若不存在,请说明理由. 解: (1)易求 f(x)的定义域是(-1,1), 因为 f(-x)=-(-x)+ log 2

1? x 1 ? (? x) =-(-x+ log 2 )=-f(x), 1? x 1 ? (? x)

所以 f(x)为奇函数,所以 f ( (2)设-1<x1<x2<1, 因为 f(x2)-f(x1)= ? x2 ? log 2

1 1 ) ? f (? ) =0. 2007 2007

1 ? x2 ? 1 ? x1 ? 1 ? x1 ? x2 ? x1 x2 , ? ?? x1 ? log 2 ? ? ( x1 ? x2 ) ? log 2 1 ? x2 ? 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? x1 ? x1 x2

因为 x1-x2<0,1+x1-x2-x1x2-(1+x2-x1-x1x2)=2(x1-x2)<0, 所以 1+x1-x2-x1x2<1+x2-x1-x1x2. 所以 0<

1 ? x1 ? x2 ? x1 x2 <1. 1 ? x2 ? x1 ? x1 x2 1 ? x1 ? x2 ? x1 x2 <0.所以 f(x2)-f(x1)<0. 1 ? x2 ? x1 ? x1 x2

所以 log 2

所以 f(x)在(-1,1)上单调递减. (3)因为 f(x)在(-1,1)上单调递减,又 a∈(-1,1),当 x∈(-a,a]时,有最小值,且最 小值为 f(a)=-a+ log 2

1? a . 1? a


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