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【高考讲坛】2015届高三数学(理,山东版)一轮限时检测9 对数与对数函数]


课时限时检测(九) 对数与对数函数 (时间:60 分钟 考查知识点及角度 对数的运算 对数函数的图象 对数函数的性质 综合应用 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.(2013· 重庆高考)函数 y= A.(-∞,2) C.(2,3)∪(3,+∞) 【解析】 【答案】 1 的定义域是( log2?x-2? B.(2,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞) ) 满分:80

分)命题报告 题号及难度 基础 2,7 3,8 1,4 9,10 5,6,11 12 中档 稍难

?log2?x-2?≠0, 由? 得 x>2 且 x≠3,故选 C. ?x-2>0, C )

1 2.(2014· 潍坊模拟)已知 log7[log3(log2x)]=0,那么 x-2等于( 1 A.3 3 C. 3 【解析】 3 B. 6 2 D. 4

由 log7[log3(log2x)]=0,得 log3(log2x)=1,即 log2x=3,解得 x

1 1 1 1 2 =8,所以 x- =8- = = = . 2 2 8 2 2 4 【答案】 D 1 的图象是 x+1

3.若函数 f(x)=ax-1 的图象经过点(4,2),则函数 g(x)=loga ( )

A 【解析】

B

C

D

3 由题意可知 f(4)=2,即 a3=2,a= 2.

1 3 3 ∴g(x)=log 2 =-log 2(x+1). x+1 方法一:由于 g(0)=0,且 g(x)在定义域上是减函数,故排除 A、B、C,选 D. 3 关于x轴对称 3 向左平移1个单位 3 方法二:y=log 2x ― ― → y=-log 2x ― ― → y=-log 2 (x+1),选 D. 【答案】 D )

4.(2013· 课标全国卷Ⅱ)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( A.a>c>b C.c>b>a 【解析】 B.b>c>a D.c>a>b

a=log32<log33=1;c=log23>log22=1,

由对数函数的性质可知 log52<log32,∴b<a<c,故选 D. 【答案】 D 1? = 2? ?

? 5. (2013· 辽宁高考)已知函数 f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1, 则 f(lg 2)+f?lg ? ( ) A.-1 C .1 【解析】 B.0 D.2

f(x)+f(-x)=ln( 1+9x2-3x)+ln( 1+9x2+3x)+2=ln(1+9x2

-9x2)+2=ln 1+2=2, ? 由上式关系知 f(lg 2)+f?lg ? 【答案】 D 1? =f(lg 2)+f(-lg 2)=2. 2? ?

log x, ? ? 2 6.(2014· 长沙模拟)设函数 f(x)=? 1 log ?-x?, ? ? 2 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) )

x>0, x<0,

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

1 【解析】 ①当 a>0 时,-a<0,由 f(a)>f(-a)得 log2a>log2a,∴2log2a >0,∴a>1. 1 ②当 a<0 时,-a>0,由 f(a)>f(-a)得,log2 (-a)>log2(-a), ∴2log2(-a)<0,∴0<-a<1,即-1<a<0. 由①②可知-1<a<0 或 a>1. 【答案】 C

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.(2013· 四川高考)lg 【解析】 【答案】 5+lg 20的值是________.

lg 5+lg 20=lg 100=lg 10=1. 1

8.函数 y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过定点________. 【解析】 ∵loga1=0,∴x-1=1,即 x=2,此时 y=2.

因此函数图象恒过定点(2,2). 【答案】 (2,2)

1? ? 9.(2014· 烟台模拟)已知函数 f(x)=ln x,若 x1,x2∈?0,e?且 x1<x2,则 ? ? ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 ?x1+x2? f?x1?+f?x2? ?< ②f? 2 ? 2 ? ③x1f(x2)>x2f(x1) ④x2f(x2)>x1f(x1) 上述结论中正确的命题序号是________. 【解析】 1? ? f(x)=ln x,x∈?0, e?的图象如图所示 ? ?

1? ? 显然 f(x)在?0,e?上单调递增,故①不正确. ? ? 1? ?x1+x2? f?x1?+f?x2? ? ?> 又 f(x)在?0,e?上是凸函数,故 f? ,所以②不正确. 2 ? ? ? 2 ? 1-ln x 1? ln x ? 令 F(x)= x ,x∈?0,e?,则 F′(x)= x2 . ? ? 1? 1? ? ? ∴当 x∈?0, e?时,F′(x)>0,即 F(x)在?0, e?上为增函数,又 x1<x2,故 ? ? ? ? ln x1 ln x2 F(x1)<F(x2),从而 x < x ,即 x1ln x2>x2ln x1,所以③正确. 1 2 1? ? 令 F(x)=xln x,x∈?0,e?,由 F′(x)=1+ln x 可知 ? ? 1? 1? ? ? 当 x∈?0, e?时,F′(x)<0,所以 F(x)在?0, e?上为单调减函数. ? ? ? ? 又 x1<x2,从而 F(x1)>F(x2),故 x2f(x2)<x1f(x1),所以④不正确. 【答案】 ③

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)若 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集. 【解】 (1)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),

?x+1>0, 则? 解得-1<x<1. ?1-x>0, 故所求函数 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}. (2)由(1)知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}, 且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x) =-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x), 故 f(x)为奇函数.

(3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}内是增函数,所以 f(x)>0? x+1 >1,解得 0<x<1. 1-x 所以使 f(x)>0 的 x 的解集是{x|0<x<1}. 1 11.(12 分)设 x∈[2,8]时,函数 f(x)=2loga(ax)· loga(a2x)(a>0,且 a≠1)的最 1 大值是 1,最小值是-8,求 a 的值. 【解】 1 1 1 2 由题意知 f(x) = 2 (logax + 1)(logax + 2) = 2 (log a x + 3logax + 2) = 2

3? 1 ? ?logax+2?2- . ? ? 8 1 3 当 f(x)取最小值-8时,logax=-2. 又∵x∈[2,8],∴a∈(0,1). ∵f(x)是关于 logax 的二次函数, ∴函数 f(x)的最大值必在 x=2 或 x=8 时取得. 3? 1 1? 1 若2?loga2+2?2-8=1,则 a=2-3, ? ? 1? 3 ? 此时 f(x)取得最小值时,x=?2-3?-2= 2?[2,8],舍去. ? ? 3? 1 1? 1 若2?loga8+2?2-8=1,则 a=2, ? ? 1 3 此时 f(x)取得最小值时,x=(2)-2=2 2∈[2,8],符合题意, 1 ∴a=2. 12.(13 分)已知函数 f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0). (1)判断函数 f(x)在其定义域内的单调性; (2)若函数 f(x)在区间(1,+∞)内恒为正,试比较 a-b 与 1 的大小关系. 【解】 ?a? (1)由 ax-bx>0,得?b?x>1. ? ?

a ∵a>1>b>0,∴b>1,∴x>0, ∴f(x)定义域为(0,+∞).

设 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2, 则由 a>1>b>0,得 ax2>ax1,bx1>bx2, 所以 ax2-bx2>ax1-bx1>0, ∴f(x2)=lg(ax2-bx2)>lg(ax1-bx1)=f(x1), ∴f(x)是(0,+∞)上的增函数. (2)由(1), 得 x∈(1, +∞)时, f(x)>f(1)恒成立. 要使 f(x)>0, 则只需 f(1)≥0, 即 a-b≥1.


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