当前位置:首页 >> 数学 >>

高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第8讲


第八章
A组
一、选择题

第八讲
基础巩固

b x2 y2 1.直线 y= x+3 与双曲线 2- 2=1 的交点个数是 ( a a b A.1 C .1 或 2 [答案] A B.2 D.0

)

b b [解析] 因为直线 y= x+3 与双曲线的渐近线 y=

x 平行, 所以它与双曲线只有 1 个交点. a a x2 y2 2 2.已知椭圆 C 的方程为 + 2=1(m>0),如果直线 y= x 与椭圆的一个交点 M 在 x 16 m 2 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F,则 m 的值为 ( A.2 C .8 [答案] B 2 x2 y2 2 [解析] 根据已知条件得 c= 16-m ,则点( 16-m , 16-m )在椭圆 + 2=1(m 2 16 m
2 2

)

B.2 2 D.2 3

16-m2 16-m2 >0)上,∴ + =1,可得 m=2 2. 16 2m 2 3.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方 的部分相交于点 A,AK⊥l,垂足为 K,则△AKF 的面积是 ( A.4 C .4 3 [答案] C [解析] ∵y2=4x,∴F(1,0),l:x=-1,过焦点 F 且斜率为 3的直线 l1:y= 3(x-1), 1 与 y2=4x 联立,解得 A(3,2 3),∴AK=4,∴S△AKF= × 4× 2 3=4 3. 2 4.已知抛物线 C:y2=8x 与点 M(-2,2),过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A、B → → 两点.若MA· MB=0,则 k= ( 1 A. 2 C. 2 [答案] D [解析] 如图所示,设 F 为焦点,取 AB 的中点 P,过 A、B 分别作 ) B. 2 2 B.3 3 D.8 )

D.2

-1-

1 → → 准线的垂线,垂足分别为 G、H,连接 MF、MP,由MA· MB=0,知 MA⊥MB,则|MP|= |AB| 2 1 = (|AG|+|BH|),所以 MP 为直角梯形 BHGA 的中位线,所以 MP∥AG∥BH,所以∠GAM= 2 ∠AMP=∠MAP,又|AG|=|AF|,AM 为公共边,所以△AMG≌△AMF,所以∠AFM=∠AGM 1 =90° ,则 MF⊥AB,所以 k=- =2. kMF x2 y2 5. 已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0), 过点 F 的直线交 E 于 A、 B 两点. 若 a b AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 ( x2 y2 A. + =1 45 36 x2 y2 C. + =1 27 18 [答案] D
2 2 y1-y2 x2 y1 x2 y2 1 2 [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 2+ 2=1, 2+ 2=1,两式作差并化简变形得 = a b a b x1-x2

) x2 y2 B. + =1 36 27 x2 y2 D. + =1 18 9



b2?x1+x2? y1-y2 0-?-1? 1 ,而 = = ,x1+x2=2,y1+y2=-2,所以 a2=2b2,又因为 2 2 a ?y1+y2? x1-x2 3-1 x2 6.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为 ( 4 A.2 4 10 C. 5 [答案] C [解析] 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线 l 的方程为 y=x+t,
2 2 ? ?x +4y =4, 由? 消去 y,得 5x2+8tx+4(t2-1)=0. ?y=x+t ?

a2-b2=c2=9,于是 a2=18,b2=9.故选 D. )

4 5 B. 5 8 10 D. 5

4?t2-1? 8 则 x1+x2=- t,x1x2= . 5 5 ∴|AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 2· = 4?t2-1? 8 ?- t?2-4× 5 5

4 2 · 5-t2, 5

-2-

当 t=0 时,|AB|max=

4 10 . 5

二、填空题 7.已知抛物线 y2=8x,过动点 M(a,0),且斜率为 1 的直线 l 与抛物线交于不同的两点 A、 B,|AB|≤8,则实数 a 的取值范围是____________________. [答案] -2<a≤-1 [解析] 将 l 的方程 y=x-a 代入 y2=8x, 得 x2-2(a+4)x+a2=0. 则|AB|= 2[?x1+x2?2-4x1x2] = 32? 4 +2a?≤8,又∵|AB|>0, ∴-2<a≤-1. x2 y2 8.已知椭圆 C: + =1,过椭圆 C 上一点 P(1, 2)作倾斜角互补的两条直线 PA、PB, 2 4 分别交椭圆 C 于 A、B 两点.则直线 AB 的斜率为____________________. [答案] 2

[解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),同时设 PA 的方程为 y- 2=k(x-1),代入椭圆方程化 简得(k2+2)x2-2k(k- 2)x+k2-2 2k-2=0,显然 1 和 x1 是这个方程的两解.因此 x1= k2-2 2k-2 - 2k2-4k+2 2 k2+2 2k-2 ,y1= .由一 k 代替 x1,y1 中的 k,得 x2= ,y2= k2+2 k2+2 k2+2 - 2k2+4k+2 2 y2-y1 ,所以 = 2. k2+2 x2-x1 x2 y2 9.已知 F1、F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点 a b b P 与点 F2 关于直线 y= x 对称,则该双曲线的离心率为____________________. a [答案] 5

bx [解析] 由题意可知双曲线左支上存在一点 P 与点 F2 关于直线 y= 对称,则 PF1⊥PF2. a 又 |PF2| b = ,联立|PF2|-|PF1|=2a,|PF2|2+|PF1|2=(2c)2,可得 b3+a2b=2c2a.所以 b=2a,e= |PF1| a

5. 10.过抛物线 y2=2px(p>0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 B、C 两点,l 与抛物线准线交 → → 于点 A,且|AF|=6,AF=2FB,则|BC|=___________. [答案] 9 2

-3-

π [解析] 不妨设直线 l 的倾斜角为 θ,其中 0<θ< ,点 B(x1,y1),C(x2,y2),则点 B 在 x 2 |AF| p 轴的上方.过点 B 作该抛物线的准线的垂线,垂足为 B1,于是有|BF|=|BB1|=3, = , |AB| |BB1| 由此得 p=2, 抛物线方程是 y2=4x, 焦点 F(1,0), cosθ= p p 2 1 2 2 = = = , sinθ= 1-cos2θ= , |AF| 6 6 3 3

?y=2 2?x-1?, sinθ tanθ= =2 2,直线 l:y=2 2(x-1).由? 2 消去 y,得 2x2-5x+2=0, cosθ ?y =4x
5 5 9 x1+x2= ,|BC|=x1+x2+p= +2= . 2 2 2

三、解答题 p → → 11.已知过点 M( ,0)的直线 l 与抛物线 y2=2px(p>0)交于 A、B 两点,且OA· OB=-3, 2 其中 O 为坐标原点. (1)求 p 的值; (2)当|AM|+4|BM|最小时,求直线 l 的方程. [答案] (1)p=2 (2)4x± 2y-4=0 p [解析] (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 x=my+ . 2 p ? ?x=my+2, 联立? 消去 x 得 y2-2pmy-p2=0. 2 ? ?y =2px, ∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2.
2 y2 p2 p2 → → 1 y2 ∵OA· OB=-3,∴x1x2+y1y2=-3.又 x1x2= · = ,∴ -p2=-3? p2=4.∵p>0, 2p 2p 4 4

∴p=2. p p (2)由抛物线定义,得|AM|=x1+ =x1+1,|BM|=x2+ =x2+1, 2 2 ∴|AM|+4|BM|=x1+4x2+5≥2 4x1x2+5=9,当且仅当 x1=4x2 时取等号. p2 1 将 x1=4x2 代入 x1x2= =1,得 x2= (负值舍去). 4 2 1 1 将 x2= 代入 y2=4x,得 y2=± 2,即点 B( ,± 2). 2 2 2 将点 B 代入 x=my+1,得 m=± . 4 2 ∴直线 l 的方程为 x=± y+1,即 4x± 2y-4=0. 4 x2 y2 12.如图,分别过椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)左、右焦点 F1、F2 的动直线 l1、l2 相交于 a b
-4-

点 P,与椭圆 E 分别交于 A、B 与 C、D 不同四点,直线 OA、OB、OC、OD 的斜率 k1、k2、 4 3 k3、k4 满足 k1+k2=k3+k4.已知当 l1 与 x 轴重合时,|AB|=2 3,|CD|= . 3

(1)求椭圆 E 的方程. (2)是否存在定点 M、N,使得|PM|+|PN|为定值?若存在,求出点 M、N 坐标并求出此定 值;若不存在,请说明理由. x2 y2 [答案] (1) + =1 3 2 (2)存在,M(0,-1),N(0,1),定值为 2 2

[解析] (1)当 l1 与 x 轴重合时,k1+k2=k3+k4=0,即 k3=-k4, ∴l2 垂直于 x 轴,得|AB|=2a=2 3,|CD|= 2b2 4 3 = , a 3

x2 y2 得 a= 3,b= 2,∴椭圆 E 的方程为 + =1. 3 2 (2)焦点 F1、F2 的坐标分别为(-1,0)、(1,0). 当直线 l1、l2 斜率存在时,设斜率分别为 m1、m2,设 A(x1,y1),B(x2,y2), x y ? ? 3 + 2 =1, 2 2 2 由? 得(2+3m2 1)x +6m1x+3m1-6=0, ? ?y=m1?x+1?, 3m2 6m2 1-6 1 ∴x1+x2=- . 2,x1x2= 2+3m1 2+3m2 1 x1+1 x2+1 x1+x2 y1 y2 2m2 4m1 1 k1+k2= + =m1( + )=m1(2+ )=m1(2- 2 )=- 2 , x1 x2 x1 x2 x1x2 m1-2 m1-2 4m2 同理 k3+k4=- 2 . m2-2 -4m1 -4m2 ∵k1+k2=k3+k4,∴ 2 = ,即(m1m2+2)(m2-m1)=0. m1-2 m2 2-2 由题意知 m1≠m2,∴m1m2+2=0. y y y2 2 设 P(x,y),则 · +2=0,即 +x =1(x≠±1). 2 x+1 x-1 当直线 l1 或 l2 斜率不存在时,点 P 坐标为(-1,0)或(1,0),也满足此方程. y2 ∴点 P(x,y)在椭圆 +x2=1 上,存在点 M(0,-1)和点 N(0,1),使得|PM|+|PN|为定值, 2 定值为 2 2.
2 2

-5-

B组
→ → 满足AF· BF=0,则直线 AB 的斜率 k= ( A. 2 C. 3 [答案] B

能力提升

1.设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 M(-1,0)的直线在第一象限交抛物线于 A、B,且 ) B. D. 2 2 3 3

[解析] 依题意,设直线 AB 的方程为 y=k(x+1)(k≠0),代入抛物线 方程 y2=4x 并整理, 得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0.因为直线与抛物线有两个 不同的交点,所以 Δ=(2k2-4)2-4k4>0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 4-2k ? ?x1+x2= 2 , → → k 又因为AF· BF=0,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,(x1 ? ? ?x1x2=1. -1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1)=0,(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1=0.把 4-2k ? ?x1+x2= 2 , 1 2 k 代入并整理,得 k2= .又 k>0,所以 k= ,故选 B. ? 2 2 ?x1x2=1, ? x2 y2 2.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为点 B,F 为右焦点,若 a b π π AF⊥BF,设∠ABF=α,且 α∈[ , ],则该椭圆离心率 e 的取值范围为 ( 6 4 A.[ C .[ 2 , 3-1] 2 2 3 , ] 2 2 B.[ D.[ 2 ,1) 2 3 6 , ] 3 3 )
2 2

[答案] A [解析] ∵B 和 A 关于原点对称,∴B 也在椭圆上,设左焦点为 F′. 根据椭圆定义|AF|+|AF′|=2a. ∵|AF′|=|BF|,∴|AF|+|BF|=2a.① ∵O 是 Rt△ABF 的斜边 AB 的中点,∴|AB|=2c. 又|AF|=2csinα,② |BF|=2ccosα,③ ②③代入①,得 2csinα+2ccosα=2a, c 1 ∴ = = a sinα+cosα 1 π 2sin?α+ ? 4 ,即 e= 1 π 2sin?α+ ? 4 .

-6-

6+ 2 π π 5π π π π 2 ∵α∈[ , ],∴ ≤α+ ≤ , ≤sin(α+ )≤1,∴ ≤e≤ 3-1. 6 4 12 4 2 4 4 2 3. 已知 A 是抛物线 y2=4x 上一点, F 是抛物线的焦点, 直线 FA 交抛物线的准线于点 B(点 B 在 x 轴上方),若|AB|=2|AF|,则点 A 的坐标为____________________. 1 2 3 [答案] (3,-2 3)或( , ) 3 3 [解析] 依题意,①若点 A 位于 x 轴上方,过点 A 作抛物线的准线的垂线,垂足记为 A1, 则有|AB|=2|AF|=2|AA1|,∠BAA1=60° ,直线 AF 的倾斜角为 120° . 又点 F(1,0),因此直线 AF 的方程为 y=- 3(x-1).

?y=- 3?x-1?, 由? 2 ?y =4x?y>0?,

?x=3, 得? 2 3 ?y= 3 .

1

1 2 3 此时点 A 的坐标是( , ). 3 3 ②若点 A 位于 x 轴下方,则此时点 F(1,0)是线段 AB 的中点,又点 B 的横坐标是-1,故 点 A 的横坐标是 2× 1-(-1)=3,相应的纵坐标是 y=- 4× 3=-2 3,点 A 的坐标是(3,- 2 3). 1 2 3 综上所述,点 A 的坐标是(3,-2 3)或( , ). 3 3 x2 y2 4.已知直线 y=-x+1 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A、B 两点. a b (1)若椭圆的离心率为 3 ,焦距为 2,求线段 AB 的长; 3

1 2 → → (2)若向量OA与向量OB互相垂直(其中 O 为坐标原点),当椭圆的离心率 e∈[ , ]时,求 2 2 椭圆长轴长的最大值. 8 3 [答案] (1) 5 [解析] (1)∵e= (2) 6 3 c 3 ,2c=2,即 = ,c=1,∴a= 3,则 b= a2-c2= 2, 3 a 3

x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 3 2 将 y=-x+1 代入消去 y,得 5x2-6x-3=0. 6 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2=- , 5 5 ∴|AB|= 1+?-1?2 ?x1+x2?2-4x1x2 = 2 6 12 8 3 ? ?2+ = . 5 5 5
-7-

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), → → → → ∵OA⊥OB,∴OA· OB=0,即 x1x2+y1y2=0. x y ? ?a2+b2=1, 由? 消去 y 得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0. ? ?y=-x+1, 由 Δ=(-2a2)2-4a2(a2+b2)(1-b2)>0,整理得 a2+b2>1. a2? 1 -b2? 2a2 又 x1+x2= 2 , x x = , a +b2 1 2 a2+b2 ∴y1y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1. 由 x1x2+y1y2=0,得 2x1x2-(x1+x2)+1=0, ∴ 2a2? 1 -b2? 2a2 - +1=0,整理得 a2+b2-2a2b2=0. a2+b2 a2+b2
2 2

b2 1 1 1 将 e2=1- 2代入上式,得 2a2=1+ ,∴a2= (1+ ). a 2 1-e2 1-e2 1 2 1 1 1 3 ∵ ≤e≤ ,∴ ≤e2≤ ,∴ ≤1-e2≤ , 2 2 4 2 2 4 4 1 7 1 ∴ ≤ ≤2,∴ ≤1+ ≤3, 3 1-e2 3 1-e2 7 3 ∴ ≤a2≤ ,满足 a2+b2>1, 6 2 由此得 42 6 42 ≤a≤ ,∴ ≤2a≤ 6, 6 2 3

故椭圆长轴长的最大值为 6. 5.已知过抛物线 x2=4y 的焦点 F 的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点. (1)设抛物线在 A、B 处的切线的交点为 M,若点 M 的横坐标为 2, 求△ABM 的外接圆方程. 3y2 3x2 (2)若直线 l 与椭圆 + =1 的交点为 C、D,问是否存在这样的 4 2 直线 l 使|AF|· |CF|=|BF|· |DF|?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由. [答案] (1)(x-2)2+(y-3)2=16 (2)存在,y=1 或 y=± x+1
2 t2 t1+t2 1-t2 = , 2 2t1-2t2

2 [解析] (1)设 A(2t1,t2 1),B(2t2,t2),kAB=

t1+t2 故直线 AB 的方程为 y-t2 (x-2t1). 1= 2 1 1 由直线 AB 过点(0,1),得-t1t2=1,又由 y= x2,得 y′= x, 4 2

-8-

1 1 故 kMA· kMB= × (2t1)× × (2t2)=t1t2=-1, 2 2 ∴过 A、B、M 的圆是以 AB 为直径的圆.
2 又直线 MA 的方程为 y-t2 1=t1(x-2t1),直线 MB 的方程为 y-t2=t2(x-2t2), 2 即 t2 1-t1x+y=0,且 t2-t2x+y=0,

联立两式,解得 xM=t1+t2=2,yM=t1t2=-1, 故线段 AB 的中点 G 的坐标为(2,3),|GM|=4, 所求圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=16. (2)设 |AF| |DF| → → → → = =λ,则AF=λFB,DF=λFC. |BF| |CF|

? ?-x1=λx2, 设直线 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则? ? ?-x4=λx3 ? ?x1=-λx2, ?? ?x4=-λx3, ? ?y=kx+1, ? 又? 2 ? x2-4kx-4=0,∴x1+x2=4k,x1x2=-4. ?x =4y ?

?λ-1?2 将 x1=-λx2 代入,得 =4k2.① λ y=kx+1, ? ? 由?3y2 3x2 ? ? 4 + 2 =1, 得(3k2+6)x2+6kx-1=0,

2k 1 ∴x3+x4=- 2 ,x3x4=- 2 . k +2 3k +6 ?λ-1?2 12k2 将 x4=-λx3 代入,得 = 2 .② λ k +2 由①②,得 k=0 或 k2=1,k=± 1,经检验 k=0,k=± 1 时,A,B,C,D 四点各异,且 满足要求,故直线 l 存在,且方程为 y=± x+1 或 y=1.

-9-


相关文章:
高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第8讲
高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第8讲_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第8讲_数学_高中教育...
高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第5讲
高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第5讲_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第5讲_数学_高中教育...
高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第2讲
高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第2讲_数学_高中教育_教育专区。第八章 A组一、选择题 第二讲基础巩固 ) 1.若 l1:x+(1+m)y+(m-2)=0,l2:mx+2y...
高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第4讲
高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第4讲_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第4讲_数学_高中教育...
高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第6讲
高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第6讲_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第6讲_数学_高中教育...
高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第3讲
高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第3讲_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第3讲_数学_高中教育...
2014届高三数学(人教A版)一轮复习练习曲:限时规范特训 第8章 平面解析几何 第8讲 Word版含解析]
2014届高三数学(人教A版)一轮复习练习曲:限时规范特训 第8章 平面解析几何 第8讲 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014届高三数学(人教A版)一轮复习练习曲...
高考数学一轮复习第八章解析几何第讲曲线与方程(理)习题(新)-课件
高考数学一轮复习第八章解析几何第讲曲线与方程(理)习题(新)-课件_数学_高中...?x+ =1,0≤x≤1, 线段 OE 的方程为 y=(1-λ )x(0≤x≤1),联立...
【三维设计】(新课标)2016届高考数学大一轮复习精品讲义 第八章 解析几何(含解析)
【三维设计】(新课标)2016届高考数学大一轮复习精品讲义 第八章 解析几何(含解析)_高考_高中教育_教育专区。第八章对应学生用书P115 基础盘查一 直线的倾斜角与...
【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第8讲 直线与圆锥曲线习题
【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第8讲 直线与圆锥曲线习题_数学_高中教育_教育专区。2017 高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第 ...
更多相关标签: