河南省扶沟县高级中学2016届高三上学期开学考试数学(理)试题

扶沟高中 2015-2016 学年度上期高三开学考试 数学试卷（理科） 命题人：张海涛 审题人：姚鑫

本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 第I卷 一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.）
x ?1 ?

1．设集合 A ? ?x | x ? 3? ， B ? ? ? 0? ，则 A ? B = ?x | ? 4? x ?

( D． ? 4. ? ?? （
2 2

)

A． ?

B．

? 3, 4?

C． ? ?2,1?

2. 若 z (1 ? i) ? i （其中 i 为虚数单位） ，则 | z | 等于 A．1 B.
3 2

）

C.

D． 1
2

3．已知命题 p ： ?x ? R ， x ? 2 ? 0 ，命题 q ：?x ? R ， x ? x ，则下列说法中正确的是（ A．命题 p ? q 是假命题 C．命题 p ? (?q) 是真命题 4. 已知 x 、 y 取值如下表： B．命题 p ? q 是真命题 D．命题 p ? (?q) 是假命题

）

x

0 1.3

1
m

4

5 5.6

6 7.4

y

3m

画散点图可知： y 与 x 线性相关，且求得回归方程为 y ? ? x ? 1 ，则 m 的值（精确到 0.1） 为 A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8 （ ) （ )

5．设 S n 为等比数列 {a n } 的前 n 项和，已知 3S3 ? a4 ? 2,3S 2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? A．3 B．4 C．5 D．6

2 2 6. P 是双曲线 x ? y ? 1 上一点, F1 , F2 分别是双曲线左右焦点,若| PF1 |=9,则| PF2 |= (

16

20

)

A.1

B.17

C.1 或 17
4

D.以上答案均不对
3 3 2 正视图 3 俯视图 侧视图

7.若某几何体的三视图如右图所示， 则此几 何体的体积等于 A．30 C．24 B．12 D．4 （ ）

8．设函数 y ? x sin x ? cos x 的图象上的点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率为 k， 若 k ? g ( x0 ) ，则函数 k ? g ( x0 ) 的图象大致为（ ）

开始

S ? 0, n ? 1
S ? S ? log 2 n ?1 n?2

n ? n ?1

S ? ?3?

否

9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 A. 14 B. 15 C. 16

（ D. 17

）

是 输出n 结束

10． ΔABC 中 , ?BAC ? 120? , AB ? 2, AC ? 1, D 是边 BC 上的一点（包括端 点） ，则 AD ? BC A． B．
? ?

的取值范围是 C． D．

（

）

11.如图过拋物线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线

于点 A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为 （ ） A. y 2 ?

3 x 2

B.

y 2 ? 9x

C． y 2 ? 9 x
2

D． y 2 ? 3 x

12.若直角坐标平面内 A、B 两点满足①点 A、B 都在函数 f ( x) 的图象上；②点 A、B 关于原点 对称，则点（A,B）是函数 f ( x) 的一个“姊妹点对”.点对（A,B）与（B,A）可看作是同 一

? x 2 ? 2 x, ( x ? 0) 个“姊妹点对”.已知函数 f ( x) ? ? ，则 f ( x) 的“姊妹点对”有 ( ?2 , ( x ? 0 ) ? x ?e
A. 2个 B. 1个 第Ⅱ卷 C. 0个 D. 3个

)

本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做 答．第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.)
?y ? 0 13.设变量 x, y 满足约束条件 ? ，则 z ? 3x ? y 的最大值为 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ?

.

14.在 (1 ? x ?
2

2 7 ) 的展开式中的 x 3 的系数为 x
1 x 0

.

15．已知 a ?

? (e

?ln x , x ? 0 , ? 2 x)dx ( e 为自然对数的底数),函数 f ( x) ? ? ? x ?2 , x ? 0

则 f (a ) ? f (log 2 1 ) ?

6

.
n ?1
2 ? ，若不等式 2n ? n ? 3 ? (5 ? ? )an 对 ?n ? N

16 .已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2an ? 2 恒成立，则整数 ? 的最大值为

.

三、解答题:（本大题共 5 小题，共计 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分） 在 ?ABC 中 , a, b, c 是其三个内角 A, B, C 的对边 , 且 a ? b,sin 2 A ? 3 cos 2 A ? 2sin 2B . (I)求角 C 的大小 ; (II)设 c ? 3 ，求 ?ABC 的面积 S 的最大值. 18.（本小题满分 12 分） 第 117 届中国进出品商品交易会（简称 2015 年秋季广交会）将于 2015 年 8 月 15 日在广州 举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募 8 名男志愿者和 12 名女志愿者， 现将这 20 名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位： cm） ，若身高在 175cm 以上 （包括 175cm） 定义为“高个子” ，身高在 175cm 以下（不包括 175cm）定义为“非高个子”. (I)计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数 （保留一位小数）. (II)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用 ? 表示所选志愿者 中为女志愿者的人数，试写出 ? 的分布列，并求 ? 的数学期望. 19．（本小题满分 12 分） 如图 , 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直 , AD ? CD, AB // CD,

AB ? AD ?

1 CD ? 2 , 点 M 在线段 EC 上. 2

(I)当点 M 为 EC 中点时 , 求证 : BM // 平面 ADEF ; (II)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦 值为

6 时，求三棱锥 M ? BDE 的体积. 6

20.（本小题满分 12 分） 椭圆

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的焦点在 x 轴上，其右顶点（a,0）关于直线 x ? y ? 4 ? 0 的对称 4 b2
a2 (c 为半焦距长) 上. c

点在直线 x ? ?

（I）求椭圆的方程； (II)过椭圆左焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点，交直线 x ? ? 原 点，且 OA? OC ? 2 OB, 求 ?OAB 的面积. 21． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? x ln x （ e 为无理数， e ? 2.718 ） (I)求函数 f ( x) 在点 ? e, f (e) ? 处的切线方程； (II)设实数 a ?
? ? ?

a2 于点 C. 设 O 为坐标 c

1 ，求函数 f ( x) 在 ? a, 2a ? 上的最小值； 2e

（III）若 k 为正整数，且 f ( x) ? ? k ? 1? x ? k 对任意 x ? 1 恒成立，求 k 的最大值． 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答 时请写题号． 22．（本小题满分 10 分）【选修 4—1：几何证明选讲】 如图，在正△ABC 中，点 D,E 分别在边 AC, AB 上，

2 1 且 AD= AC， AE= AB，BD，CE 相交于点 F． 3 3
(I)求证：A，E，F，D 四点共圆； (II)若正△ABC 的边长为 2，求，A，E，F，D 所在圆的半径． 23. （本小题满分 10 分） 【选修 4—4：极坐标与参数方程】
? 2 x ? ?2 ? t ? ? 2 ? ? y ? ?4 ? 2 t ? 2 ?

在直角坐标系中，以原点为极点,错误！未找到引用源。轴的正半轴为极轴建 坐标系, 已知曲线错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 ，已知过点错误！未找

到引用源。的直线错误！未找到引用源。的参数方程为 错误！未找到引用源。 （ t 为参数） ，直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点．

(I)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程； (II)若错误！未找到引用源。成等比数列,求错误！未找到引用源。的值． 24. （本小题满分 10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知 a，b∈R ，a＋b＝1， x1 ， x 2 ∈R ．
+ +

(I)求 x1 ＋ x2 ＋ 2 的最小值； (II)求证： (ax1＋bx2 ) (ax2＋bx1 )≥x1x2 ． a b x1 x2

2015-2016 学年度高三开学考试数学答案 （理） 一．选择题: 1 B 2 C 3 C 13. 4 C 6 5 B 14. 6 B －910 7 C 8 A 15. 7 9 C 10 D 16. 4 11 D 12 A

二．填空题: 三.解答题:

17 解： （Ⅰ）∵ sin 2 A ? 3 cos 2 A ? 2sin 2B, ? 2( sin 2 A ?

1 2

3 cos 2 A) ? 2sin 2 B, 2

? 2sin(2 A ? ) ? 2sin 2 B,? sin(2 A ? ) ? sin 2 B 3 3

?

?

?2A ?

?

3

? 2 B ，或 2 A ?

?

3

? ? ? 2B ，

由 a ? b ，知 A ? B ，所以 2 A ? 即 A? B ?

?
3

? 2 B 不可能成立，所以 2 A ?

?
3

? ? ? 2B ，

?
3

，所以 C ? ? ? ? ? 2?
3 3

（Ⅱ）由（Ⅰ） ， C ? 2? ，所以 sin C ? 3 ， S ? 1 a ? b ? sin C ? 3 ab 3 2 4 2

cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 a 2 ? b2 ? 3 ?? ? ? ?ab ? a 2 ? b 2 ? 3 ? 3 ? ab ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? ab ? 1 2ab 2 2ab

即△ABC 的面积 S 的最大值为 3 4 18.解： （1）根据茎叶图可得： 男志愿者的平均身高为 159 ? 169 ? 170 ? 175 ? 176 ? 182 ? 187 ? 191 ? 176.1(cm) 8 女志愿者身高的中位数为

168 ? 169 ? 168.5(cm) 2

（2）由茎叶图可知，“高个子”有 8 人，“非高个子”有 12 人，而男志愿者的“高个 子”有 5 人，女志愿者的“高个子”有 3 人， ? 的可能值为 0,1,2,3，

1 2 3 3 2 1 故 P(? ? 0) ? C5 ? 10 , P(? ? 1) ? C5 C3 ? 30 , P(? ? 2) ? C5C3 ? 15 , P(? ? 3) ? C3 ? 1 , 3 3 3 3 C8 56 C8 56 C8 56 C8 56

即 ? 的分布列为：

?
P

0
10 56

1
30 56

2
15 56

3
1 56
z E F M

10 30 15 1 9 所以 ? 的数学期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? 56 56 56 56 8 19．解： （1）以直线 DA 、 DC 、 DE 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴
建立空间直角坐标系，则 A( 2,0,0) ， B( 2,2,0) C (0,4,0) ， E (0,0,2) ，
x

D O A B

C

y

所以 M (0,2,1) .∴ BM ? (?2,0,1) .........2 分 又， OC ? (0,4,0) 是平面 ADEF 的一个法向量.∵ BM ? OC ? 0 ∴ BM ∥平面 ADEF .................4 分 （2）设 M ( x , y, z ) ，则 EM ? ( x, y, z ? 2) ，又 EC ? (0,4,?2) 设 EM ? ? EC(0 ? ? ? 1 ，则， x ? 0, y ? 4? , z ? 2 ? 2? 即 M (0,4? ,2 ? 2? ) ...6 分 设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 BDM 的一个法向量，则
OB ? n ? 2 x1 ? 2 y1 ? 0 OM ? n ? 4?y1 ? (2 ? 2? )z1 ? 0

即 BM ? OC

取 x1 ? 1 得 y1 ? ?1, z1 ? 2? 1? ?

即

n ? (1,?1,

2? ) 1? ?

又由题设， OA ? (2,0,0) 是平面 ABF 的一个法向量，......................8 分 ∴
| cos ? OA, n ?|? OA ? n | OA | ? | n | ? 2 2? 2 4? (1 ? ? ) 2
2

?

6 6

?? ?

1 ...................10 分 2

即点 M 为 EC 中点，此时， S ?DEM ? 2 ， AD 为三棱锥 B ? DEM 的高， ∴

VM ? BDE ? VB? DEM ?

1 4 ? 2 ? 2 ? ................................12 分 3 3

20.解： （1）椭圆的右顶点为（2，0） ， 设（2，0）关于直线 x ? y ? 4 ? 0 的对称点为（ x0 , y 0 ) ，
? x0 ? 2 y 0 ? ? 4 ? 0, 2 ? 2 则? ??????4 分 ? y 0 ? ? ?1, ? ? x0 ? 2

解得 x0 ? ?4, 所以

a2 4 ? , c ? 1, c c

则b ?

2 2 3 ，所求椭圆方程为 x ? y ? 1

4

3

--------------------------6 分

（2）设 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),C(?4, y3 ), 由?

?3x 2 ? 4 y 2 ? 14, 得(3 ? 4k2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0, y ? k ( x ? 1 ), ?
? 8k 2 4k 2 ? 12 , ????①， x1 x2 ? , ????② 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

所以 x1 ? x 2 ?

因为 OA ? OC ? 2OB, 即 ( x1 , y1 ) ? (?4, y2 ) ? 2( x2 , y2 ) ， 所以 2 x2 ? x1 ? ?4 ??③??6 分 由①③得 x2 ? 代入②得， ?
2 所以 k ?

4 ? 8k 2 4 , x1 ? . 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

4 ? 8k 2 4 4k 2 ? 12 ，整理得 4k 4 ? k 2 ? 5 ? 0, ????8 分 ? ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

5 1 7 , 所以 x1 ? , x 2 ? ? , ??10 分 4 2 4

由于对称性，只需求 k ? 5 时，△OAB 的面积. 2 此时， y1 ?

1 9 3 3 5. ??12 分 5, y2 ? ? 5 , 所以 S ?OAB ? | OF | ? | y1 ? y 2 |? 2 16 4 8

21.⑴∵ f ( x)定义域为(0, ??) f ?( x) ? ln x ? 1 , f (e) ? e又f ?(e) ? 2

?函数y ? f ( x)在点(e，f(e))处的切线方程为 : y ? 2( x ? e) ? e, 即y ? 2 x ? e ------3 分
（2）∵ f ?( x) ? ln x ? 1 令f ?( x) ? 0 得x ? 1 e
? 1? 当x ? ? 0, ? 时 , F ?( x) ? 0 ， ? e?

f ( x) 单调递减；

1 ? ? 当 x ?? ? , ?? ? 时 , F ( x) ? 0 ， f ( x) 单调递增. e ? ?

当 a ? 时, f ( x)在[a, 2a ]单调递增,[ f ( x)]min ? f ( a) ? a ln a,

1 e

当

1 1 1 1 ?1? ? a ? 时,得a ? ? 2a,[ f ( x)]min ? f ? ? ? ? -------------------------------6 分 2e e e e e ? ?

(3) f ( x) ? (k ? 1) x ? k 对任意 x ? 1 恒成立， 即 x ln x ? x ? k ( x ? 1) 对任意 x ? 1 恒成立， 即 令 g ( x) ?

x ln x ? x ? k 对任意 x ? 1 恒成立 x ?1

x ln x ? x x ? ln x ? 2 ( x ? 1) ? g '( x) ? ( x ? 1) x ?1 ( x ? 1) 2

令 h( x) ? x ? ln x ? 2( x ? 1) ? h '( x) ?

x ?1 ? 0 ? h( x) 在 (1, ??) 上单调递增。 x

∵ h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0, h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0,

∴所以 h( x) 存在唯一零点 x0 ? (3, 4) ，即 x0 ? ln x0 ? 2 ? 0 。 当 x ? (1, x0 ) 时， h( x) ? h( x0 ) ? 0 ? g '( x) ? 0 ； 当 x ? ( x0 , ??) 时， h( x) ? h( x0 ) ? 0 ? g '( x) ? 0 ； ∴ g ( x) 在 x ? (1, x0 ) 时单调递减；在 x ? ( x0 , ??) 时，单调递增； ∴ [ g ( x)]min ? g ( x0 ) ?

x0 (ln x0 ? 1) x0 ( x0 ? 1) ? ? x0 x0 ? 1 x0 ? 1

由题意 k ? [ g ( x)]min ? x0 ，又因为 k ? Z ，所以 k 的最大值是 3------------------12

22（Ⅰ）证明：? AE ?

2 1 AB ，? BE ? AB . 3 3 1 AC ，? AD ? BE ，又? AB ? BC ， 3

? 在正△ ABC 中， AD ?

?BAD ? ?CBE ，? △BAD≌△CBE，? ?ADB ? ?BEC ，

即 ?ADF ? ?AEF ? π ，所以 A ， E ， F ， D 四点共圆. ??(5 分）
图

1 （Ⅱ）解：如图，取 AE 的中点 G ，连结 GD ，则 AG ? GE ? AE . 2
? AE ?

6

2 1 2 1 2 AB ，? AG ? GE ? AB ? ，? AD ? AC ? ， ?DAE ? 60? ， 3 3 3 3 3 2 2 ，即 GA ? GE ? GD ? ， 3 3
2 . 3 2 .?（10 分） 3

? △AGD 为正三角形，? GD ? AG ? AD ?

所以点 G 是△AED 外接圆的圆心，且圆 G 的半径为

由于 A ， E ， F ， D 四点共圆，即 A ， E ， F ， D 四点共圆 G ，其半径为 23.解： （Ⅰ）C: y ? 2ax, l : x ? y ? 2 ? 0
2

1 2 t ? (4 2 ? 2a)t ? 16 ? 4a ? 0 （Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得 2 ? t1 ? t 2 ? 8 2 ? 2 2a, t1t 2 ? 32 ? 8a
因为 | PM |?| t1 |, | PN |?| t 2 |, | MN |?| t1 ? t 2 |
2 2 由题意知， | t1 ? t 2 | ?| t1t 2 |? (t1 ? t 2 ) ? 5t1t 2 代入得 a ? 1

24.解： （1）? a, b ? R? , a ? b ? 1, x1 , x2 ? R? ,

?

x1 x 2 x x 2 2 2 ? ? ? 3?3 1 ? 2 ? ? 3? ? 33 8 ? 6 3 a ? b 2 a b x1 x2 a b x1 x2 ( ) 2
当且仅当

x1 x2 2 ? ? 时有最小值 a b x1 x2

（2）因为 a，b∈R＋，a＋b＝1， x1 ， x 2 ∈R＋ 所以

(ax1 ? bx2 )(ax2 ? bx1 ) ? a 2 x1 x2 ? abx2 2 ? abx12 ? b 2 x1 x2 ? x1 x2 (a 2 ? b 2 ) ? ab( x2 2 ? x12 ) ? x1 x2 (a 2 ? b 2 ) ? ab(2 x1 x2 ) ? x1 x2 (a 2 ? b 2 ? 2ab) ? x1 x2 (a ? b)2 ? x1 x2
当且仅当 x 1 ? x2 时，取得等号。