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线面平行的性质定理


2015年9月21日星期W

复习1:直线和平面的位置关系 1、直线和平面有哪几种位置关系?

平行、相交、在面内 2、反映直线和平面三种位置关系的依据 是什么? 公共点的个数

没有公共点:

平行

仅有一个公共点:相交

无数个公共点:直线在平面内

复习2:线面平行的判定定理 如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行, 那么这条直线与这个平面平行。 a a ?? b? ? a∥? b a∥ b

注明:

?

1、定理三个条件缺一不可。 2、简记:线线平行,则线面平行。 3、定理告诉我们: 要证线面平行,需在平面内 找一条直线,使线线平行。

思考:如果一条直线与平面平行,那么
这条直线是否与这平面内的所有直线都 平行?
a c

?

b

那么直线a会与平面?内那些线平行呢?
本节课研究的内容

新课

线面平行 a // ? 问题1、 b ??



线线平行 b

a

a // b 是否正确?

问题2、已知a// ?,在平面? 内是否一定有直线和直
线a平行?

?

问题3、已知a// ? ,在平面? 内和a平行的直线有多
少条,如何在平面

?

问题4、若要 b ? ?
成立需加什么条件?

a // ?

内找出和直线a平行的直线? a ? a // b c d

b

?

线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平
面平行,并且经过这条直线的一个平面和这个平面 文字语言: 相交,那么这条直线与交线平行

?

图形语言:

a
b

符号语言:

? ?? ?b
线面平行

a??

a // ?

?

a // b
线线平行

注意:应用这定理时三个条件缺一不可

思考:若 a // ? ,怎样在平面? 内找到一条直线b ,
使

b // a ?

a

?

b

正确的做法是:经过已知直线 a 作一个平面和已知 平面 ? 相交,交线和已知直线a 平行。此交线就 是要找的直线 b 注意:正确运用线面平行性质定理的关键是: 过已知直线作一个辅助平面

剖析1、如果一条直线和一个平面平行,则在平面
内可以作出直线和这条直线平行

剖析2、如果一条直线和一个平面平行,则在
平面内可以作无数条直线和这条直线平行 a

c

d

b

?

知识深化:

1.以下命题(其中a,b表示直线,?表示平面)

①若a∥b,b??,则a∥? ②若a∥?,b∥?,则a∥b ③若a∥b,b∥?,则a∥? ④若a∥?,b??,则a∥b

其中正确命题的个数是( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

2.判断下列命题是否正确,若正确,请简述 理由,若不正确,请给出反例. (1)如果a、b是两条直线,且a∥b,那么a 平 行于经过b的任何平面;( ) (2)如果直线a、b和平面α 满足a ∥ α, b ∥ α,那么a ∥ b ;( )

(3)如果直线a、b和平面α 满足a ∥ b,a ∥ α,b ? α, 那么 b ∥ α;( ) (4)过平面外一点和这个平面平行的直线只 有一条.( )

思考运用:有一块木料如图,已知棱BC平行于面 A′C′. (1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线? (2)所画的线和面AC有什么关系?

1、 若直线 a ∥ 直线b,且a∥平面?,则b与?的位置关 a 系是( D) a b (A)一定平行(B)不平行 (C)平行或相交(D)平行或在平面内 b 2、如果直线a平行于平面 ? ,平面? 内有 n条互相平行 a 的直线,那么这n条直线和直线a ( C) (A)全平行 (B)全异面
(C)全平行或全异面(D)不全平行也全异面 c b ? d’ c’ b’ d
?

巩固训练:

?

3、直线a∥平面? ,平面? 内有n条直线交于一点, 那么这n条直线中与直线a平行的( B) (A)至少有一条(B)至多有一条

(C)有且只有一条(D)不可能有

练习:
1、若直线a// 平面? ,直线b//平面 ? ,且b ? ? , a ? ? 且? ? ? ? c ,则a、b的位置关系是 a//b ,如何证明?? 证明:a // ? a?? ? ?? ?c

a

a // c
同理 b // c

?
b

a // b

c

2、若直线a// 平面? ,直线b//平面 ? , 且 b ? ? , a ? ? 则a、b的位置关系 是 平行或异面 ,为什么?
?

? b

a c

?
b

?

a

练习:
1、若直线a// 平面? ,直线b//平面 ? ,且b ? ? , a ? ? 且? ? ? ? c ,则a、b的位置关系是 a//b ,如何证明?? 证明:a // ? a?? ? ?? ?c

a

a // c
同理 b // c

?
b

a // b

c

2、若直线a// 平面? ,直线b//平面 ? , 且 b ? ? , a ? ? 则a、b的位置关系 是 平行或异面 ,为什么?
?

? b

a c

?
b

?

a

小结:
1.直线与平面平行的性质定理
2. 线线平行 线面平行

证明平行的 转化思想:

小结
(1)平行公理 (2)三角形中位线 (3)平行线分线段成比例 (4)相似三角形对应边成比例 (5)平行四边形对边平行 线//面 面//面

线//线

要证 a // ? ,通过构造过直线 a 的平面 相交于直线b,只要证得a // b即可。

? 与平面 ?
练习

作业:

练习册71页5题

已知:直线a??? , a ? ? , ? ? ? ? b

? a // ? 证明:

求证:a // b

? a与?没有公共点
又因为b在?内

?
a

? a与b没有公共点
又 ? a与b都在平面?内 且没有公共点

b

?

? a // b

解:1、在平面A'C'内,过点P作直 线EF,使EF ∥ B'C',并分别交棱A'B', C'D'于点E,F。连BE,CF。则EF, BE,CF就是应画的线。
D'

F
C' P C

A' D A

E

B' B

例2:已知平面外的两条平行直线中的一条平 行于这个平面,求证:另一条也平行于这个平 面.
如图:已知直线a,b,平面?, 且a // b,a//?,a,b都在平面?外。 a 求证:b//?

b

?

如图:已知直线a,b,平面?, 且a // b,a//?,a,b都在平面?外。 求证:b//?

?

证明:过a作面?交?于c

a c

b

? ?? ? c
说明:

a // ? a??
线//线

a//c a//b
线//面

b ??

c ??

b//c

?

b // ?

转化是立体几何的一种重要的思想方法

2、因为棱BC平行于平面A'C',平面BC'与平 面A'C'交于B'C',所以,BC ∥ B'C'。由1知, EF ∥ B'C' ,所以EF ∥ BC,因此EF ∥ BC, EF不在平面AC,BC在平面AC上,从而EF ∥平面AC。BE,CF显然都与面AC相交。
D'

F
C' P C

A' D A

E

B' B

例 3: 长方体ABCD -A1 B1C1 D1中,点P ? BB (异于 B、B1) 1
PA ? BA1 ? M , PC ? BC 1 ? N , 求证:MN // 平面ABCD
A1 D1 C1 B1 P M D N C

A

B

证明:
连结AC、A1C1 长方体中A1 A//C1C ? A1C1 // AC AC ? 面A1C1 A1C1 ? 面A1C1
? AC // 面A1C1 B AC ? 面ACP
A A1

D1

C1

B1 P M D N C

B

A1 B ? PA ? M ? ? ? 面ACP ? 面A1C1 B ? MN PC ? BC 1 ? N ?

? AC // MN

MN ? 面ABCD AC ? 面ABCD

? MN // 面ABCD

证法2 (略写) 利用相似三角形对应边成比例 及平行线分线段成比例的性质
PM PB ?PBM∽ ?AA1 M ? ? MA AA1 PN PB ?PBN ∽?CC 1 N ? ? NC CC 1
A A1

D1

C1

B1 P M D N C

B

PM PN ? ? ? AC // MN MA NC

CC 1 ? AA1

MN ? 面ABCD AC ? 面ABCD

? MN // 面ABCD

思考: 教室内日光灯管所在直线与地
面平行,如何在地面上作一条直线与灯 管所在的直线平行?
怎样作平行 ? 线?

l

?

a

a

试用文字语言将上述原理表述成一个命题 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直 . 线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线 平行.

如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平 面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
a 图形 b β

α
符号语言:

a // ?, a ? ?, ? ?? ?b

a // b.

作用: 判定直线与直线平行的重要依据。 关键: 寻找平面与平面的交线。
上述定理反映了直线和平面平行的一个性质,其内容 可简述为“线面平行,则线线平行”.

线∥面

线∥线

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