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三角恒等变换小结导学案


三角恒等变换小结与复习
一、学习目标
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式于二倍角公式之间的内在联系 2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公 式进行简单的恒等变换.

二、学习过程
(一)知识网络建构
1.熟记以下公式:
sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ?
用 ?? 代? 令? ??

sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ?

sin 2? ? cos 2? ? tan 2? ?
= = 变形

sin 2 ? ? cos 2 ? ?

2.三角恒等变换: 常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简、求值、证明中,表达式中往往出现较多的相异角, 可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系,运用角的变换,沟通条件 与结论中角的差异,使问题获解,对角的变换如: ? ① 2? 是 的二倍; 4? 是 的二倍; ? 是 的二倍; 是 二倍; 2 ? ? 3? 是 的二倍; 是 的二倍; ? 2? 是 的二倍.② ? ? (? ? ? ) ? ? ; 2 3 ? ? ? ? ? ③ ? ? ? ? ( ? ? ) ;④ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? ( ? ? ) ? ( ? ? ) 等等 4 2 4 4 4 (2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角 函数中正余弦是基础,通常切化弦,变异名为同名. (3)常数代换:在三角函数运算、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角 函数值,例如常数“1”的代换变形有: 1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 90? ? tan 45? .

(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般 采用降幂处理的方法。常用降幂公式有: , . 降幂并非绝对,有时要升幂,如对无理式 1 ? cos ? 常用升幂化为有理式,常用 升幂公式有: , . (5) a sin ? ? b cos ? = = ; (其中 sin ? = ; cos ? = .)

(6)三角函数式的化简运算通常从“角、名、形、幂”四方面入手: 基本规则:切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理 化有理,和积互化,特殊值与特殊角的三角函数互化.

(二)典型例题
考点一:三角函数式的化简 例1 π (2010· 上海高考)已知 0<x<2,化简:

x? ? ? ? π?? tan lg?cos x· x+1-2sin22?+lg? 2cos ?x-4??-lg(1+sin 2x). ? ? ? ? ?? 考点二:三角函数式的求值(角) π? 1 ? 例 2 (2011· 重庆高考)已知 sin α=2+cos α,且 α∈?0,2?, ? ? cos 2α 则 π?的值为________. ? sin ?α-4? ? ? 考点三:三角恒等变换的综合应用 例3 7π? ? ? 3π? (2011·四川高考)已知函数 f(x)=sin ?x+ ?+cos ?x- 4 ?,x∈R. ? ? 4? ?

(1)求 f(x)的最小正周期和最小值; 4 4 π (2)已知 cos(β-α)=5,cos(β+α)=-5,0<α<β≤2, 求证:[f(β)]2-2=0.

三、总结提升
(一)三角恒等变换中常见的三种形式:一是化简,二是求值,三是三角恒等式 的证明. 1.三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及 和、差、倍角公式进行转化求解. 2.三角函数求值分为条件求值与非条件求值, 对条件求值问题要充分利用条件进 行转化求解. 3.三角恒等式的证明,要看左右两侧函数名、角之间的关系,不同名则化同名, 不同角则化同角,利用公式求解变形即可. (二)三角函数式的化简要遵循“三看”原则

1.一看“角” ,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理 的拆分,从而正确使用公式; 2.二看“函数名称” ,看函数名称之间的差异,从而确定 使用的公式,常见的有 “切化弦” ; 3.三看“结构特征” ,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有 “遇到分式要通分”等. (三)三角函数求值有三类 1.“给角求值” :一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔 细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合 公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解. 2.“给值求值” :给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值, 解题关键在于“变角” ,使其角相同或具有某种关系. 3.“给值求角” :实质是转化为“给值求值” ,先求角的某一函数值,再求角的范 围,确定角.

四、检测与反馈
1.选择题 sin? 180°+2α ? cos2α (1) · 等于( ) 1+cos 2α cos? 90°+α ? A.-sin α B.-cos α C.sin α D.cos α π? 1 ? (2)(2011·福建高考)若 α ∈?0, ?,且 sin2α +cos 2α = ,则 tan α 的值 2? 4 ? 等于( ) 2 3 A. B. C. 2 D. 3 2 3 α 1+tan 2 4 (3)若 cos α =- ,α 是第三象限的角,则 =( ) 5 α 1-tan 2 1 1 A.- B. C.2 D.-2 2 2 1 3 (4)函数 y= sin 2x+ 3cos2x- 的最小正周期等于( ) 2 2 π π A.π B.2π C. D. 4 2 1 sin235°- 2 (5)化简 =( ) cos 10°cos80° 1 A.-2 B.- C.-1 D.1 2 2.填空题 (1)若锐角 α 、 满足(1+ 3tan α )(1+ 3tan β )=4, α +β =________. β 则

3?π 1 ? (2)设 sin α = ? <α <π ?, tan(π -β )= , tan(α -2β )的值为________. 则 2 5? 2 ? 3.解答题 ? 3 5? 12 ? 3? ? (8)已知 cos( ? ? ) ? ,sin( ? ? ) ? ? , ? ? ( , ), ? ? (0, ) ,求 sin( ? ? ? 的 ) 4 5 4 13 4 4 4 值.

1 13 π (9)已知 cos α = ,cos(α -β )= ,且 0<β <α < , 7 14 2 ①求 tan 2α 的值;②求 β .

(10)已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(3,0)、B(0,3)、C(cos α ,sin α ),α ???? ???? 2sin 2α +sin 2α ?π 3π ? ∈? , ?.若 AC · BC =-1,求 的值. 2 ? 1+tan α ?2

(11)已知 f(x)=cos x(cos x-3)+sin x(sin x-3), ①若 x∈[2π ,3π ],求 f(x)的单调递增区间; ?π 3π ? ②若 x∈? , ?且 f(x)=-1,求 tan 2x 的值. 4 ? ?2


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