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不等关系副本


3.1.1
1.不等关系与不等式

不等关系与不等式的性质

我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式,以表 示它们之间的不等关系,含有这些符号的式子,叫做 破疑点:(1)不等式 a≤b 应读作“a 小于或等于 b”,其含义是指“a<b 和 a =b 中有一个成立即可”.等价于“a 不大于 b”,即若 a<b 和 a=b 中有一个成 立,则 a≤b 成立. (2)不等式 a≥b 应读作“a 大于或等于 b”,其含义是指“a>b 和 a=b 中有 一个成立即可”, 等价于“a 不小于 b”, 即若 a>b 或 a=b 中有一个成立, 则 a≥b 成立. 练习: (1)一桥头竖立的“限重 40t”的警示牌, 是提示司机要安全通过该桥, 应使货车总重量 T 不超过 40t,用不等式表示为________; (2)某火腿肠的质量检查规定,每 100 克火腿肠中,淀粉含量 d 不能超过 20 克,防腐剂 f 含量不能超过 0.5 克.用不等式组表示为________. 2.不等式的性质 (1)性质 1:如果 a>b,那么 b a; 如果 b<a,那么 a b. 即 a>b?b a. (2)性质 2:如果 a>b,b>c,那么 a c. 即 a>b,b>c?a (3)性质 3:如果 a>b,那么 a+c b+c. (4)性质 4:如果 a>b,c>0 那么 ac 如果 a>b,c<0,那么 ac (5)性质 5:如果 a>b,c>d,那么 a+c (6)性质 6:如果 a>b>0,c>d>0,那么 ac (7)性质 7:如果 a>b>0,那么 an n (8)性质 8:如果 a>b>0,那么 a 练习:下列命题正确的是( A.a>b,c≠0?ac2>bc2 C.a>b 且 c<d?a+c>b+d ) B.a<b? a< b D.a>b?ac>bc bc. bc. b+d. bd.

c.

bn,(n∈N,n≥2). n b,(n∈N,n≥2).

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考点一:不等式性质的应用 例 1、 对于实数 a、b、c,有下列结论: ①若 a>b,则 ac<bc; ②若 ac2>bc2,则 a>b; ③若 a<b<0,则 a2>ab>b2; ④若 c>a>b>0,则 a b > ; c-a c-b

1 1 ⑤若 a>b, > ,则 a>0,b<0. a b 其中正确结论的个数是( A.2 ) B.3 C.4 D.5

跟踪练习:若 x>y,m>n,下列不等式正确的是( A.x-m>y-n x y C.n>m

)

B.xm>yn D.m-y>n-x

考点二:现实生活中的不等关系 例 2、 某钢铁厂要把长度为 4 000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种, 按照生产的要求,600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍.试写出满足 上述所有不等关系的不等式.

跟踪练习:某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本.根据市
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场调查,若单价每提高 0.1 元,销售量就可能相应减少 2 000 本,若把提价后杂 志的定价设为 x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元?

考点三:作差法比较数的大小 例 3、 已知 x<y<0,比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小.

跟踪练习:(1)比较 x2+y2+1 与 2(x+y-1)的大小; 1 (2)设 a∈R 且 a≠0,比较 a 与a的大小.

例 4、 设 x∈R 且 x≠-1,比较

1 与 1-x 的大小. 1+x

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3.1.2

不等式性质的应用

考点一:利用不等式的性质判断命题真假 例 1、 已知 0<a<1,给出下列四个不等式 1 ①loga(1+a)<loga(1+a) 1 ③a1+a<a1+a 其中正确的序号是( A.①③ ) B.①④ C.②③ D.②④ 1 ②loga(1+a)>loga(1+a) 1 ④a1+a>a1+a

跟踪练习:已知 a<b<0,则下列不等式成立的是( 3 3 A. a< b 3 3 C. -a< -b B. a2< b2 D. -a< -b

)

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考点二:证明不等式 a+b c+d 例 2、 (1)若 bc-ad≥0,bd>0,求证: b ≤ d . (2)已知 c>a>b>0.求证: a b > . c-a c-b

跟踪练习:已知:a、b、m 均为正数,且 a<b,求证:

a+m a > . b+m b

考点三:比较大小 例 3、 甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),
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两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买 1 000 kg,乙每次购粮用去 1 000 元钱,谁的购粮方式更合算?

跟踪练习:某粮食收购站分两个等级收购小麦.一级小麦每千克 a 元,二级小麦 每千克 b 元(b<a).现有一级小麦 m kg,二级小麦 n kg,若以两种价格的平均数 收购,是否合理?为什么?

考点四:利用不等式的性质求取值范围 a 例 4、 已知-6<a<8,2<b<3,分别求 2a+b,a-b,b的取值范围.

α+β α-β π π 跟踪练习:已知-2≤α<β≤2,求 2 , 2 的范围.

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例 5、 已知 1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,求 3a-2b 的取值范围.

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