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对数与对数函数


① loga (MN)= loga M+ loga N;② loga

M = loga lM- loga N; N

【思维+方法+举一反三】
专题 对数与对数函数 【高考要求】 1.考查对数函数的定义域与值域. 2.考查对数函数的图象与性质的应用. 3.考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质. 4.考查对数函数与指数函数互为反函数的关系. 【复习指导】 复习本讲首先要注意对数函数的定义域,这是研究对数函数性质.判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依 据,同时熟练把握对数函数的有关性质,特别注意底数对函数单调性的影响. 基础梳理 1.对数的概念 (1)对数的定义 如果 a =N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? loga N ,其中 a 叫做对数的底数,N 叫
x

n n ③ loga M =nlogaM(n∈R);④log amMn= logaM. m 3.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1

图象

定义域:(0,+∞) 值域:R 过点(1,0) 性质 当 x>1 时,y>0 当 0<x< 1,y<0 是(0,+∞)上的增函数 当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0 是(0,+∞)上的减函数

做真数. (2)几种常见对数 对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①a
log a N

特点 底数为 a(a>0 且 a≠1) 底数为 10 底数为 e

记法

loga N
lg N ln_N

4.反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称. 双基自测 1.2 log510+log50.25=( A.0 B.1 C.2 ). D.4 ).

2.已知 a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c ). C.(1,+∞) D.[1,+∞) D.c<a<b

? N ;② loga a N = N (a>0 且 a≠1).

(2)对数的重要公式

3.函数 f(x)=log2(3x+1)的值域为( A.(0,+∞) B.[0,+∞)

loga N ①换底公式:logbN= (a,b 均大于零且不等于 1); loga b
1 ②logab= ,推广 loga b ? logb c ? logc d = loga d logb a
(3)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么

4.下列区间中,函数 f(x)=|ln(2-x)|在其上为增函数的是 A.(-∞,1] B. ( ?1, )

4 3

C. ( 0, )

,3 2

D.[1,2)

5.若 loga

2 >1,则 a 的取值范围是________. 3

一种思想 对数源于指数,指数式和对数式可以互化,对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明. 两个防范 解决与对数有关的问题时,(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围. 三个关键点 画对数函数的图象应抓住三个关键点:(a,1),(1,0), ( ,?1) 四种方法 对数值的大小比较方法 (1)化同底后利用函数的单调性.(2)作差或作商法.(3)利用中间量(0 或 1). (4)化同真数后利用图象比较. 考点一 对数式的化简与求值 【典例】?求值:(1)

考点三 对数函数性质的应用 【例 3】?已知函数 f(x)=loga(2-ax),是否存在实数 a,使函数 f(x)在[0,1]上是关于 x 的减函数,若存在,求 a 的 取值范围.

1 a

研究函数问题,首先考虑定义域,即定义域优先的原则.研究复合函数的单调性,一定要注意内层与 外层的单调性问题.复合函数的单调性的法则是“同增异减”.本题的易错点为:易忽略 2-ax>0 在[0,1]上恒 成立,即 2-a>0.实质上是忽略了真数大于 0 的条件. 【训练 3】 已知 f(x)=log4(4x-1) (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)求 f(x)在区间 ( ,2) 上的值域.

log8 9 ; log2 3

(2) (lg5) +lg 50· lg 2;

2

(3)

1 32 4 lg - lg 8 +lg 245 2 49 3

1 2

【训练 1】 (1)若 2a=5b=10,求

1 1 ? 的值. a b

(2)若 xlog34=1,求 4x+4 x 的值.


考点二 对数值的大小比较 【例 2】?已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设 a=f(log47),b=f( log1 3 ),
2

c=f(0.2

-0.6

),则 a,b,c 的大小关系是(

). B.c<b<a D.a<b<c 难点突破——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法 指数与对数函数问题, 高考中除与导数有关的综合问题外, 一般还出一道选择或填空题, 考查其图象与性质, 其中与求值或取值范围有关的问题是热点,难度虽然不大,但要注意分类讨论.

A.c<a<b C.b<c<a

一般是同底问题利用单调性处理,不同底问题的处理,一般是利用中间值来比较大小,同指(同真)数 问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决.

与对数函数有关的解不等式问题

【训练 2】设 a=log32,b=ln 2,c=5-

1 ,则( 2

).

【示例】设函数 f(x)=

{

21-x ( x ?1) 1- log 2 x(x ?1) ,则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是________.

A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a


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