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统计学常用公式


公式一 1. 众数【MODE】
(1) 未分组数据或单变量值分组数据众数的计算 未分组数据或单变量值分组数据的众数就是出现次数最多的变量值。 (2) 组距分组数据众数的计算 对于组距分组数据,先找出出现次数最多的变量值所在组,即为众数所在组,再根据下面 的公式计算计算众数的近似值。 下限公式:
M 0 =L+ ?1 ?i ?1 +? 2

式中: M 0 表示众数;L 表示众数的下线; ?1 表示众数组次数与上一组次数之差; ? 2 表示 众数组次数与下一组次数之差; i 表示众数组的组距。 上限公式:
M 0 =U?2 ?i ?1 +? 2

式中:U 表示众数组的上限。

2.中位数【MEDIAN】
(1)未分组数据中中位数的计算 根据未分组数据计算中位数时,要先对数据进行排序,然后确定中位数的位置。设一组数 据按从小到大排序后为 X1,X2,…,XN ,中位数 M e ,为则有:

M e =X



N+1 ) 2

当 N 为奇数

? 1? ? ? M e = ?X? N ? +X? N ? ? +1? 2? ? 2? ? 2 ?? ? ? ? ? ?

当 N 为偶数

(2)分组数据中位数的计算 分组数据中位数的计算时,要先根据公式 N / 2 确定中位数的位置,并确定中位数所在的 组,然后采用下面的公式计算中位数的近似值:

?f
i =1

N

i

M e =L+

2

-Sm-1 fm

?d

式中: M e 表示中位数;L 表示中位数所在组的下限; Sm-1 表示中位数所在组以下各组的累 计次数; f m 表示中位数所在组的次数; d 表示中位数所在组的组距。

3.均值的计算【AVERAGE】
(1)未经分组均值的计算
x +x +…x n ? x= 1 2 = i ?1 n n
n

xi

未经分组数据均值的计算公式为:

(2)分组数据均值计算
x f +x f +? +xk f k ? x= 1 1 2 2 = i?k f1 ? f 2 +? +f k
k

xi fi
1 i

分组数据均值的计算公式为:

?f
i ?1

4.几何平均数【GEOMEAN】
几何平均数是 N 个变量值乘积的 N 次方根,计算公式为:
G= n x1 ? x 2 ? … ? x n = n

?x
i -1

n

i

式中:G 表示几何平均数; ? 表示连乘符号。

5.调和平均数【HARMEAN】
调和平均数是对变量的倒数求平均,然后再取倒数而得到的平均数,它有简单调和平均数 与加权调和平均数两种计算形式。 简单调和平均数:

H=

n 1 1 1 + +…+ x1 x2 xn

=

n

?x
i ?1
n

n

1
i

加权调和平均数:

? mi m1 +m2 +…+m n ? H= = in 1 mn m1 m2 m + +…+ ? xi x1 x 2 xn i ?1 i

式中:H 表示调和平均数。

6.极差【Range】
极差也称全距,是一组数据的最大值与最小值之差,即
R = m a xi x

? ?

- mxii n

? ?

式中:R 表示极差; max xi 和 min xi 分别表示一组数据的最大值与最小值。

? ?

? ?

7.平均差【Mean Deviation】
平均差是各标志值与其平均数的绝对离差的算术平均。

(1) 根据未分组资料的计算公式:

A D =i ?1

? x -x
i

n

n

(2) 根据分组资料的计算公式:

? x -x
AD=
i ?1
i

n

fi

?f
i ?1

n

i

式中:AD 表示平均差

8.方差【Variance】和标准差【Standard Deviation】
方差是各变量值与其均值离差平方的平均数。要求掌握方差和标准差的计算方法。

未分组数据方差的计算公式为:

?2 ?

?? x ? x ?
i ?1

n

2

n

分组数据方差的计算公式为:

? ?
2

?? x
n i ?1

i

? x
i

?

2 i

f

?f
i ?1

n

式中: ? 2 表示方差。

方差的平方根即为标准差,其相应的计算公式为:

未分组数据:

??

?? x ? x ?
i ?1

n

2

n

分组数据:

??

?? x
n i ?1

i

? x
i

?

2 i

f

?f
i ?1

n

式中: ? 表示标准差。

9.离散系数
离散系数通常是就标准差来计算的,因此,也称为标准差系数,它是一组数据的标准 差与其相应的均值之比,是测度数据离散程度的相对指标。 其计算公式为:
V? ?

?
x

式中: V? 表示离散系数。

10.偏态【SKEW】
偏态是对分布偏斜方向及程度的测度。利用众数、中位数和均值之间的关系就可以判断分 布是左偏还是右偏。显然,判别偏态的方向并不困难,但要测度偏斜的程度就需要计算偏态系 数了。
n ? x -x ? n ? ? is ? ? n- 1 n - ?2i ?1 ? ? ?? 3

EXCEL 中偏态系数的计算公式为:

11.峰值【KURT】
EXCEL 中峰值系数的计算公式为:
4 2 n ? n ? n ? 1? 3 ? n ? 1? ? xi -x ? ? ? ? ? ?? ? n ? 1?? n ? 2?? n ? 3? ? ? s ? ? ? n ? 1?? n ? 3? i ?1 ? ? ? ? ?

式中:s 表示样本标准差。

公式二
1. 均值估计

(1)样本均值的标准差 样本均值的标准差,即为样本均值的标准误差,又称为样本均值的抽样平均误差,它反 映的是所有可能样本的均值与总体均值的平均差异程度,反映了所有可能样本的实际抽样 误差水平。 样本均值的抽样平均误差计算公式为: 重复抽样方式:

? ?x? ? ? 2 n ??

n

不重复抽样方式:

? ?x? ?

?2 ? N ?n?
? ? n ? N ?1 ?

通常情况下,当 N 很大时, (N-1)几乎等于 N,样本均值的抽样平均误差的计算公式也可 简化为:

? ?x? ?

?2 ?

n? ?1 ? ? n ? N?

在公式中, ? 是总体标准差。但实际计算时,所研究总体的标准差通常是未知的,在大样 本的情况下,通常用样本标准差 S 代替。 (2)大样本均值的极限误差 (3)大样本下总体均值的区间估计 总体均值的置信度为( 1 ? ? )的置信区间:

?x ? Z? 2? ? x ?

x ? z? 2? ? x ? ? ? ? x ? z? 2? ? x ?

即 x ? z? 2

?
n

? ? ? x ? z? 2

?
n

(4)总体方差未知,小样本正态总体均值的区间估计 总体均值的置信度为( 1 ? ? )的置信区间:

x ? t? 2? ? x ? ? ? ? x ? t? 2? ? x ?
s s ? ? ? x ? t? 2 n n



x ? t? 2

2.比例估计
(1)样本比例的抽样平均误差 样本比例的抽样平均误差为:

重复抽样下:

? ? p? ?

p ?1 ? p ? n

上式中,p 应为总体比例,实际计算时通常用样本比例 p 代替。

不重复抽样下:

? ? p? ?

p ?1 ? p ? ? N ? n ? ? ?? n ? N ?1 ?

p ?1 ? p ? ? n? ?1 ? ? n ? N?

(2)样本比例的抽样极限误差

?P ? Z? 2? ? p ?
(3)总体比率的区间估计 总体比例 P 的置信度为( 1 ? ? )的置信区间为:

p ? ?P ? p ? p ? ?P


p ? Z? 2? ? p ? ? p ? p ? Z? 2? ? p ?

3.

总体均值检验

(1) 单一总体均值检验

①正态总体(总体方差已知)或大样本均值检验
检验统计量 Z 为:

Z?

x ? ?0

?

n

②正态总体(总体方差未知)小样本均值检验
检验统计量 t 为:

t?

x ? ?0 s n

(2) 两个总体的均值检验

①两个正态总体均值检验——两个总体方差已知或大样本
Z 检验统计量为:
Z?

? x1 ? x2 ? - ? ?1 ? ?2 ?
? 12
n1 ?
2 ?2

n2

大样本下对两个总体均值进行检验时,在总体标准差未知的情况下,可用样本标准差代替 总体标准差进行计算,检验统计量不变。

②两个正态总体均值检验(小样本)——两个总体方差未知但相等
T 检验统计量为:

Z?

? ? x1 ? x 2? - ? ? 1 ? ?2 sp 1 1 ? n1 n2

sp ?

? n1 ? 1? s12 ? ? n2 ? 1? s22
n1 ? n2 ? 2

其中:

1 n1 s ? ? x ? x1 ; n1 ? 1 i ?1 i
2 1

?

?

2

1 n2 s ? ? x ? x2 n2 ? 1 i ?1 i
2 2

?

?

2

4.

总体比例检验

(1) 单一总体的比例检验 Z 检验统计量:

Z?

p0 ?1 ? p0 ? n

p ? p0

(2) 两个总体比例的检验 检验的统计量为:

Z?

? ? ? ? p ?1 ? p ? p ?1 ? p ? ? n1 n2

? ? p1 ? p2

? 其中: p ?

? ? n1 p1 ? n2 p2 ? , p 为当 p1 ? p2 时 p1 和 p2 的联合估计值。 n1 ? n2

5.

总体方差假设检验

(1) 单一正态总体方差的假设检验

检验统计量为:

?2 ?

? n ? 1? s 2
2 ?0

其中: s 2 ?

??x
n i ?1

i

?x

?

2

n ?1

为 ? 2 的估计量。

(2) 两个正态总体的方差假设检验 检验统计量为:
2 F ? s12 s2

其中:

s12 ?

?? x ? x ?
n1 i ?1
i

2

n1 ? 1



2 s2 ?

?? x
n2 i ?1

i

?x

?

2

n2 ? 1



公式三
1.单因素方差分析
设总体共分为 k 种处理进行观察,第 j 种处理试验了容量为 n j 的样本。 (1) 计算各项离差平方和 在单因素方差分析中,需要计算的离差平方和有 3 个,它们分别是总离差平方和,误差项 离差平方和以及水平项离差平方和。 总离差平方和,用 SST(Sum of Squares for Total )代表:
SST ? ?? xij ? x
i ?1 j ?1 nj k

?

?

2

式中: x 表示全部样本观测值的总均值。其计算公式为:

x?

?? x
n

ij

误差离差平方和,用 SSE(Sum of Squares for Error)代表:
SSE ? ?? ? xij ? x j ?
k i ?1 j ?1 nj 2

式中: x j 表示第 j 种水平的样本均值, x j ?

?x
i ?1

nj

ij

nj

水平项离差平方和。为了后面叙述方便,可以把单因素方差分析中的因素称为 A。于是水 平项离差平方和可以用 SSA(Sum of Squares for Factor A)表示。
SSA ? ?? x j ? x
i ?1 j ?1 nj k

SSA 的计算公式为:

?

?

2

(2) 计算平均平方 用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和(Mean Square) 。对 SST 来说,其自由度 为(n-1) ;对 SSA 来说,其自由度为(r-1) ,这里 r 表示水平的个数;对 SSE 来说,其自由度 为(n-r) 。与离差平方和一样,SST、SSA、SSE 之间的自由度也存在着如下的关系: n-1=(r-1)+(n-r) 对于 SSA,其平均平方 MSA(组间均方差)为:
MSA ? MSE ? SSA r ?1 SSE n?r

对于 SSE,其平均平方 MSE(组内均方差)为:
F? MSA MSE

(3) 检验统计量 F

2.两因素方差分析
设两个因素 A、B 分别有 k 个水平和 n 个水平,共进行 nk 次试验。 (1) 计算各项离差平方和 在两因素方差分析中,需要计算的离差平方和有 4 个,它们分别是总离差平方和,误差项 离差平方和以及水平 A、B 项离差平方和。 总离差平方和,用 SST(Sum of Squares for Total)代表:
SST ? ?? xij ? x

?

?

2

式中: x 表示全部样本观察值的总均值,其计算公式为:

x?

1 n k ?? xij nk i ?1 j ?1

水平项离差平方和可以分别用 SSA(Sum of Squares for Factor A)和 SSB(Sum of Squares for Factor B)表示。 SSA 的计算公式为:
1 n ?x i j n i ?1

SSA ? ?? x? j ? x
i ?1 j ?1

n

k

?

?

2

式中:

x? j ?

SSB 的计算公式为:

SSB ? ?? xi? ? x
i ?1 j ?1

n

k

?

?

2

式中:

xi? ?

1 k ?xi j k j ?1

误差离差平方和,用 SSE(Sum of Squares for Error)代表:

SSE ? ?? xij ? xi? ? x? j ? x
i ?1 j ?1

n

k

?

?

2

(2) 计算平均平方 用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和(Mean Square) 。对 SST 来说,其自由度为 (nk-1) ;对 SSA 来说,其自由度为(k-1) ,这里 k 表示水平 A 的个数;对 SSB 来说,其自由 度为(n-1) ,这里 n 表示水平 B 的个数;对 SSE 来说,其自由度为(n-1) (k-1) 。这样,把各 项离差平方和除以各自的自由度,即得到平均的离差平方和,简称为均方:
MSA ? SSA k ?1 MSB ? SSB n ?1

MSE ?

SSE ? k ? 1?? n ? 1?

(3) 检验统计量 F
F ( A) ? MSA MSE F ( B) ? MSB MSE

公式四
1.拟合优度的检验统计量:
? ??
2 i ?1 k

? fi ? f e ?
fe

2

式中: f i 表示类别 i 的观察频数; fe 表示假设 H 0 为真时,类别 i 的期望频数;k 表示类别总数。 注意:当所有种类的期望频数均大于或等于 5 时,检验统计量服从自由度为(k-1)的 ? 2 分布。


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