当前位置:首页 >> 高三数学 >>

福建师大附中2010-2011学年度高三第一学期期中考试数学试题(文科)


福建师大附中 2010-2011 学年度高三第一学期期中考试

数学试题(文科)
(总分 150 分。 考试时间 120 分钟。 )

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本题共12 小题,每小题5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 M = {? 1,0,1}, N = y y = cos x, x ∈ R ,则 M I N = A. {0} B. {1} C. {0,1} D. {?1, 01} ( )

{

}





2.已知 a = (? 3,2 ), b = (? 1,0 ) ,向量 λ a + b 与 a ? 2b 垂直,则实数 λ 的值为 A. ?

1 7

B.

1 7

C. ?

1 6

D.

1 6

3.“ .

” 是“ (

且 )

”的

A.必要不充分条件 . C.充分必要条件 . 要条件

B. 充分不必要条件 . D.既不充分也不必 .既不充分也不必

4.函数 y = A sin(ωx + ? ) 在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为可为 A. y = 2 sin( 2 x + B. y = 2 sin( 2 x + C. y = 2 sin(





π

2π ) 3 3 )

x π ? ) 2 3

D. y = 2 sin( 2 x ?

π

3

) 1 2

5.已知幂函数 y = f ( x) 的图象过(4,2)点,则 f ( ) =





A. 2

B.

1 2

C.

1 4

D.

2 2

6.将函数 y = sin 2 x 的图象向左平移 式是 A. y = cos 2 x C. y = 1 + sin( 2 x +

π
4

个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 ( B. y = 2 cos x
2



π
4

)

D. y = 2sin x
2

7.已知圆心在 x 轴上,半径为 5 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+y=0 相切,则圆 O 的 方程是
2 2 A. ( x + 10) + y = 5

( B. ( x + 5) 2 + y 2 = 5 D. x + y + 10
2



C. ( x ? 10) + y = 5
2 2

(

)

2

=5

8.在坐标平面内,与点 A(1,3)距离为 1, 且与点 B(2,0)距离为 2 的直线共有 ( ) A.2 条 C.4 条 B.3 条 D.5 条

9.运行如上图所示的程序框图后,若输出的 b 的值为 16,则循环体的判断框内①处 应填 ( ) A.2 B.3 C.4 10. 已知数列 {an } 中,a1 = 3 ,an +1 = ? A. 14 B. 15

D.5 )

1 * ( n ∈ N ) 能使 an = 3 的 n 可以等于 , ( an + 1
C. 16 D. 17

11.设平面内有 n 条直线(n≥3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同 一点.若用 f ( n) 表示这 n 条直线交点的个数,则 f ( n) 为 ( )

n2 ? n ? 2 2 A. n2 ? n + 1 C. 2

n2 ? n B. 2 n2 ? 1 D. 4

12.如果对于函数 f ( x ) 定义域内任意的 x ,都有 f ( x ) ≥ M ( M 为常数) ,称 M 为 f ( x ) 的下界,下界 M 中的最大值叫做 f ( x ) 的下确界.下列函数中,有下确界的函数是 ( ) ② f ( x ) = lg x ③ f ( x) = e

① f ( x ) = sin x

x

? 1, x > 0; ? ④ f ( x) = ? 0, x = 0; ??1, x < 0; ?
D.①③④

A.①②

B.①③

C.②③④

第Ⅱ卷(非选择题
13.命题“ ?x ∈ R, x 2 < 0 ”的否定是 14.若函数 f ( x ) = (1 + 3 tan x ) cos x , 0 ≤ x < 。

共 90分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题4分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置.

π
2

,则 f ( x ) 的最大值为



15.上海世博园中的世博轴是一条 1000 m 长的直 线型通道,中国馆位于世博轴的一侧(如下图 所示) .现测得中国馆到世博轴两端的距离相 等,并且从中国馆看世博轴两端的视角为

120o .据此数据计算,中国馆到世博轴其中
一端的距离是

m.

?3x ? y ? 6 ≤ 0 ? 16.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y + 2 ≥ 0 ,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大 ? x ≥ 0, y ≥ 0 ?
值为 12,则

2 3 + 的最小值为 a b



三、解答题:本大题共6小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分) 已 知 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 为 a n = 2n ? 1 , 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 为 Tn , 且 满 足

Tn = 1 ? bn
(I)求 {bn } 的通项公式;

(II) {an } 中是否存在使得 在

1 是 {bn } 中的项, 若存在, 请写出满足题意的一项 (不 an + 9

要求写出所有的项) ;若不存在,请说明理由.

21 世纪教育网

18. (本题满分 12 分) 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生 产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每 吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原 料不超过 18 吨.那么该企业在一个生产周期内如何安排生产方案才能获得最大利润? 最大利润是多少?

19. (本题满分 12 分) 已知复数 z1 = sin 2 x + λ i , z2 = m + m ? 3 cos 2 x i ( λ , m, x ∈ R ) , 且 z1 = z2 . (Ⅰ)若 λ = 0 且 0 < x < π ,求 x 的值; (Ⅱ)设 λ = f ( x ) ,求 f ( x ) 的最小正周期和单调减区间.

(

)

20. (本题满分 12 分) 已知 m ∈ R ,直线 l : mx ? ( m 2 + 1) y = 4m 和圆 C : x 2 + y 2 ? 8 x + 4 y + 16 = 0 .

(Ⅰ)求直线 l 斜率的取值范围; (Ⅱ)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为

1 的两段圆弧?为什么? 2

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = ln x ?

a ; x

(Ⅰ)当 a > 0 时,判断 f ( x ) 在定义域上的单调性; (Ⅱ)求 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值.

22. (本小题满分 14 分) 已知点(1,

1 )是函数 f ( x) = a x ( a > 0, 且 a ≠ 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的 3

前 n 项 和 为 f ( n) ? c , 数 列 {bn } (bn > 0) 的 首 项 为 c , 且 前 n 项 和 S n 满 足

S n ? S n ?1 = S n + S n ?1 ( n ≥ 2 ) .
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;

(2)若数列{

1 1000 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? bn bn+1 2009

21 世纪教育网

参考答案
1-12 D AAA D BAC B C AD

2 13. ?x ∈ R, x ≥ 0 ; 14.2; 15.

1000 3 ; 3

16.

25 6

17.解: (I)当 n = 1 时,Q b1 = T1 = 1 ? b1 ∴ b1 = 当 n ≥ 2 时,Q Tn = 1 ? bn ∴ Tn?1 = 1 ? bn?1 两式相减得: bn = bn?1 ? bn ,即: bn = 故{ bn }为首项和公比均为

1 ………………………………………2 分 2

1 bn ?1 …………………………………………6 分 2

1 1 的等比数列,∴ bn = ( ) n ……………………………8 分 2 2

(II)设 {an } 中第 m 项 am 满足题意,即 所以 m = 2 n ? 4(n ≥ 3, n ∈ N )

1 1 = ( )n ,即 2m ? 1 + 9 = 2n am + 9 2

a4 = 7 (其它形如 m = 2 n ? 4(n ≥ 3, n ∈ N ) 的数均可)……………………12 分
18.解:设生产甲产品 x 吨,生产乙产品 y 吨,该企业获得利润为 z 万元……………1 分 则有关系: 甲产品 x 吨 乙产品 y 吨 A 原料 3x B 原料 2x 3y 13

y

[来源:21 世纪教育网]

y

?x > 0 ?y > 0 ? 则有: ? ……………4 分 3 x + y ≤ 13 ? ?2 x + 3 y ≤ 18 ?
目标函数 z = 5 x + 3 y ……………5 分 作出可行域,如右图

(0,6)

M (3, 4)

O



13 9 ,0) 3

x

?3 x + y = 13 ?x = 3 由? 得? ∴ M (3,4 ) ……………10 分 ?2 x + 3 y = 18 ? y = 4
经验证知:当 x =3, y =4 时可获得最大利润为 27 万元 答:该企业在一个生产周期内生产甲产品 3 吨、生产乙产品 4 吨可获得最大利润 27 万 元……………12 分 19.解: (1)∵ z1 = z2

∴ ?

?sin 2 x = m ? ?λ = m ? 3 cos 2 x ?



λ=sin 2 x ? 3 cos 2 x ……………2 分
3 ……………4 分

若 λ = 0 则 sin 2 x ? 3 cos 2 x = 0 得 tan 2 x = ∵0 < x <π, ∴x =

∴ 0 < 2 x < 2π

∴ 2x =

π
3

, 或 2x =

π
6



2π …………………………6 分 3

4π 3

(2)∵ λ = f ( x ) = sin 2 x ? 3 cos 2 x = 2( sin 2 x ? = 2(sin 2 x cos

1 2

3 cos 2 x) 2

? cos 2 x sin ) = 2 sin(2 x ? ) ……………9 分 3 3 3 ∴函数的最小正周期为 T = π …………………………10 分 π π 3π 5π 11π , k ∈ Z 得 kπ + ,k ∈Z 由 2 kπ + ≤ 2 x ? ≤ 2 kπ + ≤ x ≤ kπ + 2 3 2 12 12 5π 11π ∴ f ( x ) 的单调减区间 [ kπ + , kπ + ], k ∈ Z .…………………………12 分 12 12 m 4m m 20.解: (Ⅰ)直线 l 的方程可化为 y = 2 x? 2 ,直线 l 的斜率 k = 2 , m +1 m +1 m +1 法一:当 m = 0 时, k = 0 ; m 1 1 1 当 m > 0 时, k = 2 = ,Q m + ≥ 2,∴ 0 < k ≤ m +1 m + 1 m 2 m m 1 = , 当 m < 0 时, k = 2 m +1 m + 1 m

π

π

π

Qm +

1 1 ? 1 ? = ? ? ?m + ? ≤ ?2,∴? ≤ k < 0 m ?m ? 2 ? 1 1 ≤k≤ 2 2 m 1 2 1 (m + 1) ,所以 k = 2 ≤ ,当且仅当 m = 1 时等号成立. 2 m +1 2
? 1 1? ? ?

综上, ?

法二:因为 m ≤

所以,斜率 k 的取值范围是 ? ? , ? . 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 l 的方程为

1 y = k ( x ? 4) ,其中 k ≤ .圆 C 的圆心为 C (4, 2) ,半径 r = 2 . ? 2
圆心 C 到直线 l 的距离 d =

[来源:21 世纪教育网]

2 1+ k
2

.由 k ≤

1 4 r ,得 d ≥ > 1 ,即 d > . 2 2 5

从而,若 l 与圆 C 相交,则圆 C 截直线 l 所得的弦所对的圆心角小于 圆 C 分割成弧长的比值为

2π .所以 l 不能将 3

1 的两段弧. 2

21.解: (Ⅰ)由题意: f ( x ) 的定义域为 (0, +∞ ) ,且 f ′( x ) =

1 a x+a + = 2 . x x2 x
21 世纪教育网

Q a > 0,∴ f ′( x) > 0 ,故 f ( x) 在 (0, +∞) 上是单调递增函数.---------------4 分
(Ⅱ)由(1)可知: f ′( x ) =

x+a x2

① 若 a ≥ ?1 ,则 x + a ≥ 0 ,即 f ′( x ) ≥ 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x ) 在 [1, e] 上为增 函数, f ( x) min = f (1) = ? a ------------------6 分

② 若 a ≤ ?e ,则 x + a ≤ 0 ,即 f ′( x ) ≤ 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x ) 在 [1, e] 上为减 函数, f ( x ) min = f (e) = 1 ?

a ------------------8 分 e

③ 若 ?e < a < ?1 ,令 f ′( x ) = 0 得 x = ? a , 当 1 < x < ? a 时, f ′( x ) < 0,∴ f ( x ) 在 (1, ? a ) 上为减函数, 当 ? a < x < e 时, f ′( x ) > 0,∴ f ( x ) 在 ( ?a, e) 上为增函数,

f ( x) min = f (? a ) = ln(? a ) + 1 ------------------11 分
综上可知:当 a ≥ ?1 时 当 a ≤ ?e 时, , f ( x ) min = ? a ;

f ( x) min = 1 ?

a ; e

当 ?e < a < ?1 时 , f ( x ) min = ln( ?a ) + 1 -----------------12 分 22. (1)依题意 f (1) = a =

1 ?1? ,∴ f ( x ) = ? ? ……………1 分 3 ? 3?

x

1 2 a1 = f (1) ? c = ? c , a2 = ? f ( 2 ) ? c ? ? ? f (1) ? c ? = ? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 = ? f ( 3) ? c ? ? ? f ( 2 ) ? c ? = ? . ? ? ? ? 27 4 2 a2 2 1 又数列 {an } 成等比数列, a1 = = 81 = ? = ? c , a3 ? 2 3 3 27 所以 c = 1 ;……………3 分

又公比 q =

a2 1 2?1? = ,所以 an = ? ? ? a1 3 3?3?

n ?1

?1? = ?2 ? ? ?3?

n

n∈ N*

;……………4 分

S n ? S n ?1 =

(

S n ? S n ?1

)(

S n + S n ?1 = S n + S n ?1 (n ≥ 2 )

)

又 bn > 0 , S n > 0 , ∴ S n ? S n ?1 = 1 ; 数列

{ S } 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2 2

Sn =1+ ( n ?1) ×1 = n , S n = n 2 ……………7 分
当 n ≥ 2 , bn = S n ? S n ?1 = n ? ( n ? 1) = 2n ? 1 ;当 n = 1 时 b1 = 1 符合上式

∴ bn = 2n ? 1 ( n ∈ N * ) ;……………9 分
(2) Tn =

1 1 1 1 + + +L+ b1b2 b2 b3 b3b4 bn bn +1

=

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? + ? ? ? + ? ? ? + L + ? ? 2 ? 3? 2 ?3 5? 2 ? 5 7 ? 2 ? 2 n ? 1 2n + 1 ?

1? 1 ? n ;……………12 分 = ?1 ? ?= 2 ? 2n + 1 ? 2n + 1
由 Tn = 分

n 1000 1000 1000 > 得n > ,满足 Tn > 的最小正整数为 112.………14 2n + 1 2009 9 2009


相关文章:
福建省福建师大附中2013届高三5月高考三轮模拟文科综合...
福建省福建师大附中2013届高三5月高考三轮模拟文科综合试题 - 福建省福建师大附中 2013 届 5 月高考模拟试卷 文科综合试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非...
...2017学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版).doc
请说明理由. 2016-2017 学年福建师大附中高二(上)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中...
...福建师大附中2016届高三下学期模拟考试文科综合试题...
【全国百强校】福建师大附中2016届高三学期模拟考试文科综合试题_数学_高中教育_教育专区。福建师大附中2016届高三学期模拟考试文科综合试题 ...
...2017学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解...
福建师大附中2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2016-2017 学年福建师大附中高二(上)期末数学试卷(文科) 一、...
福建省2016届高三基地校总复习综合卷数学试题(师大附中...
福建省2016届高三基地校总复习综合卷数学试题(师大附中、闽清一中、金石中学文科)_数学_高中教育_教育专区。2016 高三毕业班总复习综合试卷数学(文科) 闽清一中(执笔...
...2016学年福建师大附中高二下期末文科数学试卷(带解...
绝密★启用前 【百强校】 2015-2016 学年福建师大附中高二下期末文科数学 试卷(带解析) 试卷副标题 考试范围:xxx;考试时间:149 分钟;命题人:xxx 学校:___姓名...
福建师大附中2018届高考适应性训练数学(文科)
福建师大附中 2018 届高考适应性训练数学(文科) (满分:150 分,时间:120 分钟) 说明:请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷。 一、选择题:本大题共 ...
2018届福建省福建师大附中4月高考三轮模拟文科综合试题...
2018届福建省福建师大附中4月高考三轮模拟文科综合试题及答案 精品_数学_高中教育...(非选择题)两部分;考试 时间 150 分钟 ,满分 300 分第Ⅰ卷 (选择题 共 ...
2016年福建省数学基地校总复习综合试卷(师大附中、闽清...
2016年福建省数学基地校总复习综合试卷(师大附中、闽清一中、金石中学文科)(word版)_数学_高中教育_教育专区。2016 高三毕业班总复习综合试卷数学(文科)闽清一中(...
福建师大附中2012届文科综合模拟测试卷
福建师大附中2012届文科综合模拟测试卷_高三政史地_...6 部手机 27.经济学中有个“博傻理论” :即使...2010 年 12 月 8 日于广州起航,2011 年 12 月...
更多相关标签: