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“通性通法”应为解题首选方法


21 0 2年  第 5 1卷  第 7期 

数 学通报 

3  9

“ 通性通法 ” 应为解题 首选 方法 
曹 军   
( 苏 省 泰 兴 中学 江 2 50 ) 2 4 0 

本 文 拟 通 过对 江 苏 几 道 填 空 压 轴题 的解 析 ,  

/>言, 中学生 应该 掌握 的最基 本 的通性 通法 应 是 : 具 

对文 [ ] 1 作者 的解 题理 念 提 出不 同看 法 .文 [ ] 1 认 
为: 江苏 2 l O 1卷 填 空 题 最后 几 题 得 分 较 低 , 度  难 超过 了最后 一 大题 , 由于 这 几 道 题 的设 计 质 量  是

有 某些 规律 性 和普 遍意 义 的常规 解 题模 式 和 常用 
的数学 思 想方 法 .   对 于通性 通 法 的 重要 性 文 [ ] 较 详 细 的论  2有

不 高所 致 , 而设 计 质 量 不 高 的一 个 重 要 依 据 是 ,  
这几 道题 不像 江苏 2 0 0 8卷 的填 空题 最 后 两题 那 

述 , 里借 用 文 E 3 这 2 的一 个 教学 案例 来说 明忽 视通 
性 通 法所 产生 的负面 效 应 .文 [ ] 者 曾 出 了这  2作 样 一 道 题 对 大 一 新 生 进 行 测 试 :“ 知 函 数  已
1   1  

么经 典 , 那两 题有 他认 为 的 比较经 典 的解 法 ( 文  见 [1 . 1 2 1填 空题 设 计 的 改 进 建 议 ) .其 言 下 之 意 就 
是: 如果 2 1 卷 填空 题最 后 几题 也有 他认 为 的 比  01

, z 一_ z{ +8 () 去 1   -
厶 

) 若  > ÷ , 明: ≤  , 证 0
厶 

1  

较经 典 的解 法 , 数 就 不 至 于如 此 偏 低 .笔 者 认  分
真研 究 了他对 2 0 0 8卷 的填 空题最 后 两题 的解 法 ,  


() z <÷” .他发现绝大多数学生在求出 f (      )
1   1   1  

应该 说 他 的解 法 没 有 任何 问题 , 是 这 些解 法 并  但

寺+÷g - ( —2 ) 根据 z   1 1 x 后,   >寺, 易得 
厶  厶  厶 

不值 得 提倡 , 因为 这 些 解 法 所 带 来 的倾 向性 令 人 
担 忧 , 种倾 向性 就 是 “ 视 通 性 通 法 , 出特 殊  这 忽 突 技巧 ” .笔者认 为 , 最后 几道 填 空题 得 分低 的 主要  原 因是 学生 未 能 较 好 的 掌 握 通性 通 法 , 这 又 是  而 因为有 相 当一部 分 教师 在教 学或 研究 中有意 或 无  意 的显 示 自己在 解 题 方 面 的“ 殊 技 巧 ” 不 注 重  特 ,

1  

() z <÷成立 , 但是在证明 0 /z 时 , ≤f ( ) 不少同  
厶 

学 发 生 了 困难 , 多 同 学 开 始 对 要 证 的 不 等 式 进   许
1  

行 变 形 , 时学 习 较 好 的学 生 把 ÷ 移 到 等 式 的 右  平
厶 

边, 两边 乘上 ( 1 后 两边 再 取 对 数 , 之 他 们想  一 ) 总 从 变 形 中把结 果 变 出来 , 样 只 能将 思 路 引 向死  这
1  

对 学生 通性 通 法 的 指 导 , 学 生 受 到 潜 移 默 化 的  使
影 响所 致 , 学生 看 到 这 些 题 目时 首 先 考 虑 的 不 是  通性 通 法 , 而是特 殊 技巧 , 题 时一旦 遇 阻就 毫 无  解 章 法 , 能乱 做 一 气 , 能 从 容得 分 .客 观上 ,   只 不 由

胡 同 .而本题 的实质 是证 明 f ( ) ( , /z 在 ÷ +∞) 的 
厶 

最小 值 大于 等 于 0 这 才 是 解 决 本 题 的 数 学 方 法  , ( 当然是 通性 通法 ) ( . 详见 文 [ ] . 2)   我 和文 [ ] 者深 有 同感 , 一新 生作 为 中学  2作 大 教育 的成 品 , 多 数 学 生 并 没 有 形 成解 决 数 学 问  大
题 的思想 方 法 , 而只是 在 问题 形式 上反 复 做 文章 ,  

于填 空 题本 身 的 特 殊 性 , 如 求 范 围时 开 闭 区 间  譬
不 分 、 虑 问题 不全 面等 等 也极 易导 致 失分 . 考   纵 观 江苏这 几 年 最 后 两 三 道 填 空 题 , 别 是  特

21 0 1年 的最 后 三 题 , 然 总 体 上 难 度 较 大 , 要  虽 主 体 现在 运算 量 大 、 合性 强 、 式新颖 等 , 是 , 综 形 但 学 
生 如果 有较 强 的通 性 通 法 的意 识 , 决 这 几 道 题  解

应该 说 这种情 况 的 出现 与我们 很 多 中学教 师 的解  题指 导 思想 密 不 可 分 , 忽视 通 性 通 法 , 出 特  即“ 突
殊技 巧 ” .  

并 非难 事 .  
所 谓通 性: 法 是指 解决 具 有相 同性 质数 学 问  通

窥一 斑 而知 全豹 , 我们 来看 看 文[ ] 推 崇  让 1所
的 20 0 8年江 苏 高考填 空 题 的最后 一题 的解 法 , 题  目: 函数 - z 一a 。 x 1 z∈R) 若 对 于 任  设 厂 ) x 一3 + ( ( ,

题 所用 的通 用方 法 .通 性通 法 是数 学思 想 和数 学  方 法在 解决 数 学 问题 中的集 中体现 .就 现 阶段 而 

意 z 一1 1 , 有 _ z ≥ 0成 立 , 实 数 a一 ∈[ , ] 都 厂 ) ( 则  

4  0

数 学通报  解法 如 下 : 果 从 “ 步 逼 近” 如 逐 的角 度 

21 0 2年  第 5 1卷  第 7期 



圆 ,B 过 程会 大大缩 短 ”对此 笔 者更不 敢 苟 同 , 习么 ,  

思考 , 么 其 解 题 过 程 是 极 其 简 单 的 , 先 由 那 首  

因为 阿波 罗尼 斯 圆在 高 中 阶段 很 少 提 及 , 即使 学  生掌 握 了 , 运用 其解题 的局 限性 也 是 明显 的 , 求  且
想解 决 此 题 , 没有 想 象 中 的那 样 繁 杂 .解 法 如  并 下 : BC— z, c s ABc一 _ 2 2 设 则 。  4 +x  x2 -


{ ) 。 2≤,    。z 圆 的直 径 也有 一 定 的运 算 量 .事 实上 , 函数 思  f ≥ 得≤ 4 由 (一得= 厂1 () a 再 )   - ̄ 1。 用
±{ ∈[ , ] 由 f   ) , 一1 1 , (1 ≥0 再结合 2 ≤ 4 ≤n  
4  a 4  a
—  

得 a . 法看 似丝 丝人 扣 , 一4 此 滴水 不漏 , 但是 笔者 
有 几个 疑虑 , 什 么 叫“ 步 逼 近” ① 逐 ?这 是 一 种解  题 方法 吗 ?②在 紧张 的考 场 上 , 生 能 很 快 想 到  学
4-   - X2

4 可得s B=/ 4x。=   i c= 1 -2 = n  A = - X)=  ̄ -  



分 上述 两步 解题 吗 ?为什 么这 样分 步 呢? 即使有  学 生想 到 , 有几 个 人 呢 ?③ 如 果 要 过 程 极 其 简  能
单 , 我 看 还 有 更 简 单 的 方 法, 由    
f 一1≥ 0 ,( )  

_ - x -  x 2  ̄ / 4t2 -4
— 一

1 6


于是 

s 一 ××   △ 丢 2 × A  
三   ≤   一2  

4 x  


一  

{百≥ n4 能 给 生 ? 果 给 厂 )o 一, 教 学 吗 如 教   ( 1 这
学生 , 学生 能学 到什 么 呢? 我 的看法是 , 样做 的  这

可 得 三 角形 

AB 的面积 的最大 值是 2 2 C √ .众 所 皆 知 , 函数 思 
想 是 高 中阶段 最 重要 的数 学 思 想 之 一 , 果 不 重  如 点强 调这些 思想 方法 , 而是 去找 一些 特殊 方 法 , 岂  不是 本末倒 置 , 后患无 穷 .   最后 , 我们 回到 江苏 2 1 0 1卷填 空题 的 最后 两  题 , 最 常规 的方法 人手 来解 决他 们 . 从   1 3题  设 1 1 2 …≤ 口 ,其 中 a , 3  一n ≤n ≤ 7 1a , a , 成 公 比为 q的等 比数 列 ,   n , 成 公 差   a a ,  n 为 1的 等差数 列 , q的最小 值 是  则 .  

后 果 将使 绝大 多数 学 生 变 成 文 [ ] 所说 的大 一  2中
新 生 , 客气 地说 , 不 这样 的指 导 思想 既不利 于学 生  解 决 问题 , 为严 重 的是 , 响 了他们 的后 续学 习 更 影  


文 [] 2 已有详尽 论 述 , 不再 赘述 . 此  

事 实上 , 本题 的解 题思 想 和文 [ ] 2 中的完 全一 
样, 即求 厂( 在 区间[ ,] 的最小 值 , 其大   ) 一1 1 上 令 于 等于 0 从而 求 得 a的值 .解 法 如 下 : f ( ) , 由 /z 
一 3 x 一 3 当 n 0时 f ( ) 0 所 以 f (   一  a  , ≤  z 4 ,  )i  

厂 1 一口 ( ) 一2 令 n , 一2 0得 n 2 此 种 情 况 不成  ≥ ≥ ,

解 法如下

显然 口 , ≥1 依题 意 ,数列 a ,   。a ,

立; n 当 >0时 , ( 的 最 小值 只 能 在  一 土1或  .  ) 厂
1  
z 一

口 ,4a , 6口 3 n ,5a ,7可 以 写 成 1 a , , 2 1 q , 2 , 2 q 口 + ,。 a + 

. 老 取 ,l1 on4 程 比  + 2≤ q。  处 得令  ) =一, 虽 不 1 ≥ > 过 厂 ( √
a 

f -)O f+  ̄   (- 1

2q , ,。 可得 如下 不等式 :≤ 口 ≤q z ≤ q≤ 口  1 z ≤口 +1   z f≥口 ≥ 1 g z   I。 2   q ≥n +2
立 , 是    2 g 3 于 q≥     .  
【0 3 q≥  

上 文 I ] 洁 , 也不 是 文[ ] - 简 1 但 1 所说 的那样 繁 杂 , 而  且 这 是高 中生 用 导 数 求最 值 的常 用 方 法 , 该 是  应
绝 大 多数 学 生 可 以 掌 握 的 .顺 便 提 出一 个 小 问 

由于求 q的 最小 值 ,所 以有 q ≥口 + 1   z 恒成 

题 , 1 中说 “ 具有 明确 的指 向 性 , 即“ 文[ ] 一” 意 a只  能等 于一 个具 体 的值 ” 这 种 说法 值 得 商 榷 , 答  , 若 案 为 2和 4 完全 可 以填 写 口 , 一2或 4 若题 目改 为  ,


f q  

,  

点评

解决 本 题 的关 键 在 于两 次 转 化 , 先  首

n   ∈

” 那 么 答 案 只 能 填一 个 区间 吗 ?口   , ∈

将 a ,4 口 ,6 口 转 化 为基 本量 口 3口 ,5 口 , 7 2和 q 再 根 据  , 问题 的指 向性 “ g的最 小值 ” 可 将 这 样 一 个 较  求 ,
长 的连续不 等 式 转 化 为上 述 不 等 式 组 , 就 是 说  也

{ } 道 不行 吗? 4难   再看 文 [ ] 推崇 的 2 0 年 江苏 高考 填 空题  1所 08 第1 3题 ( 数 第 二 题 ) 倒 的解 法 , 满 足条 件 AB一  “

学生 只 要 具 备 最 基 本 的数 学 思 想 —— 转 化 的 思  想 , 可顺 利求 解 了 .据 了解 , 便 大多 数学 生看 到 此  题几 乎无 法下手 , 只是毫无 目的地随便找几个 值代 
( 转第 4 下 3页 )  

2 AC=√ BC的三 角形 AB 的面 积 的 最 大值 是  , 2 C


”文 [ ] 为 “ 常规 方 法 人 手 则过 程  1认 从

较长 , 果 考 虑 C 点 的轨 迹 是 一 个 阿 波 罗 尼 斯  如

21 0 2年  第 5 1卷  第 7期 

数 学通 报 

4  3 如 图 4 当 MN 与 AB 相交 于 己 点 时 , M , , , 过  

N 分 别 作 s /AB, Q/AB, 时 MN 完 全 置  P/ R / 此
于 矩 形 PQ RS 中 , 长 P S 与 内 墙 相 交 于 E 、 延 Q, R  

F、 H , G、 我们 知道 MN≤ P ≤ E . R G .   这 意 味着 , 当木 杆与 AB接 触 时 , 如果 在底 面  的投 影 在 直 线 PQ 上 , 杆 的 最 大 长 度 为 矩 形  木 E GH 的对 角 线 E 显 然 , 杆在 底 面 的投影 与  F G, 木 P Q平 行 时 , 杆 的最 大 长 度 也 为 E .而 水平 通  木 G

过 的 最 大 长 度 为 z 这 样 , 杆 的 长 度 不 能 超  , 木
过 
图 4  

:  

,  

通 过 拐角 的最 佳 方 式 是 两 个 端 点 要 “ 天 立  顶

地” 且 都要 紧靠 内墙通 过. ,  
参 考 文 献 

证 明  如 果 木 杆 MN 不 接 触 AB 能 通 过 拐 

角 , 图 3 我 们 过 端 点 M , 分 别 作 Ac 的平 行  如 , N
线, 平面 PQ RS与 面 AB D 相交 于 【V, 然 , C , 显 平  移 MN 到 与 AB 相交 于 U 时也 能 通过 拐 角 , 们  我 只要 考虑 木杆 与 AB有 接触 时 的情 况 .  

1 赵 加 营 , 明 明 , 俊 .对 一 道 课 本 习题 的拓 展 探 究 []   陆 杨 J .数 学 
通 报 , 0 1 1  2 1 ,1

( 接 第 4 页) 上 O  


下, 其结 果 可想 而 知 .可 以肯 定 的讲 , 如果 用 前 
f 一1 ≥O 厂( )  

≤I , mI解得 1   ≤ ≤ 2   , 一 + 结合  ≥百 或  1
厶 

1  

m≤O得去 ≤m≤2 2 +√ .  
厶 

述 法厂 )o> 4类 方 教 学   方 j ≥ =一 似 法 给 生 ( n或
解 2O O 8卷 的最后 一 道填 空题 , 那么 大 多数 学 生在 

点评

解 决 本 题 必须 要 有 较 扎 实 的 基 本 功 ,  

即集合 的相关 知识 以及 转 化 和 数 形 结 合 的 思 想 ,  
能 够 准确 的将 符号 语 言 A nB≠  转 化 为对 直 线    

解这 道题 时 的束 手无 策 应在 情 理之 中 .   1 4题 设 集 合 A一 { z, )l ≤ ( - 2 。 (      - ) + 
Y ≤ m。 z,   , Y∈R)  ,

与 圆的位 置关 系 的判 断 , 而这 是 高 中生 应 掌 握 的 
基 本方 法 .   至此 , 我们 应 清醒 地认 识 到 ,淡 化 特殊 技 巧 , “   重 视通 性 通法 ” 成为 所有 教 师 的共识 , 别是 在  应 特 解 题教 学 中 , 首 先提 倡通 性通 法 , 应 只有 让 学生 较 

B一 { , ) m≤ l+ Y 2 ( Y l 2 z ≤ m+ 1 -, R)  , Y∈ z ,

若 A   nB≠  ,则实数 m 的取值 范 围是 

.  

解 法 如 下  由 于 A ≠  , 以 mz 所 ≥  , 即 

扎 实 的掌 握通 性 通 法 , 能使 他 们 在 解 题 时 更 有  才 底 气 , 能使他 们 在考 试 中立 于不败 之 地 , 能 为  才 更
他 们未 来 的发 展奠 定 良好 的基 础 .  
参 考 文 献 

≥寺或  ≤o因为集合 A表示一个圆及其内部  ,
或 一个 圆环 及其 内部 , 合 B 表 示 两 平 行 直 线及  集
两 平行 直 线 之 间 的 区 域 , 以 只 要 两 平 行 直 线  所

z + 一2 和 j ,  +1 m r 一2 +3 之一 与大 圆 ( 一2 。 z )+ 
Y 一  。  一0时 可 看 成 点 圆 ) 公 共 点 , 有    ( 有 就

1 张海 强 .2 1   0 1年 江 苏 省 高 考 数 学 试 卷 分 析 与 改 进 意 见 .数 学  通 报 ,0 1 9 2 1 ,  2 王 金 才 .数 学 思 想 、 学 方 法 和 数 学 能 力 及 关 系 的 正 确 认 识 .   数  
数 学 通 报 ,0 1 1  2 1 ,1

A ≠.是 ≤ 等 N  于   或 B

 


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