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三次函数的性质以及在高考中的应用


三次函数的性质以及在高考中的应用

三次函数

已经成为中学阶段一个重要的函数, 在高考和

一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。2004 年高考,在江苏卷、浙江卷、天津卷、 重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题,特别是湖北卷以压轴题的形式出现,更应 该引起我们的重视。 单调性和对称性最能反映这个函数的特性。 下面我们就来探讨一下它的 单调性、对称性以及图象变化规律。

函数

的导函数为 称为原函数的导方程,其判别式

。 我们不妨把方程 。若 ,设其两根



,则可得到以下性质:

性质 1:函数





,当

时,y=f(x)是增函数;当 ,单调递增区间是 ;

时,其单调递增区间是



, 当

时,

是减函数; 当 。

时, 其单调递减区间是



,单调递增区间是 (证明略)

推论:函数 时,有极大值 、极小值 。

,当

时,不存在极大值和极小值;当

根据 a 和

的不同情况,其图象特征分别为:

1

图1

性质 2:函数 ,则:



,且



。 (证明略)

性质 3:函数

是中心对称图形,其对称中心是



)。

证明:设函数

的对称中心为(m,n)。

按向量 所以

将函数的图象平移,则所得函数

是奇函数,

化简得: 上式对 恒成立,故

,得

2





所以,函数

的对称中心是(

)。

可见,y=f(x)图象的对称中心在导函数 y= 中点。

的对称轴上,且又是两个极值点的

下面仅选一些 2004 年高考中出现的部分试题, 让我们来体会一下如何应用这些性质快 速、准确地解答问题。

例 1. (浙江)设 f(x)的图象最有可能是( )

是函数 f(x)的导函数,

的图象如图 2 所示,则 y=

图2

图3

3

解:根据图象特征,不妨设 f(x)是三次函数。则 ① ;

的图象给出了如下信息:

②导方程两根是 0,2,(f(x)对称中心的横坐标是 1);

③在(0,2)上

;在(-

,0)或(2,

)上



由①和性质 1 可排除 B、D;由③和性质 1 确定选 C。

例 2. (江苏)函数 ( ) A. 1,-1 B. 1,-17 C. 3,-17 D. 9,-19

在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是

解:函数的导方程是

,两根为 1 和-1,由性质 2 得:



。 故选 C。

例 3. (天津)已知函数

在 x=±1 处取得极值。

(I)讨论 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (II)过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程。

解:(I)因为

,所以导方程



因为

在 x=±1 处取得极值,所以,

是导方程的两根,

4

所以 解得 a=1,b=0

所以

由推论得

是 f(x)的极大值;f(1)=-2 是 f(x)的极小值。

(II)曲线方程为

,点 A(0,16)不在曲线上。

设切点为 M

因为

,故切线方程为

点 A(0,16)在切线上,所以

解得

,切点为 M(-2,-2)

故所求切线方程为

例 4. (湖北)已知 的图象相切。

,函数

的图象与函数

(I)求 b 与 c 的关系式(用 c 表示 b);

(II)设函数

在(

)内有极值点,求 c 的取值范围。

5

解:(I)依题意,

,得



所以

因为

所以

(II)因为 所以 F(x)的导方程为:

依性质 1 的推论得:

所以



所以



解之得

故所求 c 的范围是(0,





)。

6


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