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辽宁师大附中2015届高三上学期10月月考数学试卷(文科)


辽宁师大附中 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,选择一 个符合题目要求的选项. 1. (5 分)已知集合 A.{x|1<x<2} B.{x|1<x<2,或 x>3} C. {x|0≤x<1,或 x>3} {x|0≤x<1} 等于() D.

2. (5 分)已知数列{an}为等差数列,且 a1+a7+a13=4π,则 tan(a2+a12)的值为() A.﹣ B. C. D.﹣

3. (5 分)已知 , 是两个非零向量,给定命题 p:| ? |=| || |,命题 q:?t∈R,使得 =t , 则 p 是 q 的() A.充分不必要条件 C. 充要条件 4. (5 分)函数 y=2sin(2x﹣ A. B. B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )的一个单调递减区间是() C. D.

5. (5 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 A.2 B. C.

=3,则

=()

D.3

6. (5 分)已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为() A.5 B. 4 C. 3 D.2

7. (5 分)已知向量 =(1,2) ,向量 =(x,﹣2) ,且 ⊥( ﹣ ) ,则实数 x 等于() A.﹣4 B. 4 +loga C. 0 ,y= loga5,z=loga C.y>x>z D.9 ﹣loga ,则()

8. (5 分)已知 0<a<1,x=loga A.x>y>z B.z>y>x

D.z>x>y

9. (5 分)在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边长分别是 a、b、c.若 sinC+sin(B﹣A) =sin2A,则△ ABC 的形状为() A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 10. (5 分)函数 y=lncosx( )的图象是()

A.

B.

C. 11. (5 分)已知 sin A.﹣ B. ﹣ ,则 cos

D. 的值是() C.
3

D.

12. (5 分)已知实数 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=3x﹣x 的极大值点坐标为(b,c)则 ad 等于() A.2 B. 1 C . ﹣1 D.﹣2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将正确答案填在相应位置上. 13. (4 分)数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2,则通项 an=. 14. (4 分)已知 =﹣5,则 3cos2θ+4sin2θ=.

15. (4 分)为使方程 cos x﹣sinx+a=0 在(0,

2

]内有解,则 a 的取值范围是.

16. (4 分)已知函数 ①f(x)的最小正周期是 4π;

,在下列四个命题中:

②f(x)的图象可由 g(x)=sin2x 的图象向右平移

个单位长度得到;

③若 x1≠x2,且 f(x1)=f(x2)=﹣1,则 x1﹣x2=kπ(k∈z,且 k≠0) ;

④直线

是函数 f(x)图象的一条对称轴.

其中正确命题的序号是(把你认为正确命题的序号都填上) .

三、解答题: (本大题共 4 小题,共 44 分.) 17. (10 分)△ ABC 中内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 =(2sinB,﹣ (cos2B, ﹣1)且 ∥ . ) , =

(1)求锐角 B 的大小; (2)如果 b=2,求△ ABC 的面积 S△ ABC 的最大值. 18. (10 分)已知向量 =(sin(ωx+φ) ,2) , =(1,cos(ωx+φ) ) (ω>0,0<φ< ) .函

数 f(x)=( + )?( ﹣ ) ,y=f(x)的图象的相邻两对称轴之间的距离为 2,且过点 M(1, ) . (1)求 f(x)的表达式; (2)求 f(0)+f(1)+f(2)+…+f 的值. 19. (12 分) 设数列{bn}的前 n 项和为 Sn, 且 bn=2﹣2Sn; 数列{an}为等差数列, 且 a5=14, a7=20. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)若 cn=an?bn,n=1,2,3,…,Tn 为数列{cn}的前 n 项和.求证: .

20. (12 分)已知函数 f(x)=lnx﹣ . (1)当 a>0 时,判断 f(x)在定义域上的单调性; (2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求 a 的值.

辽宁师大附中 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷(文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,选择一 个符合题目要求的选项.

1. (5 分)已知集合 A.{x|1<x<2} B.{x|1<x<2,或 x>3} C. {x|0≤x<1,或 x>3} 考点: 交集及其运算. 分析: 由题意集合 A={x|x ﹣4x+3>0},B={x| 和运算法则进行计算. 2 解答: 解:∵集合 A={x|x ﹣4x+3>0}, ∴A={x|x>3 或 x<1}, ∵B={x| ≤0},
2

等于() {x|0≤x<1} D.

≤0},解出 A,B,然后根据交集的定义

∴B={x|0≤x<2}, ∴A∩B={x|0≤x<1}, 故选 C. 点评: 此题考查简单的集合的运算,集合在 2015 届高考的考查是以基础题为主,题目比较 容易,复习中我们应从基础出发. 2. (5 分)已知数列{an}为等差数列,且 a1+a7+a13=4π,则 tan(a2+a12)的值为() A.﹣ B. C. D.﹣

考点: 等差数列的性质;运用诱导公式化简求值;两角和与差的正切函数. 专题: 计算题. 分析: 因为 a1+a7+a13=4π,则 a7= 算可得答案. 解答: 解:∵a1+a7+a13=4π, 则 a7= , =﹣ , ,所以 tan(a2+a12)=tan2a7=tan ,由诱导公式计

∴tan(a2+a12)=tan2a7=tan

故选 A. 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题电动机发认真审题,仔细解答.

3. (5 分)已知 , 是两个非零向量,给定命题 p:| ? |=| || |,命题 q:?t∈R,使得 =t , 则 p 是 q 的() A.充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;向量的几何表示. 专题: 阅读型.

分析: 利用 2 个向量的数量积公式,由命题 p 成立能推出命题 q 成立,由命题 q 成立能推 出命题 p 成立,p 是 q 的充要条件. 解答: 解: (1)若命题 p 成立,∵ , 是两个非零向量,| ? |=| || |,即|| || |?cos< , >|=| || |, ∴cos< , >=±1,< , >=0 或< , >=180 ∴ , 共线,即;?t∈R,使得 =t , ∴由命题 p 成立能推出命题 q 成立. (2)若命题 p 成立,即?t∈R,使得 =t ,则 , 两个非零向量共线,∴< , >=0 或< , >=180 , ∴cos< , >=±1,即|| || |?cos< , >|=| || |, ∴| ? |=| || |,∴由命题 q 成立能推出命题 p 成立. ∴p 是 q 的充要条件. 点评: 本题考查充要条件的概念及判断方法.
0 0 0 0

4. (5 分)函数 y=2sin(2x﹣ A. B.

)的一个单调递减区间是() C. D.

考点: 复合三角函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 由正弦函数的单调性可求得正弦函数的递减区间,继而可得答案. 解答: 解:由 2kπ+ kπ+ ≤x≤kπ+ , )的单调递减区间为[kπ+ ,kπ+ ]. , ]. ≤2x﹣ ≤2kπ+ (k∈Z)得:

∴函数 y=2sin(2x﹣

当 k=0 时,函数 y=2sin(2x﹣

)的一个单调递减区间是[

故选 A. 点评: 本题考查复合三角函数的单调性,求得弦函数的递减区间是关键,考查分析与运算 的能力,属于中档题.

5. (5 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若

=3,则

=()

A.2

B.

C.

D.3

考点: 等比数列的前 n 项和. 3 分析: 首先由等比数列前 n 项和公式列方程,并解得 q ,然后再次利用等比数列前 n 项和 公式则求得答案.

解答: 解:设公比为 q,则

=

=

=1+q =3,

3

所以 q =2, 所以 = = = .

3

故选 B. 点评: 本题考查等比数列前 n 项和公式. 6. (5 分)已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为() A.5 B. 4 C. 3 D.2 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 写出数列的第一、三、五、七、九项的和即 5a1+(2d+4d+6d+8d) ,写出数列的第二、 四、六、八、十项的和即 5a1+(d+3d+5d+7d+9d) ,都用首项和公差表示,两式相减,得到结 果. 解答: 解: ,

故选 C. 点评: 等差数列的奇数项和和偶数项和的问题也可以这样解,让每一个偶数项减去前一奇 数项,有几对得到几个公差,让偶数项和减去奇数项和的差除以公差的系数.

7. (5 分)已知向量 =(1,2) ,向量 =(x,﹣2) ,且 ⊥( ﹣ ) ,则实数 x 等于() A.﹣4 B. 4 C. 0 D.9

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由给出的向量的坐标求出( ﹣ )的坐标,然后直接利用向量垂直的坐标表示列式 求解 x 的值. 解答: 解:由向量 =(1,2) ,向量 =(x,﹣2) ,

∴( ﹣ )=(1﹣x,4) , 又 ⊥( ﹣ ) , ∴1×(1﹣x)+2×4=0,解得 x=9. 故选 D. 点评: 本题考查了向量垂直的坐标表示,考查了向量坐标的加减法运算,是基础的计算题.

8. (5 分)已知 0<a<1,x=loga A.x>y>z B.z>y>x

+loga

,y= loga5,z=loga C.y>x>z

﹣loga

,则()

D.z>x>y

考点: 对数值大小的比较. 分析: 先化简 x、y、z 然后利用对数函数的单调性,比较大小即可. 解答: 解:x=loga +loga =loga , y= loga5=loga ,z=loga ﹣loga =loga ,

∵0<a<1,又 < < , ∴loga >loga >loga ,即 y>x>z. 故选 C. 点评: 本题考查对数函数的性质,对数的化简,是基础题. 9. (5 分)在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边长分别是 a、b、c.若 sinC+sin(B﹣A) =sin2A,则△ ABC 的形状为() A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 解三角形. 分析: 由已知条件结合三角函数公式化简可得 2cosA(sinA﹣sinB)=0,分别可得 A= 或 a=b,可得结论. 解答: 解:∵sinC+sin(B﹣A)=sin2A, ∴sin(A+B)+sin(B﹣A)=sin2A, ∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A, ∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA, ∴2cosA(sinA﹣sinB)=0, ∴cosA=0,或 sinA=sinB, ∴A= ,或 a=b, ,

∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形 故选:D. 点评: 本题考查三角形形状的判断,涉及三角函数公式的应用,本题易约掉 cosA 而导致漏 解,属中档题和易错题.

10. (5 分)函数 y=lncosx(

)的图象是()

A.

B.

C. 考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 数形结合. 分析: 利用函数 性可排除一些个选项.从而得以解决. 解答: 解:∵cos(﹣x)=cosx, ∴

D.

的奇偶性可排除一些选项, 利用函数的有界

是偶函数,

可排除 B、D, 由 cosx≤1?lncosx≤0 排除 C, 故选 A. 点评: 本小题主要考查复合函数的图象识别.属于基础题.

11. (5 分)已知 sin A.﹣ B. ﹣

,则 cos C.

的值是() D.

考点: 二倍角的余弦;运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 利用诱导公式和二倍角公式化简 cos 后代入 sin 解答: 解:cos( =﹣cos[2( =﹣[1﹣2si )] ] 的值,求解即可. +2α)=﹣cos( ﹣2α) 为 sin 的表达式,然

=﹣(1﹣ )=﹣ 故选 A 点评: 本题考查二倍角的余弦,运用诱导公式化简求值,考查计算能力,是基础题. 12. (5 分)已知实数 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=3x﹣x 的极大值点坐标为(b,c)则 ad 等于() A.2 B. 1 C . ﹣1 D.﹣2 考点: 利用导数研究函数的极值;等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 先求导数,得到极大值点,从而求得 b,c,再利用等比数列的性质求解. 解答: 解:∵y′=3﹣3x =0,则 x=±1, ∴y′<0,可得 x<﹣1 或 x>1,y′>0,可得﹣1<x<1, ∴函数在(﹣∞,﹣1) , (1,+∞)上单调递减,在(﹣1,1)上单调递增, ∴x=1 是极大值点,此时极大值为 3﹣1=2. ∴b=1,c=2 又∵实数 a,b,c,d 成等比数列, 由等比数列的性质可得:ad=bc=2. 故选 A 点评: 本题主要考查利用导数求函数极值点及等比数列的性质的应用,考查了学生的计算 能力和对知识的综合应用,属于基础题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将正确答案填在相应位置上. 13. (4 分)数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2,则通项 an=2×3
n﹣1 2 3

﹣1.

考点: 数列递推式. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 由题意知 an+1+1=3(an+1) ,所以 {an+1}是一个以 a1+1=2 为首项,以 3 为公比的等 比数列,由此可知 an=2×3n﹣1﹣1. 解答: 解:设 an+1+k=3(an+k) ,得 an+1=3an+2k,与 an+1=3an+2 比较得 k=1, ∴原递推式可变为 an+1+1=3(an+1) , ∴ ,

∴{an+1}是一个以 a1+1=2 为首项,以 3 为公比的等比数列, ∴an+1=2×3n﹣1,∴an=2×3n﹣1﹣1. 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 14. (4 分)已知 =﹣5,则 3cos2θ+4sin2θ= .

考点: 二倍角的余弦;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值.

分析: 首先利用 解答: 解:已知: 利用: 解得:tanθ=2 进一步求出: = 所以:3cos2θ+4sin2θ=

求出 tanθ 的值,进一步利用万能公式求的结果. =﹣5

= =

=﹣

点评: 本题考查的知识要点:同角三减函数的恒等变换,及万能公式的应用.
2

15. (4 分)为使方程 cos x﹣sinx+a=0 在(0,

]内有解,则 a 的取值范围是﹣1<a≤1.

考点: 同角三角函数间的基本关系;一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题. 2 2 分析: 由题意可得方程 t +t﹣a﹣1=0 在(0,1]上有解,函数 f(t)=t +t﹣a﹣1 的对称轴为 t=﹣ ,故有
2

,解此不等式组求得 a 的取值范围.
2

解答: 解:方程 cos x﹣sinx+a=0 即 sin x+sinx﹣a﹣1=0. 由于 x∈(0,
2 2

],∴0<sinx≤1.

故方程 t +t﹣a﹣1=0 在(0,1]上有解. 又方程 t +t﹣a﹣1=0 对应的二次函数 f(t)=t +t﹣a﹣1 的对称轴为 t=﹣ ,
2

故有

,即



解得﹣1<a≤1. 故答案为:﹣1<a≤1. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系,一元二次方程的根的分布与系数的关系, 体现了转化的数学思想.

16. (4 分)已知函数 ①f(x)的最小正周期是 4π;

,在下列四个命题中:

②f(x)的图象可由 g(x)=sin2x 的图象向右平移

个单位长度得到;

③若 x1≠x2,且 f(x1)=f(x2)=﹣1,则 x1﹣x2=kπ(k∈z,且 k≠0) ; ④直线 是函数 f(x)图象的一条对称轴.

其中正确命题的序号是③④(把你认为正确命题的序号都填上) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题;简易逻辑. 分析: 利用函数 解答: 解:由题意,①T= ,结合正弦函数的性质,即可判断. =π,∴①不正确; 个单位长度得到,∴②不正确;

②f(x)的图象可由 g(x)=sin2x 的图象向右平移

③若 x1≠x2,且 f(x1)=f(x2)=﹣1,则函数最低点间的距离为周期的整数倍,∴③正确; ④ 时, =sin(﹣ )=﹣1,∴直线 是函数 f(x)图象的一条对

称轴,正确. 故答案为:③④. 点评: 本题借助考查命题的真假判定,考查 y=Asin(ωx+Φ)函数的性质. 三、解答题: (本大题共 4 小题,共 44 分.) 17. (10 分)△ ABC 中内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 =(2sinB,﹣ (cos2B, ﹣1)且 ∥ . ) , =

(1)求锐角 B 的大小; (2)如果 b=2,求△ ABC 的面积 S△ ABC 的最大值. 考点: 二倍角的余弦;平行向量与共线向量;两角和与差的正弦函数. 专题: 解三角形. 分析: (1)由两向量的坐标,及两向量平行时满足的关系列出关系式,利用二倍角的正弦 函数公式化简,再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后求出 tan2B 的值,由 B 为锐角, 得到 2B 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数; (2)由 cosB 的值及 b 的值,利用余弦定理列出关于 a 与 c 的关系式,利用基本不等式求出 ac 的最大值,再由 sinB 及 ac 的最大值,利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 面积的 最大值. 解答: 解: (1)∵ =(2sinB,﹣ ∴2sinB?(2cos ∴tan2B=﹣ ∵B∈(0,
2

) , =(cos2B,2cos

2

﹣1) ,且 ∥ , cos2B,

﹣1)=﹣

cos2B,即 2sinBcosB=sin2B=﹣

, ) ,∴2B∈(0,π) ,

∴2B=

,即 B=



(2)∵B=

,b=2,

∴由余弦定理 cosB=
2 2

得:a +c ﹣ac﹣4=0,

2

2

又 a +c ≥2ac,代入上式得:ac≤4(当且仅当 a=c=2 时等号成立) , ∴S△ ABC= acsinB= ac≤ (当且仅当 a=c=2 时等号成立) ,

则 S△ ABC 的最大值为 . 点评: 此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:二倍角的正弦函数公式,同角三角函数 间的基本关系,基本不等式,余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握公式及定理是解本 题的关键.

18. (10 分)已知向量 =(sin(ωx+φ) ,2) , =(1,cos(ωx+φ) ) (ω>0,0<φ<

) .函

数 f(x)=( + )?( ﹣ ) ,y=f(x)的图象的相邻两对称轴之间的距离为 2,且过点 M(1, ) . (1)求 f(x)的表达式; (2)求 f(0)+f(1)+f(2)+…+f 的值. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据向量的数量积运算、平方关系、二倍角的余弦公式化简解析式,由周期公 式和题意求出 ω 的值,再把点 M(1, )代入化简后,结合 φ 的范围求出 φ; (2)根据函数的周期为 4,求出一个周期内的函数值的和,再根据周期性求出式子的值. 解答: 解: (1)由题意得, =sin (ωx+φ)+4﹣1﹣cos (ωx+φ)=﹣cos(2ωx+2φ)+3, 因为函数的周期 又图象过点 M(1, ) ,所以 由 0<φ< 所以 (2)因为 y=f(x)的周期 T=4, ,得 , , . …5’ ,所以 , ,即 ,
2 2

=

且 , 所以 f(0)+f(1)+f(2)+…+f=503×12+f(0)+f(1)+f(3)= . …10’

点评: 本题考查了向量的数量积运算、平方关系、二倍角的余弦公式,以及三角函数周期 性的应用,熟练掌握公式是解题的关键. 19. (12 分) 设数列{bn}的前 n 项和为 Sn, 且 bn=2﹣2Sn; 数列{an}为等差数列, 且 a5=14, a7=20. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)若 cn=an?bn,n=1,2,3,…,Tn 为数列{cn}的前 n 项和.求证: .

考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题;综合题;转化思想. 分析: (1)由题设条件知 . ,bn=2﹣2Sn,bn﹣bn﹣1=﹣2(Sn﹣Sn﹣1)=﹣

2bn.

,由此可求出数列{bn}的通项公式. ,可得 an=3n﹣1.从而 .

(2)数列{an}为等差数列,公差

,由此能证明数列{cn}的前 n 项和 解答: 解: (1)由 bn=2﹣2Sn,令 n=1,则 b1=2﹣2S1,又 S1=b1, 所以 .b2=2﹣2(b1+b2) ,则 .

当 n≥2 时,由 bn=2﹣2Sn,可得 bn﹣bn﹣1=﹣2(Sn﹣Sn﹣1)=﹣2bn.即 所以{bn}是以 为首项, 为公比的等比数列,于是 .



(2)数列{an}为等差数列,公差 从而 cn=an?bn=2(3n﹣1)? ∴ =

,可得 an=3n﹣1.



点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的灵活运用.

20. (12 分)已知函数 f(x)=lnx﹣ . (1)当 a>0 时,判断 f(x)在定义域上的单调性;

(2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求 a 的值.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)确定函数的定义域,根据 f′(x)>0,可得 f(x)在定义域上的单调性; (2)求导函数,分类讨论,确定函数 f(x)在[1,e]上的单调性,利用 f(x)在[1,e]上的最 小值为 ,即可求 a 的值. 解答: 解: (1)函数的定义域为(0,+∞) ,且 f′(x)= ∵a>0,∴f′(x)>0 ∴f(x)在定义域上单调递增; (2)由(1)知,f′(x)= ①若 a≥﹣1,则 x+a≥0,即 f′(x)≥0 在[1,e]上恒成立,此时 f(x)在[1,e]上为增函数 ∵f(x)在[1,e]上的最小值为 , ∴f(x)min=f(1)=﹣a= , ∴a=﹣ (舍去) ②若 a≤﹣e,则 x+a≤0,即 f′(x)≤0 在[1,e]上恒成立,此时 f(x)在[1,e]上为减函数, ∴f(x)min=f(e)=1﹣ = ,∴a=﹣ (舍去) . ③若﹣e<a<﹣1,令 f′(x)=0,得 x=﹣a. 当 1<x<﹣a 时,f′(x)<0,∴f(x)在(1,﹣a)上为减函数; 当﹣a<x<e 时,f′(x)>0,∴f(x)在(﹣a,e)上为增函数, ∴f(x)min=f(﹣a)=ln(﹣a)+1= ,∴a=﹣ .

综上可知:a=﹣ . 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查分类讨论的 数学思想,属于中档题.


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