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竞赛辅导1——力学WY1


物理竞赛辅导 质点力学

一、运动学 直角坐标 位置矢量 位移 瞬时速度
? ? ? ? r ? xi ? yj ? zk

? ? ? ?r ? rB ? rA
? ? dr dx ? dy ? v? ? i? j dt dt dt

加速度

? dv x ? dv y ?

dvz ? a? i? j? k dt dt dt
? d 2 y ? d 2z ? d x ? 2 i ? 2 j? 2 k dt dt dt
2

圆周运动
切向、法向加速度: 角速度、角加速度:
dv a? ? dt v an ? R
2

d? ?? dt

d? d ? ?? ? 2 dt dt
2

角量与线量之间的关系

a? ? R? a ? R? 2 v ? R? n

求解相对运动的方法
(1)找出动系S′,静系S,及动点P (2)根据公式:

? v S?

? v S —— 绝对速度
—— 相对速度
—— 牵连速度

? ? ? v s ? v s? ? v

? v s?

? v

? v

? vs

(3)画出速度矢量三角形: (4)再根据几何关系求解

二、动力学 ? ? dv ? 1.直角坐标系 F ? ma ? m dt dvy ? dvx ? dvz ? ?m i ?m j ?m k dt dt dt ? ? ? ? m ax i ? m ay j ? m az k
2.自然坐标系

dv ? ? ?? ? F ? mat ? m dt et ? 2 ? ? v ? ? ? F ? ma ? m en ? ? ?

? en

? a
? et

摩擦力问题
最大静摩擦力
f ? ?0 N

滑动摩擦力

f ? ?N

弹力问题

f ? ?kx

1 2 Ek ? kx 2

万有引力
mM F ?G 2 r
mM E p ? ?G r

非惯性系问题
1、惯性系 适用牛顿运动定律的参 考系叫做惯性参考系 2、力学相对性原理 设参考系 ? S以速度 v 匀速运动 对于质点P:
S ?相对惯性系

y

y'

? v
P

? r
o z

? r?
o' x x'

? R
z'

?

? ? ? r ? r? ? R

? ? ? dr dr ? dR ? ? dt dt dt

对上式再求导:

? ? ? d v s d v s? d v ? ? dt dt dt

? ? ? as ? as? ? a0
? ? ? ? ? F ? maS ? maS? ? F ?
上式表明:相对于惯性系作匀速直线运动的一 切参考系都是惯性系;在所有的惯性系中,牛 顿运动定律都是等价的——力学相对性原理

3、非惯性系
S a0

a’

S’

在 S 参考系运动符合牛顿定律,牛顿定律在惯性系成立 在S'系

? ? F ? ma '
? ? F0 ? ?ma0
? ? ? F ? F0 ? ma

在非惯性系引入虚拟力或惯性力 在非惯性系 S '系

结论可推广到非平动的非惯性系,如转动参考系。

例:一匀加速运动的车厢内,观察单摆,平衡位置和振动周期 如何变化? (加速度 a0 ,摆长 l ,质量 m)

?
S S'
ma0 mg

a0

解:在 S '系 周期

a ? a0 ? g
2

2

a0 平衡位置 ? ? tan g
?1

l l T ? 2? ? T ? 2? g a

动量定理与动量守恒 1、质点

? ? p ? mv

? t2 ? I ? ?t1 F (t )dt ? ? ? I ? p2 ? p1 ? n ? P ? ? mi vi ? 恒矢量
i ?1

2、由n个质点组成的质点系
i ?1

? ? Fi内dt ? 0
n

n n ? ? ? ? F外dt ? ? mi vi ? ? mi vi 0 i ?1 i ?1

? ? ? I ? P ? P0

质点系的动量定理

3、动量守恒定律

如果:

? F ?0


? n ? P ? ? mi vi ? 恒矢量
i ?1

质点系的动量守恒定律。

质心
一.质心的概念和质心位置的确定 定义质心 C 的位矢为

m ( m ? ? mi ) ? mi xi x ?
m ? m i yi yC ? m ? mi zi zC ? m
C

? rC ?

? ? mi ri

··· · · · ··
C× mi rC ri 0

z

y

x 质心位置是质点位置 以质量为权重 的平均值.

二.几种系统的质心 ● 两质点系统 m1 C

·

×

m2 r2

r1

· m r =m r
1 1

2 2



连续体
z r dm

? rC ?
xC
y

? ? r dm m
m

×C rC m

? x dm ?

O

x

……

● ●

均匀杆、圆盘、圆环、球,质心为其几何中心. “小”线度物体的质心和重心是重合的. 求挖掉小圆盘后系统的质心坐标. [例] 如图示, 解:可设想用一个小圆盘填补挖空处, 再把它减掉. y

匀质圆盘

由对称性分析,质心 C 应在 x 轴上. 令? 为质量的面密度,则质心坐标为:
O′

R
C

xC O

·
d

r

x
挖空

0 ? ? d ?? ?? r ) ( xC ? 2 2 ? ?? R ? ? ?? r d ?? 2 ?R / r ? ? 1
2

质心运动定理
z

··· · r v m· · · · r y 0

c
c i i

? d ri ? ? mi ? d rC dt vC ? ? dt m ? ? mi v i vi ? m ? ? mv C ? ? mi v i
i

x
由 有

? ? 总动量 P ? mv C ? ? ? ? dvC dP d F外 ? ? ( mv C ) ? m dt dt dt

? ? F外 ? maC

质心运动定理

例题.水平桌面上铺一张纸,纸上放一个均匀球,

球的质量为M=0.5kg.将纸向右拉时会有f=0.1N的
摩擦力作用在球上,求该球的球心加速度aC以及

在从静止开始的2s内,球心相对桌面移动的距离.
f ? MaC
f 0.1 aC ? ? ? 0.2m / s 2 M 0.5 1 1 2 sC ? aC t ? ? 0.2 ? 2 2 ? 0.4m 2 2



aC
f



? 设t时刻,物体质量为m,速度为 v ,在 dt 时间 内有质量为dm 的物体附在m上,附在m上之前, ? ? dm的速度为 u .dm附上后,m的速度由 v 变为 ? ? ? ?v ? dv ? ,物体m与dm所受外力为 F外 .将m, dm 视作一个系统,则

变质量物体运动问题

? ? d ? mi vi ? F外dt ? ? ? ? ? ?m ? dm??v ? dv ? ? mv ? dm? u ? F外dt ? 略去 dm ? dv 则 d ? dm ? ? ?mv ? ? u ? F外 dt dt

功、动能定理、功能原理
1 功

W ??

B ? F A

? ? dr

? ? ? ? ? F ? F x i ? F y j ? Fz k ? ? ? ? ? ? ?dr ? dxi ? dyj ? dzk ?
? W ??
B

A

? ? B F ? dr ? ? ( Fx dx ? F y dy ? Fz dz)
A

2 动能定理
3 三种势能:
重力势能

W ? Ek 2 ? Ek1
E p ? mgy
Mm E p ? ?G r

引力势能

弹性势能

1 2 E p ? kx 2

W保 ? ?( E p2 ? E p1 ) ? ??E p

4 保守力和势能的微分关系 ? ? F ? dr ? ?dEp ( x, y, z)
? ?EP ? ?EP ? ?EP ? F ?? i? j? k ?x ?y ?z

5 功能原理

W外 ? W内非 ? E ? E0

6 机械能守恒定律 W外 ? 0,W内 非 ? 0时 E

? E0

功、能与参考系的关系

W ??

B ? F A

? ? dr

W ? Ek 2 ? Ek1
W外 ? W内非 ? E ? E0
因为位移与速度均与参考系有关,所以 功与能也与参考系有关

行星运动问题
1) 人造地球卫星 第一宇宙速度

第一宇宙速度 所需的最小速度 .
设 地球质量

v1,是在地面上发射人造地球卫星
, 地球半径 RE .

mE , 抛体质量 m

解 取抛体和地球为一系统 , 系统的机械能 E 守恒 .

h
``````

? v

1 m mE 2 E ? mv1 ? (?G ) 2 RE

1 m mE 2 ? mv ? (?G ) 2 RE ? h 1 2 m mE 1 2 m mE ? E ? mv1 ? (?G ) ? mv ? (?G ) 2 RE 2 RE ? h
由牛顿第二定律和万有引力定律得

mmE m ?G 2 RE ? h ( RE ? h)
解得 v1 ?

v

2

h
``````

? v

2GmE GmE ? RE RE ? h

v1 ?

2GmE GmE ? RE RE ? h

h
``````

? v

RE GmE ) ? g ? 2 ?v1 ? gRE (2 ? RE ? h RE
地球表面附近 计算得

RE ?? h


3

v1 ? gRE

E?0

v1 ? 7.9 ?10 m/s

第一宇宙速度

GmmE E?? ?0 2( RE ? h)

2) 人造行星 第二宇宙速度 第二宇宙速度 v2 ,是抛体脱离地球引力所需 的最小发射速度 . 设 当 地球质量 mE , 抛体质量 m , 地球半径 RE . 取抛体和地球为一系统 系统机械能 E 守恒 .

r ? ?,

F ? 0 ; 若此时
h

1 mE m 2 E ? mv2 ? (?G ) 2 RE ? Ek? ? Ep? ? 0

v? 0 则 ? v
``````

1 2 mE m E ? mv2 ? (?G )?0 2 RE
v2 ?
计算得

? v
h
``````

2GmE ? RE

2 gRE

E ?0
第二宇宙速度

v2 ? 11.2km/s

3) 飞出太阳系 第三宇宙速度 第三宇宙速度 v 3 ,是抛体脱离太阳引力所需的 最小发射速度 .

h

? v



地球质量 mE , 抛体质量 m , 地球半径 RE , 太阳质量 mS , 抛体与太阳相距 RS .

取抛体和地球为一系统,抛体首先要脱离 地球引力的束缚, 其相对于地球的速率为 v' .

取地球为参考系,由机械能守恒得

1 2 mE m 1 2 mv3 ? (?G ) ? mv' 2 RE 2
取太阳为参考系 , 抛体相对于太阳的速度 为 v'3 , ? ? ? 地球相对于 v'3 ? v'? vE 则 太阳的速度



? ? v' 与 vE

同向,有

v'3 ? v'? vE

要脱离太阳引力,机械能至少为零

mSm 1 2 E ? mv'3 ?(?G ) ? Ek? ? Ep? ? 0 2 RS 2GmS 1 2 v'3 ? ( ) 则 RS ? ? 设地球绕太阳轨道近似为一圆, 由于 v'3 与 vE同向,
则抛体与太阳的距离 RS即为太阳轨道半径


mE mS v mE ?G 2 RS RS
2 E

mS 1 2 vE ? (G ) RS

h

? v

v'? v'3 ?vE
计算得

GmS 1 2 v'? ( 2 ? 1)( ) RS
1 mE m 1 2 mv3 ? (?G ) ? mv'2 取地球为参照系 2 RE 2

mE 1 2 计算得 v3 ? ( v' ?2G ) ? 16.4km ? s -1 RE
2

第三宇宙速度

流体问题
1、静压强公式
p ? p0 ? ?gh
h

p0

2、容器加速直线运动
a tg? ? g

p0
h

液面下任意点静压强
p ? p0 ? ?gh

?

a

3、伯努利方程

y

y2

y1

p1

aA1
x1x1 ? dx1

? v1

p2

bA2 ?

v2

o

x 2 x2 ? dx2

x

伯努利方程

1 2 p ? ?gy ? ?v ? 常量 2

若将流管放在水平面上,即 则有

y1 ? y2

1 2 p ? ?v ? 常量 2

3、伯努利方程

y

y2

y1

p1

aA1
x1x1 ? dx1

? v1

p2

bA2 ?

v2

o

x 2 x2 ? dx2

x

伯努利方程

1 2 p ? ?gy ? ?v ? 常量 2

若将流管放在水平面上,即 则有

y1 ? y2

1 2 p ? ?v ? 常量 例题:29、30、31 2 、32、33、34、35

3、伯努利方程

y

y2

y1

p1

aA1
x1x1 ? dx1

? v1

p2

bA2 ?

v2

o

x 2 x2 ? dx2

x

伯努利方程

1 2 p ? ?gy ? ?v ? 常量 2

若将流管放在水平面上,即 则有

y1 ? y2

1 2 p ? ?v ? 常量 例题:29、30、31 2 、32、33、34、35

3、伯努利方程

y

y2

y1

p1

aA1
x1x1 ? dx1

? v1

p2

bA2 ?

v2

o

x 2 x2 ? dx2

x

伯努利方程

1 2 p ? ?gy ? ?v ? 常量 2

若将流管放在水平面上,即 则有

y1 ? y2

1 2 p ? ?v ? 常量 例题:29、30、31 2 、32、33、34、35

3、伯努利方程

y

y2

y1

p1

aA1
x1x1 ? dx1

? v1

p2

bA2 ?

v2

o

x 2 x2 ? dx2

x

伯努利方程

1 2 p ? ?gy ? ?v ? 常量 2

若将流管放在水平面上,即 则有

y1 ? y2

1 2 p ? ?v ? 常量 例题:29、30、31 2 、32、33、34、35

3、伯努利方程

y

y2

y1

p1

aA1
x1x1 ? dx1

? v1

p2

bA2 ?

v2

o

x 2 x2 ? dx2

x

伯努利方程

1 2 p ? ?gy ? ?v ? 常量 2

若将流管放在水平面上,即 则有

y1 ? y2

1 2 p ? ?v ? 常量 例题:29、30、31 2 、32、33、34、35

3、伯努利方程

y

y2

y1

p1

aA1
x1x1 ? dx1

? v1

p2

bA2 ?

v2

o

x 2 x2 ? dx2

x

伯努利方程

1 2 p ? ?gy ? ?v ? 常量 2

若将流管放在水平面上,即 则有

y1 ? y2

1 2 p ? ?v ? 常量 例题:29、30、31 2 、32、33、34、35

3) 飞出太阳系 第三宇宙速度 第三宇宙速度 v 3 ,是抛体脱离太阳引力所需的 最小发射速度 .

h

? v



地球质量 mE , 抛体质量 m , 地球半径 RE , 太阳质量 mS , 抛体与太阳相距 RS .

h

? v

v'? v'3 ?vE
计算得

GmS 1 2 v'? ( 2 ? 1)( ) RS
1 mE m 1 2 mv3 ? (?G ) ? mv'2 取地球为参照系 2 RE 2

mE 1 2 计算得 v3 ? ( v' ?2G ) ? 16.4km ? s -1 RE
2

例题:26、27、28

第三宇宙速度

1 2 mE m E ? mv2 ? (?G )?0 2 RE
v2 ?
计算得

? v
h
``````

2GmE ? RE

2 gRE

E ?0
第二宇宙速度

v2 ? 11.2km/s

1 2 mE m E ? mv2 ? (?G )?0 2 RE
v2 ?
计算得

? v
h
``````

2GmE ? RE

2 gRE

E ?0
第二宇宙速度

v2 ? 11.2km/s

1 2 mE m E ? mv2 ? (?G )?0 2 RE
v2 ?
计算得

? v
h
``````

2GmE ? RE

2 gRE

E ?0
第二宇宙速度

v2 ? 11.2km/s

1 2 mE m E ? mv2 ? (?G )?0 2 RE
v2 ?
计算得

? v
h
``````

2GmE ? RE

2 gRE

E ?0
第二宇宙速度

v2 ? 11.2km/s

1 2 mE m E ? mv2 ? (?G )?0 2 RE
v2 ?
计算得

? v
h
``````

2GmE ? RE

2 gRE

E ?0
第二宇宙速度

v2 ? 11.2km/s

取抛体和地球为一系统,抛体首先要脱离 地球引力的束缚, 其相对于地球的速率为 v' .

取地球为参考系,由机械能守恒得

1 2 mE m 1 2 mv3 ? (?G ) ? mv' 2 RE 2
取太阳为参考系 , 抛体相对于太阳的速度 为 v'3 , ? ? ? 地球相对于 v'3 ? v'? vE 则 太阳的速度



? ? v' 与 vE

同向,有

v'3 ? v'? vE

取抛体和地球为一系统,抛体首先要脱离 地球引力的束缚, 其相对于地球的速率为 v' .

取地球为参考系,由机械能守恒得

1 2 mE m 1 2 mv3 ? (?G ) ? mv' 2 RE 2
取太阳为参考系 , 抛体相对于太阳的速度 为 v'3 , ? ? ? 地球相对于 v'3 ? v'? vE 则 太阳的速度



? ? v' 与 vE

同向,有

v'3 ? v'? vE

取抛体和地球为一系统,抛体首先要脱离 地球引力的束缚, 其相对于地球的速率为 v' .

取地球为参考系,由机械能守恒得

1 2 mE m 1 2 mv3 ? (?G ) ? mv' 2 RE 2
取太阳为参考系 , 抛体相对于太阳的速度 为 v'3 , ? ? ? 地球相对于 v'3 ? v'? vE 则 太阳的速度



? ? v' 与 vE

同向,有

v'3 ? v'? vE

取抛体和地球为一系统,抛体首先要脱离 地球引力的束缚, 其相对于地球的速率为 v' .

取地球为参考系,由机械能守恒得

1 2 mE m 1 2 mv3 ? (?G ) ? mv' 2 RE 2
取太阳为参考系 , 抛体相对于太阳的速度 为 v'3 , ? ? ? 地球相对于 v'3 ? v'? vE 则 太阳的速度



? ? v' 与 vE

同向,有

v'3 ? v'? vE

取抛体和地球为一系统,抛体首先要脱离 地球引力的束缚, 其相对于地球的速率为 v' .

取地球为参考系,由机械能守恒得

1 2 mE m 1 2 mv3 ? (?G ) ? mv' 2 RE 2
取太阳为参考系 , 抛体相对于太阳的速度 为 v'3 , ? ? ? 地球相对于 v'3 ? v'? vE 则 太阳的速度



? ? v' 与 vE

同向,有

v'3 ? v'? vE

取抛体和地球为一系统,抛体首先要脱离 地球引力的束缚, 其相对于地球的速率为 v' .

取地球为参考系,由机械能守恒得

1 2 mE m 1 2 mv3 ? (?G ) ? mv' 2 RE 2
取太阳为参考系 , 抛体相对于太阳的速度 为 v'3 , ? ? ? 地球相对于 v'3 ? v'? vE 则 太阳的速度



? ? v' 与 vE

同向,有

v'3 ? v'? vE

取抛体和地球为一系统,抛体首先要脱离 地球引力的束缚, 其相对于地球的速率为 v' .

取地球为参考系,由机械能守恒得

1 2 mE m 1 2 mv3 ? (?G ) ? mv' 2 RE 2
取太阳为参考系 , 抛体相对于太阳的速度 为 v'3 , ? ? ? 地球相对于 v'3 ? v'? vE 则 太阳的速度



? ? v' 与 vE

同向,有

v'3 ? v'? vE

取抛体和地球为一系统,抛体首先要脱离 地球引力的束缚, 其相对于地球的速率为 v' .

取地球为参考系,由机械能守恒得

1 2 mE m 1 2 mv3 ? (?G ) ? mv' 2 RE 2
取太阳为参考系 , 抛体相对于太阳的速度 为 v'3 , ? ? ? 地球相对于 v'3 ? v'? vE 则 太阳的速度



? ? v' 与 vE

同向,有

v'3 ? v'? vE

流体问题
1、静压强公式
p ? p0 ? ?gh
h

p0

2、容器加速直线运动
a tg? ? g

p0
h

液面下任意点静压强
p ? p0 ? ?gh

?

a

流体问题
1、静压强公式
p ? p0 ? ?gh
h

p0

2、容器加速直线运动
a tg? ? g

p0
h

液面下任意点静压强
p ? p0 ? ?gh

?

a

流体问题
1、静压强公式
p ? p0 ? ?gh
h

p0

2、容器加速直线运动
a tg? ? g

p0
h

液面下任意点静压强
p ? p0 ? ?gh

?

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流体问题
1、静压强公式
p ? p0 ? ?gh
h

p0

2、容器加速直线运动
a tg? ? g

p0
h

液面下任意点静压强
p ? p0 ? ?gh

?

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流体问题
1、静压强公式
p ? p0 ? ?gh
h

p0

2、容器加速直线运动
a tg? ? g

p0
h

液面下任意点静压强
p ? p0 ? ?gh

?

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流体问题
1、静压强公式
p ? p0 ? ?gh
h

p0

2、容器加速直线运动
a tg? ? g

p0
h

液面下任意点静压强
p ? p0 ? ?gh

?

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流体问题
1、静压强公式
p ? p0 ? ?gh
h

p0

2、容器加速直线运动
a tg? ? g

p0
h

液面下任意点静压强
p ? p0 ? ?gh

?

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流体问题
1、静压强公式
p ? p0 ? ?gh
h

p0

2、容器加速直线运动
a tg? ? g

p0
h

液面下任意点静压强
p ? p0 ? ?gh

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流体问题
1、静压强公式
p ? p0 ? ?gh
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p0

2、容器加速直线运动
a tg? ? g

p0
h

液面下任意点静压强
p ? p0 ? ?gh

?

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