当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

1996年全国高中数学联合竞赛试题及解答


中学 数 学 湖北


, ,
,

年全国高中数学联合竞赛试题及解答
·

第一试 一 选 择题 本 题 满 分 分 每题 小题 每小题给 出 个 本题 共 有
,
,



,

·

/>口

合 '一 告
·









个结论 其 中只 有 一 个是 正 确 的 请把正 确结论 的代表 字母填入题后 的 圆 括 弧 内 每 小 题选对得 分 不 选 选错或 选

,

.

. 一




一 二厂 尹

,



,
.




,

,

出 的 字母超过 一 个 无 论是否 写 在 括 弧 内
一 律得零分

,

一 山
,

.

·



,

·




·


,
·

把圆 扩 十


,

,



与椭 团





"
,

及 故选

,



,




线段

的 公共 点 用 线 段连接 起来所得 不 等边三 角形


事实上




.

,

到 的 图形 为



·

汀,

,

是 凡 中的最大值
存在整数 护 数的质数
不存在
,



,

等边三 角形

边形
与椭 圆
的坐标满

使 丫 干二 不
只 有 一

了 是整 百





,

圆 尹



,


,

的交 点

足方

,

'

之 左
,

'

井 二一
,

,

'


,

多于 一个 但为 有 限个 有 无 穷 多个 设 为任意奇质数 且 解
,




解得
,
,









于是相 应地求得
,

取汤





,

一下

丫 万

,

,
,

,

,


多首 厂已

工生 刃 千

门 手 于

, 卜 囚 刁

'
们 明

于是

尸 便有
,

丫户
,

了 一 了 百




了 万
,

回的 三

个交 点


,



工,

所 以 每个奇质 数都 有题设 的性质 故选

入八 一

了 万
下万 一


,

.



,


,

,

气 少 万
'



决 乍于 卜



二 .



,


因 此 所



.

了 万
,



,

,

,

以下 三

个数
,

.

得 到 的 图形 为 正 三 角形
.

故选
,

气 一
"
口 .,

"

的 大小 关 系是
口 .
. "
,

等比数列 一 万
,

的首项
,

公比

.

用 抵 表示 它的前

项之积 则 凡






,

订 〔 少

,

最大 的是

,

夕汀 『
,

,

.





于是

,

.
夕厅

.
,

,



,

并且

犷一







,

等 比数列


的通项 公 式为
,
,

由于

冬一
'



,

项的积
二, 二,
, ,


,


'


,
夕打

丫 万






·





冬犷 亏

,

立 卫

易见

二 二,
.
,

二,

,

为正

所以
于是

晋一
,

'

,


少厅





,

二,. , 二

,

为 负数 故
,

只 需 比较
,

.

. 一

.
,"

' "

"


'

'

,

一 音
,

,


'



故选 如果在 区 间
二 .

,



"



"

,

一 万



一 万

一 乡

一 上 函数 〕 同 一 点 取相 同 十 在

中学 数 学 湖北
的最小值 那 么
,

在该 区 间上 的 最大值是

的 团 彼 此 至 多有 一 个公共 点
一 怪勺一

由图
' ,


怪 州卜 二丁


寻 万 别 万 刁 万
,

澎 万 粼 丁

.

',







,


,




二丁



所 以最 多还可放入
,

,

'

气丁



澎 万
,

【若 矛 '



以上答案都 不 对

一 一 ' 个点 满足上述要求 一 . 一 爪 门 一义下 小 即 圆 台 内 最 多还 可 以 放 入半 径 为 的球 一
人 二 '
'了
·

"



,

,

, ,



在〔

上 〕

个 故选


一 步 音 音 乡
,




二 坟 空 魔 本题 满 分
' 呆

'
,

,

分 每小题
,



,

乍护 又

一 羚 普







一 乏


,











二丁 乙



的真子 集 的个数是

,"




在 同 一 点 上 取相 等 的




集合 一 一
芝尧

最小值
} 当
·

,



,

,



杏 班

'从



下子


,




一 一

扩 生 吏
,

别 万



气丁
了 一 二






,






'〔
,

, '几




二丁
'

,







二户

了 了

,

〕时


一二





成 镇
.

,



解得
于是
由于

一一

别 万


,

二,
二了 乙



州卜

粼 万 粼 万



以其

真子 集 的 个数 为

,

.








二二







二不 乙

澎 万
,

复平 面上

别 一 万


一 粼 万

零复数
圆 心
,

, ,

在 以





为 半 径 的 圆
·

上 —
,二

,

,

的 实 部 为



李 万

寻 万
的球


,
二尸

,


.
,

的辐 角 主 值 为

故选 高为
,

的 图 台 内有 一 个半 径 为
,

,

只组



一 下二 一 一 月一 下丁
乙 乙

丫 万

,

.

球心
,

,

在 圆 台的轴上 球
.,

,

与 回 台上 底
,
二丁
,

面 侧 面都相切 的球

,

圆 台内可再放入一
,

与球 使得球 圃 台 内最 多 侧 面都 只 有 一个公共 点 除球 的球的个数是 还 能 放 入半 径 为

个半径 为 圃 台的下底 面及


, ,
,




了 万
二尸 一 乙
,

,



,

轴的夹角为

人 乃【 衍





,

·


,

月一

下二艺


的实部 为零 一




二 齿 立二 因
一 '
,



在圆







,


气丁

应舍去
,




勺 一

百毛 燕

在 通过 补 与圆心 的直径 上
,

丫 万
''





厅 月一








丫 万



州卜


轴截面
,

作过 如 图

的 国 台的
,

又一 '

.

再作过
,

曲线

的极 坐 标 方 程是
, ,

与圆 台的轴垂直 的截面


,



的极 坐 标是

曲线

在 它所在 的平

截面 与圆 台的轴 交于 圆
由图
,

面 内绕

旋转 一周

,

则 它 扫 过 的 图形 的面 积

灭 易 求得 〔 〕 一

是了

这个 问 题 等价 于 在 以
为 圆心
,


,

设尸


,

是 曲线


上 的任 意一 点

,

,

为半径 的 团上 除

外 最 多还 可
,


弦定理得

在 △

中 由余

放 几 个点 使 以 这 些 点及
,

为圆心

为半径

中学 数 学 湖 北


"







·

如果 我们 对 两 个相 同 的 正 方 体 染 色 后 可 以 通过 适 当 的 翻 转 使 得 两 个 正 方 体 的 上 下
, ,
,

,





左 右

,

,

,



,

后 六 个对应 面 的 染色都 相 同

,





夕一
"

我们 就说这 两个 正 方体 的染 色 方 案相

管一







'


时上 式取 等号 所 以
,



当 .一






义 一

种颜 色 的涂法有


的最大值是



易知 点 , 一

在 曲线


种颇色 的涂法有
·



,

当 " 从 .增 大 到





,







·





.增

大到

·


曲 线



种 颇色 的涂法有


扫过的 图形是 以
' ,
,

为 圃心
.

,



种 急一 种 种

,

,



刀 干



,

二.




,

二二



曰 因

刀 「围



久广



网 圆 钱足

气丁 冗

·

用 种颇 色 的涂法有 所 以 总的涂色方 案有
,

将给定 的 两个 全等的正 三 棱锥 的底 面粘
在 一起

已知

在 直角 坐 标平
面上
,



,

为 团

恰得到 一 个所 有 面 角都 相 等 的 六 面 体 二
,
,



,


,

为半径的回

周 上

整 点





,



并且该 六 面体的 最 短棱 的 长为
,

坐 标 皆为 整 数 的 点 的个数为

则最远的两顶点间

的距 离是


如 图 作
,
,


,

,

为 圆
,

上的一整点 如 一







为面

,

连接
和面
的 中点

,

易证



,



的方程为 犷

刀 则 匕 成二面角 的平面角


,

显然 一
,




.
,


,


和面
.
,



同理

为方程的


面 角

为面 由 已 知 艺
的 边 长 为 中
,
·

所成 二面角 的平

组解 但 当
为 素数
勾股数

,
,




, ,



,




互素




侧 棱
·

设 底 面
长 为 在

此时

是一组
,
,

△ △


,

可表成 二个正整数 的平方和
因 又
,


·

可设





.

,

·





在 △
,

中 易 求得
,
,

.

,

,

, 习

了 失丈









又下 万



,

,

,

,




,



口 了





这与





型素数矛盾
,

因 而 图
, , ,




,

.,
,



下犷




,


,
·


.

个整 点


,

,





了右 一 丫
,

第二试
.



.


,

,

本题满 分
,


, ,

设数 列

, , ,

的前

项和
,


.
,

数列

满 求数列

从而求得
因 此
,






的前

一 项和
'



从而

最 远 的 两 顶 点 间 距 离是 从给定 的 六种 不 同 颜 色 中选用 若 干 种
颇色 将一个正 方体 的 六个面 染色 每面 恰染
, ,



,



一 又
' '



,

,



,

一种颇色

,

每 两个具有公共棱 的面 染成 不 同
种 注

一 一

的颇色

则不 同 的染色方案共有







中学 数 学 湖 北

,



.



,

在 条件
.


.

,

由于



.一

.

.









因 此

,

是 首项 为
,

,

公比为

,

的等 比数
,




二 丁 乙





对于瓦

.

,





,



,













. "

,

,


.

一 ,,



,

且 当
,


. .




时 等号成立
,

,



将上 列 等 式 两端相 加 得
"


州卜







,






'


,

一下 一一一一二丁一





. 成




下万





戒号
.




,
,

一 丫 万



所 以数列

,

的前

项和

由此得

'



,




…十

综 上所述 可 知





笋万双省 分







为所求



,

本题 满 分
,


,




"

,

本 题满 分
,

求实数
和任意 夕任 〔
'

的取值 范 围 使得 对 任 意 实 数

'

如 图





,



'



'






恒有

'
'

与 △
,





边所在 的 三 条直
,
,

,

·





线 都 相 切
,
,

为 切 点 易知 原 不 等 式

,

并 且

的 延 长 线


'弓


.


二 八









交 于 尸 点 线 尸


求 证 直



,

只生

人上 …
,



,





七 万 巴

,
,





,

普习
.


垂直

.

证明


延长
, ,


,

连接

,

十 乙






,



可得
,













. 对任 意 夕任 〔

要习



丈〕 户

△尸 £ 乙
,

兀丁
'

厂也







之二
,

'



,







或者
.〔
.
,







对任意

尸互


艺 匕
,




△尸

,



由正 弦 定理 一

,

在 条件

由于 夕任 〔
夕镇

,


, ,

里 互


乙 艺尸
的切 线 一
, ,





口 . 夕



是圆
一 之




艺尸

一 艺

,




,






,

一 艺尸 艺 同理 一 艺尸 艺 艺 艺 万下 匕 艺
,
'

,

又显然
又 夕


一 士


兀丁

.
'





才 叭

,

,

一 刀
.



,

, ,



义 头

,






在 △尸

艺 艺 及 △尸
里二


'

艺 艺
,

'

中 由正 弦 定理

,

乙 州 艺 卜
夕〔

卜 下干
'



.

普〕
二不 乙

夕十



艺 匕
'


艺 艺

些 旦
一 尸
·

'







由此 可 得





万了 一 万了 了 户五 一 万了 了
易知









,

中学 数 学 湖 北
甲 一一



,

'

人 中每人 与
,


,

相 识 则 与上 述讨 论 类似
,

,

易知
易知

是 直角梯形





可推 出矛盾
不 然
,

存在
一 "


他同


,

皆不 相 识
,
' ' 闷

,

于是
'

,



个人 中除
,

.

之外 的

四 有

,

土 本题满分

即 尸


,

相识

,

另 一半 与
,

"

鲁 个人
'

中必有 一半 与




相 识 所有 与
,

相 识 的人互
,


已知

不相 识
'

所有 与
,
,

相 识的 人也 互 不相 识
皆相 识
,

个人聚会

假设有
,

个人 同

个人 同

,

,

',

每 人 至 少 同 其 中 〔 皿个 人 互 相 认 识


'

皆相 识 不 难 由题 设 推 出



"

,



对 于 其 中 任 意 ' 鲁司 个 人 或 者 其 中 有 〔 曰 ,
"

且这

,

个人构 成 与

'

相 识 的人全部
,
'

"

,

'

'



'

,

'

一,

尸 ,

人相 识 或 者 余 下 的 人 中有
,

人相 识



'





"

不 妨设


,



'



'

一 '

'



'





证明 这

证明

" 皆相
,

假设这
是这
因 此
,

个人 中必有 三 人 两 两相 识 , 个人 中无 人彼 此相 识




个 人 中相 识 的

,

人 由反 证
人与
,

,

设 . 同 与 皆相 识
,

,

,

比 厄

,

假 设 可 推 出余 下 的

·

个人 中 无

,



"

,

皆相

至少有
,

〔 皿个 不 同 的 人 其


,



如 图

由于


中每 个人或 同

,

相识 或 同
,

相识
,

个人 中 同 这

为〔
与 与

'

为偶 数 时
,

由上 述讨 论 可 知

相 识 的 人 至少

人 中恰有 一 半 人 与
相 识 于是


.
'

相 识 而 另 一半人则 与

号〕个
,

,

他们 中除
,

'

外同

"

都相识 故 佑 必
,

由题设 可推 出在 某 一 半 人 中必含
,
,

之一相 识 不妨设
是 彼 此相 识 的 人
,



相识 则

,



,

,

个相 识 的 人 这 与反 证 假 设 矛 盾


此 与反证假设相 矛

为奇数 时
『 '

,

"



一 '



'

若这 尸

'





,

因 此 命题为



,

汉 城 国 际 数 学 竞赛 试 题 解 答 与 评 注
武 汉 市 江 岸 区教 委

朱华伟
,

首届 国际数学 竞赛于
,





日至


,

开 了 全 队 的 赛 前 动 员 会 要 求选 手 树 立 为 国 争 光 的 思
想 既要有 天 降大任于斯人
,

在 韩 国 首 都 汉 城 举 行 参 加 此 项 赛 事 的 有 来 自中 国
日本 韩国
,
,

"

"

的 责 任 心 和 使命感 又
,
,

新加 坡 香港等 国 家和 地 区 的
,

,

名选
,

要 防止 过 分焦 虑 和 患 得 患 失 做到 沉着 冷 静 从容 自
,

手 按竞赛规则 每 个 国 家和 地 区 派
名 初 中生
罗 庚金杯
"
,

名选 手参 赛
"

如 正 常发 挥
这次竞赛我 国 队员经过奋力 拼搏基本上发挥 了 自 己 的 水 平 取 得 了 可 喜 的成 绩
,

,

名小学生 中国 队
"

,

名 选 手 是 由全 国 华
,

"

少 年 数 学 邀 请 赛 组 委 会和 主 试 委 员 会 根

名 队 员 全部 获奖

,

据 以 往 华杯赛

决赛 成绩确 定 的 他们 是 昊 昊 江
,

其 中吴 昊


,

,

刘梦龙

分 分 别 夺 得 初 中组 金 分
,

苏 金 坛 华 罗 庚 中学 初 二

张 磊 武 汉 二 中初 一
,

,

刘梦

牌 和 小学 组 金 牌 张磊
,

林载辉

分 分别夺

龙 武 汉 市 育 才 二 小 六 年级

林载 辉 广 东省 潮 州 市

得 初 中组 银 牌 和 小 学 组 铜 牌 我 国 代 表 队 所 取 得 的 成

新 桥 路 小 学 六 年级
竞 赛 试 题 由 来 自俄 罗 斯 日 本 和 韩 国 的 数 学 家 组
,

绩 受到 各参 赛 国 领 队 和 教 练 的 高 度 赞 扬 香 港 英 正 集 团董 事 长 于 少 光 女 士 还 专程从 香 港 赶到 北 京 为
名选 手 和 教 练 颁 发 了 奖 金 和 奖 品
这 一 成绩 的 取 得 不 仅 为我 国 争得 了 荣誉 增 长
, , ,

成 的 出 题 委 员 会 负 责 编 拟 竞 赛 分 为小 学 组 和 初 中组
进 行 每组 分第 一 试 和 第 二 试 每 试
,
,

题 限

,

小 时完

成 每题
,

分 分 满分 为准 备 参赛 华 杯 赛 组 委会 曾对 参赛选 手在
,
,

了参 加 国 际 比赛 的 经 验 锻 炼 了 队 伍 而 且 展 示 了 我 国 少 年 的 聪 明 才 智 和 在 国 际 比 赛 中 的 实 力 同时 也 向

,

"

"

武 汉 市 育 才 二 小 进 行 为期
" "

天 的集 中培 训 集训 工
,

世 界证实 了 华罗 庚金杯 际 水平
"

"

"

少 年 数 学 邀 请赛 达 到 了 国

作 自始 至 终 得到 华 杯赛 组 委 会 领 导 和 主试 委 员 会

专家 的 亲 切 指 导 出 国 前

,

"

华 杯 赛 组 委会 在 北 京 召

"

我 能被 华 杯 赛 组 委会 任命 为执 教 首 届 国 际 数

"

相关文章:
1996年全国高中数学联合竞赛试卷
1996年全国高中数学联合竞赛试卷_高三数学_数学_高中教育_教育专区。资料1996...1996 年全国高中数学联赛解答第一试 一、选择题(本题满分 36 分,每题 6 分...
1997年全国高中数学联赛试题及解答
1997 年全国高中数学联合竞赛试卷第一试 (10 月 5 日上午 8:00?10:00) ...但重新填入后,前 96 行之和均= >1.第 97、98、99、100 行之和=0.故 ...
1996年全国高中数学联赛试题
1996年全国高中数学联赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。1996 年全国高中数学联赛...3 4 (D)以上答案都不对 4 2 2 6.高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的...
2001年全国高中数学联赛试题及解答
第2页 共8页 2001 年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准一.选择题:CBDDCA 二.填空题 7. 2 3 3 8. 2 ? 30 72 ? i 13 13 3 ) ? [ 2 ...
1996年全国初中数学竞赛试题及答案
1996年全国初中数学竞赛试题及答案_学科竞赛_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 1996年全国初中数学竞赛试题及答案_学科竞赛_初中教育_教育专区...
十年全国高中数学联合竞赛试题(解析版经典收藏)
二○○二年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准,选择题只设 6 分的 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两...
1990年全国高中数学联赛试题及解答
1990年全国高中数学联赛试题及解答_学科竞赛_高中教育...1995年全国高中数学联赛... 1996年全国高中数学联赛...1990年全国高中数学联合... 6页 免费 1990年全国高中...
2001年全国高中数学联赛试题及解答
2001年全国高中数学联赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。二○○一年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 ...
全国高中数学联合竞赛试卷及详解
全国高中数学联合竞赛试卷及详解_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准,...
1993年全国高中数学联赛试题及解答
1994年全国高中数学联赛... 1995年全国高中数学联赛... 1996年全国高中数学联赛...1993 年全国高中数学联赛 冯惠愚 1993 年全国高中数学联合竞赛试卷第一试 一、选...
更多相关标签: