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2014力学竞赛课程-动力学部分1


动力学部分之一——概述与补充

主讲 王晓春
Tel: 18030410189 Email: wxcscu@sina.com
2015年1月5日星期一

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动力学概述
两类基本问题 第一类问题:已知运动求力; 第二类问题:已知力求运动。

混合问题:已知部

分力和运动,求其余力和运动参数。 惯性系:牛顿第一定律给出了惯性系的定义。 非惯性系:牛顿第二定律只有在惯性系中才成立,在非惯 性系中,牛顿第二定律不成立,需要借助惯性力概念。

2

动力学概述
一、质点动力学基本方程
d 2r dt
2

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矢量形式:

m

?

?F
i ?1
n ix

n

i

直角坐标投影形式:

? d2x ?m 2 ? ? dt ? 2 ? d y ?m 2 ? ? dt ? 2 ?m d z ? ? dt 2 ?

?F
i ?1 n i ?1 n

?F ?F
i ?1

iy

iz

自然坐标投影形式:

dv m ? dt

?
i ?1

n

Fi? , m

v2

?

?

?
i ?1

n

Fi n
3

动力学概述
二、动量(守恒)定理

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质点系的动量(记为p): p ?

?m v
i ?1

n

i i

? MvC ,

M?

?m
i ?1
i i

n

i

质心:质量中心的简称,按下式计算
MrC ?

?

mi ri

?

xC

mx ? ? M

i i

, yC

my ? ? M

i i

, zC

mz ? ? M

质点系的动量(冲量)定理、质心运动定理:
dp ? MaC ? dt

?

Fi(e) ,

p2 ? p1 ?

?

I i(e)
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动力学概述
流体对弯管产生的附加作用力
设流动是定常的,?为流体密度,Q为流量,va和vb为流入 与流出弯管的速度向量,dm/dt为质量流率,则流体(或定常

连续质量流,如谷物、细沙等)对管壁产生的附加作用力为

F ?? ? ? Q(vb ? v a ),

F ?? ?

dm (vb ? v a ) dt

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动力学概述
三、动量矩(守恒)定理

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质点系的动量矩: LO ?
定轴转动刚体的动量矩

?M
i ?1

n

O (mi vi )

?

?r ? m v
i i ?1

n

i i

Lz ? J z?

转动惯量与回转半径(设ri为质点mi到z轴的距离)

Jz ?

?

mi ri2 ? m? 2 ,

m?

?m

i

转动惯量的平行轴定理(设z轴到平行质心轴C的距离为d)
J z ? J C ? md 2
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主矩关系定理
Fi
i r Bi rAi B rAB
设力系 Fi ( i=1,2,…,n )作用在刚 体上,力系的主矢记为 FR,现在考察 力系对任意两点A、B的主矩:

Fk

FR

A

M A ? ? rAi ? Fi ? ? (rAB ? rBi ) ? Fi

? rAB ? ? Fi ? ? rBi ? Fi

?即

M A ? M B ? rAB ? FR

? 这称为主矩关系定理: 力系对空间任意点 A 的主矩等于力

系对空间另一点B的主矩加上位于B点的力系主矢对A点的 矩。因此,对于给定的力系,主矢与主矩的点积为常数, 与矩心位置无关;如果主矢等于零,力系的主矩是常矢量, 同样与矩心位置无关。
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动力学概述
质点的动量矩定理(设O为固定点)
dLO ? M O (F ) dt

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质点系对任意点的绝对运动动量矩(设A为任意点, C为系 统的质心)
LA ? LC ? rAC ? mv C

质点系对任意点的相对运动动量矩(设 A为任意点 , C为系 统的质心)

L? A ? LA ? rAC ? mv A
如果点 A与系统的质心C重合,则得到

? ? LC LC
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动力学概述
质点系对固定点(或固定轴)的动量矩(守恒)定理
? dL x ? dt ? ? dL ? y (e) M O (F ) ? ? ? ? dt ? dL z ? ? ? dt

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dLO ? dt

?

? ?M ?M

M x ( F (e) )
(e) ( F ) y (e) ( F ) z

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*质点系对任意动点A的动量矩
如图,O为任意固定点,A为 任意动点,质点系对动点A的 动量矩定义为

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LA ? ∑(ri?? mi vi )
对任一质点mi

ri? ? ri ? rOA
LA ? ∑[( ri ? rOA ) ? mi vi ] ? ∑(ri ? mi vi ) ? rOA ? (∑mi vi )


LA ? LO ? rOA ? mvC

由此可知:质点系对任意动点A的绝对动量矩,等于质点系对任 意定点O的动量矩,减去集中于A点的系统动量 mvC对O点的矩。
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*质点系相对运动的动量矩
如图,O为固定点,A为平动 坐标系的原点,质点系相对 运动对A点的动量矩定义为

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? L? A ? ∑( ri ? mi v ir )
对任一质点mi

vi ? v A ? vir

L? [ri?? mi (vi ? v A )] ? ∑(ri?? mi vi ) ? (∑ri?mi ) ? v A A ?∑

L? A ? LA ? rAC ? mv A ,式中第二项为集中于质心C点的系统 牵连运动的动量 mvA对A点的矩。 利用前面的公式 LA ? LO ? rOA ? mvC , 可进一步得:


LO ? L? A ? rOA ? mvC ? rAC ? mv A
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L? A ? LA ? rAC ? mv A
如果将平动坐标系的原点A取 到质点系的质心C上,由于点 A与质心C重合,则rAC=0,再 次得到

Lc ? Lc? ? ∑(ri?? mi vir )

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*质点系对动点的相对动量矩定理
如图,设O为固定点,A为平动 坐标系原点,C为质心 。因为

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LO ? L? A ? rOA ? mvC ? rAC ? mv A ?AC ? vC ? v A rAC ? rOC ? rOA , r

maC ? ? Fi e ,
所以

e e M ( F ) ? r ? F ? O i ? i i , ri ? rOA ? ri?

dL? d A ? ( LO ? rOA ? mvC ? rAC ? mv A ) dt dt

? ?ri ?Fi e ? rOA ? maC ? v A ? mvC ? (vC ? v A ) ? mv A ? rAC ? maA


dL? A ? ?rAC ? ma A ? ? ri?? Fi e dt

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*质点系对动点的相对动量矩定理
dL? A ? ?rAC ? ma A ? ∑ri?? Fi e dt
由于
所以
e e ? M ( F ) ? r ? F ? A i ?i i

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dL? A ? rAC ? (?ma A ) ? ? M A ( Fi e ) dt

这可表述为如下的定理:

质点系对动点的相对动量矩定理 质点系对任意动点A的相对 动量矩对时间的导数,等于质点系的外力系对A点的主矩加上牵 连惯性力系的合力-maA(通过质心)对A点的矩。

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*例题. 证明:作平面运动的刚体相对于其速度瞬心A的动量矩定 理有如下形式

J Aa ? M A ? m? rAC ? v A
式中, JA为刚体绕速度瞬心轴的转动惯量, ?为刚体的角速度, a为刚体的角加速度, MA为外力系对A点的主矩, m为刚体的 质量,C点为质心,vA为定速度瞬心A的速度。 这里,首先引进定速度瞬心、定速度瞬心的速度的概念。

定速度瞬心是在固定参考系中与速度瞬心接触而不断变化位置
的点。 例如:在地面上与纯滚动轮缘接触的点,该点在地面上的位置 随着滚轮滚动而不断地改变,就好像一个点在固定参考系中不 断移动一样。由此,可引入定速度瞬心的速度如下——
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* 由于定速度瞬心 A 在固 定参考系中的位置随着刚 体速度瞬心A′位置的改变而 连续地发生变化,形成运 动轨迹,它在轨迹上的移 动速度定义为定速度瞬心 A 的速度。例如用滚轮在田 竞场上划线,线头的移动 速度(参考右图)。 下面我们来证明作平面运动的刚体相对于其速度瞬心的动 量矩定理:

J Aa ? M A ? m? rAC ? v A
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* 证明:如图为平面运动刚 体, oxy 为固定坐标系, A′ 为速 度瞬心,A为定速度瞬心 ( vA≠0 ),以 A 为原点建立平 动坐标系, C 为刚体的质心 。 对动点A的绝对动量矩为

LA ? ?ri? ? mi vi ? ?(ri??? rAC ) ? mi vi

? LC ? rAC ? mvC
根据质点系对质心的动量矩定理和质心运动定理,有

drAC dLA e ? M C ? rAC ? ? Fi ? ? mvC dt dt
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drAC dLA e ? M C ? rAC ? ? Fi ? ? mvC dt dt
式中 MC ? rAC ? ? Fi e ? M A 对平动坐标系,有

drAC ? v AC ? vC ? v A dt
在时刻 t 速度瞬心A′与定速度瞬心 A重合,所以对速度瞬心

dLA ? M A ? v A ? mvC dt
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dLA ? M A ? v A ? mvC dt
将上式投影到z轴方向,注意到

LAz ? J A?, vC ? rAC vC ? ? rAC


dLAz ? J Aa dt ? M A ? m(v C ? v A ) z

而 所以

(vC ? v A ) z ? (? rAC )vA sin(vC , v A ) ? ? rACvA cos(rAC , v A )
J Aa ? M A ? m? rAC ? v A
证迄。
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动力学概述

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*质点系对动点的相对运动动量矩定理(设A为任意动点,C 为系统的质心)

dLAr ? ?rAC ? ma A ? dt

?

M A ( F (e) )

上式在以下三种情况下与对固定点动量矩定理形式相同: (1)点A与系统质心C重合; (2)点A的加速度aA= 0; (3)点A的加速度aA矢量通过系统质心C,即aA //rAC.

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动力学概述
刚体绕定轴转动微分方程(设a为角加速度,j为转角)
J za ? J z d 2j dt 2 ?

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?

M z ( F (e) )

刚体平面运动微分方程(设C为质心)
m m d 2 xC dt 2 d 2 yC dt 2 ? ?

? ?

(e) Fix , (e) Fiy ,

J Ca ? J C

d 2j dt 2

?

?

M C ( F (e) )

*不计质量、只受两个力的杆件为二力杆。
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转动惯量、惯性积与惯量矩阵
?J ? ? x ? ?J y ? ? ?J z ? ?

转动惯量

? ? m (r ? m (r
i i

mi (ri2 ?xi2 ) ? ( y 2 ? z 2 )dm
i 2 2 i 2

i

2

? ?y ) ? ? ( x ?z ) ? ? ( x
2 i

? z 2 )dm ? y 2 )dm

2

式中ri 为质点mi 到坐标原点的距离.
?J ? J ? yx ? xy ? ? J xz ? J zx ? ? ? J yz ? J zy ? ?

*惯性积

? m x y ? ? xydm ? m x z ? ? xzdm ? m y z ? ? yzdm
i i i i i i i i i
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*惯量矩阵
则刚体对固定点O的动量矩LO可表示为

若定义刚体对O点的惯量矩阵J,绕O点转动角速度矢量为 ?,

Lo ? Jω
式中

? J x ? J xy ? J xz ? ? ? J ? ( I ij ) ? ?? J yx J y ? J yz ?, ? ? J zx ? J zy J z ? ? ? I ij ? ? ( xk xk ? ij ? xi x j )dm,

? ij ? 1, 当 i ? j ; ? ij ? 0, 当 i ? j
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动力学概述
四、动能定理 机械能守恒 力F的元功: δW ? F ? dr ? F ? vdt 重力的功 弹性力的功
W ? mg(h1 ? h2 )

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W?

1 2 k (?12 ? ? 2 ) 2

力偶或力矩的功

W?

?j

j2
1

Mdj

1 2 ) 扭转弹簧力矩的功 W ? f (?12 ? ? 2 2

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动力学概述

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1 2 T ? m v 质点系的动能(记为T 或 K ) i i 2 关于质点系动能的柯尼希定理(设动参考系以质心C为原点 且随质心平动) 1 2 1 2 T ? mvC ? mi vir 2 2

?

?

1 2 平动刚体的动能(C为刚体的质心) T ? mvC 2 1 定轴转动刚体的动能 T ? J z? 2 2

平面运动刚体的动能( C为刚体的质心,p为速度瞬心)
1 2 1 1 2 T ? mvC ? J C? , T ? J P? 2 2 2 2
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动力学概述
保守力与保守系统

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如果质点在一个空间区域内的任意位置上,受到确定大 小和方向的作用力,这个力作为向量是位置的单值、有界且 可微的函数,则这个区域称为力场,力场对质点的作用力称 为场力。 保守力:设力向量F只与位置(x, y, z)有关,如果存在 一个单值可微函数V(x,y,z),它与力F 的关系是F= - grad V, 则称力F 为保守力。只受保守力作用的质点系称为保守系统。 单值可微数量函数V 叫做势函数或势能。势能只与系统 的位形有关,且零势能点可任意选取。

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动力学概述
保守力场的三个等价定义 1. 力场是(-V )的梯度场,即
F ? ?gradV ? ??V , ? ? ? ??i ?j ?k ?x ?y ?z

2.场力作功与路径无关、沿闭合路径场力作功为零; 3. 力场的旋度为零,即

rotF ? ?? F
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动力学概述
质点系的势能:质点系在某一位置的势能等于质点从该位 置运动到零势能位置(根据方便,可任意选取)过程中,
有势力作功之和。

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在保守力场中,质点所受力的大小和方向只取决于质 点的位置,且当质点运动时,力的功仅取决于它的始末位 置而与运动路径无关,这样的力场也称为势力场,对应的 力也称为有势力。
系统的势能V=V(x,y,z)与有势力F的关系

F ? ?gradV ? ??V , ? ? ? ??i ? j ?k ?x ?y ?z
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动力学概述
重力势能与重力(取 z=0 为零势能面)
V ? mgz, G ? ?gradV ? ?mgk

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弹性势能与弹力(取变形量 x=x0 为零势能点)
V? 1 2 k ( x 2 ? x0 ), F ? ?gradV ? ?kxi 2

引力势能与引力(取无穷远位置 x = ∞为零势能点,x为质点 到引力中心的距离)
fmM fmM V ?? , F ? ?gradV ? ? 2 i x x
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动力学概述
力F的功率(记为P,设v 为质点的速度)
力偶M的功率(设?为刚体的角速度) 质点的动能定理
1 2 d( mv ) ? δW , 2 1 2 1 2 mv2 ? mv1 ? W 2 2

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P ? F ?v P ? M?

*质点相对运动的动能定理(设We 为牵连惯性力的功)
1 2 1 2 mvr 2 ? mvr1 ? W ? We 2 2

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动力学概述
质点系的动能定理(质点系的动能记为T)

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dT ?

?δW ,
i

T2 ? T1 ?

?W

i

机械能守恒:只受有势力作用的质点系称为保守系,保守系
在运动过程中,其总的机械能保持不变,即
T ?V ? 常 量

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动力学概述
五、达朗贝尔原理 平动刚体惯性力系简化为通过质心C的合力: FI ? ?maC 定轴转动刚体惯性力系的简化(O为转轴z上的一点)
FI ? ?maC , M IO ?

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?M

O ( FIi )

? M Ix i ? M Iy j ? M Iz k ,

M Ix ? J xza ? J yz? 2 M Iy ? J yza ? J xz? 2 M Iz ? ? J za
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动力学概述

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惯性主轴:如果过O点的某轴对应的惯性积等于零,则称该
轴为O点的惯性主轴。当Oxyz是惯性主轴坐标系,则定轴转 动刚体的惯性力系可简化为
FI ? ?maC , M Iz ? ? J za

根据对称性,确定惯性主轴的三种情况: 1.如果均质刚体有一对称轴,则它一定是该轴上任意一点的 惯性主轴; 2.如果均质刚体有一对称平面S,则垂直于此平面的任意直线 必是此直线与平面S之交点O的惯性主轴; 3.如果刚体是均质旋转体,则旋转轴必是中心惯性主轴。
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动力学概述
质点的达朗贝尔原理(主动力F、约束力FN、惯性力FI)
F ? FN ? FI ? 0

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质点系的达朗贝尔原理(外力F (e)、惯性力FI)

? ?M

Fi(e) ?

?F

Ii

? 0,
O ( FIi )

(e) ( F O i )?

?M

?0

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动力学概述
六、虚位移原理 约束的分类: 1.完整约束(几何位置约束)与非完整约束(不可积分 的运动约束);

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2.定常约束(约束条件不随时间变化)与非定常约束(约束 条件随时间变化) ; 3.双侧约束(在两个方向都受限制)与单侧约束(仅在一个 方向限制) 。 理想约束:在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚 功总和等于零,称这种约束为理想约束 。

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动力学概述
自由度、广义坐标、虚位移

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自由度:在完整约束条件下,确定质点系位置所需的独立坐
标的数目。在非完整约束情况下,质点系中质点坐标的独立 变分的个数或独立虚位移的个数,称为质点系的自由度。

广义坐标:确定质点系位置的独立参数,称为广义坐标。在
完整约束条件下, 质点系的广义坐标数等于自由度数;在非 完整约束条件下, 广义坐标数大于自由度数。

虚位移:在某瞬时,质点或质点系在约束允许的条件下,可 能实现的任何无限小的位移,称为虚位移。在定常约束的情 况下,实位移只是所有虚位移中的一个。
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动力学概述
虚位移原理

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具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是,作 用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作虚功总和等于 零,即

? δW ? 0, ? ( F δx ? F
Fi xi i


yi δyi

? Fzi δzi ) ? 0

对具有摩擦的非理想约束系统,需要把摩擦力看成主动力; 在求解约束力时,应将约束解除,代之以约束力。一般地, 一次只解除一个约束。

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两类动力学平面问题的求解

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第一类是系统无初速地释放 ,求加速度(角加速度)、约束

力——未知量总数与动力学方程总数相等,对于多自由度(或 单自由度)系统,运用动能定理或功率方程可得到与自由度数 相应的独立方程,从而求得相应的加速度(角加速度),然后 再利用与约束力有关的定理、原理求约束力;

第二类是系统从初始位置运动到任意位置(或某一特殊位置, 在解题时先针对任意位置进行分析),求未知运动学量和约束 力——未知量总数与动力学方程总数相比,通常多一个未知角 速度,利用动能定理求角速度,通过求一阶导数得到角加速度,
然后再利用与约束力有关的定理、原理求约束力。 在上述两类问题中,列写运动学关系式、分析系统的受力、判 断系统是否为保守系统、由有关的定理分析是否运动守恒、确 认系统的自由度数(如果需要),对成功解题都很重要。
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动力学专题
一、*非惯性系质点动力学基本方程
ma r ? F ? FIe ? FIC

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牵连惯性力: FIe ? ?mae 二、碰撞 研究碰撞问题的基本假设

科氏惯性力: FIC ? ?maC

1.碰撞过程中,非碰撞力的冲量忽略不计;

2.碰撞过程中,物体的位移忽略不计;
3.碰撞过程中,物体的内部变形忽略不计。
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动力学专题
碰撞的分类

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1.对心碰撞(碰撞力作用线通过物体的质心)与偏心碰撞; 2.正碰撞(两物体碰撞时,各自质心的速度沿接触点的公法 线)与斜碰撞; 3.光滑碰撞(碰撞力沿接触点的公法线)与非光滑碰撞; 4.完全弹性碰撞(恢复系数e = 1)、非完全弹性碰撞 (0<e<1)、塑性碰撞(e = 0)。

恢复系数:两物体碰撞前后撞击点沿公法线的相对速度
之比的绝对值称为两物体的恢复系数。

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动力学专题
撞击中心

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若外碰撞冲量作用在刚体质量对称面的撞击中心上,且 垂直于质心与轴心的连线,则轴承反力冲量等于零。

撞击中心到轴心的距离(设 a 为质心到轴心的距离)
d ? J z /(ma)

质点(质点系)的冲量定理 质点(质点系)的冲量矩定理

?

mi vi? ?

?

mi vi ?

?

I i(e)

? ? LO ? LO

?

MO ( I i(e) )

*冲量矩定理中的矩心O可以是任意动点。
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动力学专题
刚体平面运动的碰撞过程(设C为刚体的质心)

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? mv? ? mv ? ? I J? ? ? J? ? ? M ( I
? ? mvCx ? mvCx
Cy Cy C

(e) I ix (e) iy (e) i )

三、变质量质点运动微分方程
dv m ? F (e) ? F? , dt dm 反 推 力 F? ? vr dt

(vr 为并入或放出质量的相对速度)
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动力学专题
*变质量质点动力学普遍定理

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变质量质点动量定理(vr为并入或放出质量的相对速度)
d dm (mv) ? F ? F?a , F?a ? (v ? v r ) dt dt

变质量质点动量矩定理

dLO ? r ? F (e) ? r ? F?a dt
1 2 1 2 d( mv ) ? v dm ? F ? dr ? F?a ? dr 2 2

变质量质点动能定理

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动力学专题
四、分析力学基础
动力学普遍方程

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? (F

k

? mk

d 2 rk dt
2

) ? δrk ? 0

完整系统的拉氏方程 (T 为系统的动能) 完整保守系统的拉氏 方程(V 为系统的势 能)

d ?T ?T ( )? ? Qk , k ? 1,2,..., N ?k dt ?q ?q k

d ?L ?L ( )? ? 0, k ? 1,2,..., N ?k dt ?q ?qk L ? T ?V

定常约束保守系统的能量积分

?

?k q

?L ? L ? T ?V ? 常 数 ?k ?q
44

动力学专题
循环积分(若qi 在L 中不出现) 广义力Qk的计算
?xi ?yi ?zi Qk ? ( Fxi ? Fyi ?Fzi ) ?qk ?qk ?qk i ?1
?L pi ? ?常数 ?i ?q

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?

n

或 Qk ?

[

? δW (F )]
i

k

δqk

, k ? 1,2,..., N

式中 [

所有主动力在虚位移?qk上所作虚功之和。
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?δW (F )]
i

k

表示qk改变,而其余广义坐标保持不变,

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动力学专题
保守系统的广义力
?V Qk ? ? , k ? 1,2,..., N ?q k

广义力表示的平衡条件:对具有理想约束的质点系,保持静
平衡的充要条件是系统的每一个广义力都等于零,即
Qk ? 0, k ? 1,2,..., N

保守系统的稳定平衡条件
?V ? 0, ?qk ? 2V
2 ?qk

?0

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动力学专题
五、单自由度系统的振动 自由振动微分方程
方程的解是谐振动
x ? A sin( ?t ? ? ) ? A sina
m d2x dt
2

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x
? kx ? 0

?

B
a

O

A

固有频率: ? ? k / m
周期: T ?
2?

?

? 2? m / k

频率: f ?

1 ? ? T 2?

2 ?0 / ? ) 2 振幅: A ? x0 ? (x

?0 ) 初相角:? ? arctan(x0? / x
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单自由度系统的微振动周期
定理 对于单自由度系统,其运动由一个广义坐标 q 的变 化,即q=q(t)所代表。如果系统只受保守力作用,且动能和 势能分别表示为
1 ? 2 , V ? V (q) K ? f (q)q 2

稳定的平衡位置为q=? (即 V ?(? ) ? 0, V ??(? ) ? 0 ),则系统在 平衡位置附近的微振动周期为
f (? ) T ? 2? V ??(? )
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证明:因为系统只受保守力作用,由机械能守恒得

1 ? 2 ? V (q) ? E f (q)q 2
将动能和势能在平衡位置 q=? 附近展开:

(1)

f (q ) ? f (? ) ? f ?(? )(q ? ? ) ? ?? 1 V (q ) ? V (? ) ? V ?(? )(q ? ? ) ? V ??(? )(q ? ? ) 2 ? ?? 2

代入式(1),并略去二阶以上的小量,又考虑到

V ?(? ) ? 0
得到
1 1 ? 2 ? V (? ) ? V ??(? )( q ? ? ) 2 ? E f (? )q 2 2
49

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1 1 ? 2 ? V (? ) ? V ??(? )( q ? ? ) 2 ? E f (? )q 2 2

上式对 t 求一阶导数得
?? ? V ??(? )(q ? ? ) ? 0 f (? )q

因为 V ??(? ) ? 0 ,所以系统的振动频率为

V ??(? ) ?? f (? )
由此可得微振动的周期为

f (? ) T? ? 2? ? V ??(? )

2?

证毕。
50


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