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函数模型的应用实例(二)


3.2.4 函数模型的应用实例(二)
(一)教学目标 1.知识与技能 掌握应用指数型, 拟合型函数模型解答实际应用问题的题型特征, 提升学生解决简单的 实际应用问题的能力. 2.过程与方法 经历实际应用问题的求解过程,体验指数函数模型、拟合函数模型的题型特征,学会运 用函数知识解决实际问题. 3.情感、态度与价值观 了解数学知识来源于生活,又服务于实际,从而培养学生的数学应用意识,提高学生学 习数学的兴趣. (二)教学重点与难点 重点:指数函数模型、拟合函数模型的应用 难点:依据题设情境,建立函数模型. (三)教学方法 师生合作探究解题方法,总结解题规律.老师启发诱导,学生动手尝试相结合.从而形式 应用指数函数模型,似合函数模型解决实际问题的技能. (四)教学过程 教学环节 教学内容 例 1 某桶装水经营部每天的房租、 人员工 资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元 .销售单价与日均销售量的关系如表 所示:
销售单价/元 6 7 8 9 日均销售量/桶 480 440 400 360 销售单价/元 10 11 12

师生互动 师生合作回顾一元一次函数, 一元二次函数 . 分段函数建模 实际问题的求解思路 “审、 建、 解、检” 生:尝试解答例 1 解:根据表,销售单价每增加 1 元,日均销售量就减少 40 桶.设在进价基础上增加 x 元 后,日均销售利润为 y 元, 而在此情况下的日均销售量 就为 480–40(x–1)=520–40x(桶) 由于 x>0 且 520–40x>0,即 0<x<13,于是可得 y=(520–40x)x–200 = –40x2+520x–200 , 0 < x < 13 易知,当 x=6.5 时,y 有最大 值. 所以,只需将销售单价定为 11.5 元,就可获得最大的利 润. 师:帮助课本剖析解答过程,

设计意图

日均销售量/桶 320 280 240

请据以上数据作出分析,这个经营部怎样 定价才能获得最大利润? 复习引入

以旧引新 激 发 兴 趣,再现 应 用 技 能.

回顾反思上节课的学习成果 4.指数型函数模型的应用 例 1 人口问题是当今世界各国普遍关注 的问题.认识人口数量的变化规律, 可以为 有效控制人口增长提供依据 . 早在 1798 年 , 英 国 经 济 学 家 马 尔 萨 斯 (T.R.Malthus,1766 — 1834) 就 提 出 了 自 然 状态下的人口增长模型:y=y0ert, 其中 t 表示经过的时间,y0 表示 t=0 时的 人口数,r 表示人口的年平均增长率. 下表是 1950~1959 年我国的人口数据资 料: 师: 形如 y=bacx 函数为指数型 函数, 生产生活中以此函数构 建模型的实例很多(如例 1)

生:在老师的引导下审题、建 模、求解、检验、尝试完成此 例 师生合作总结解答思路及题 型特征 师生:共同完成例 1 解答: (1)设 1951~1959 年的人口 年份 1950 1951 1952 1953 1954 增长率分别为 r1,r2,?,r9. 由 55196(1 + r1) = 56300,可 人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 得 1951 年的人口增长率 年份 1955 1956 1957 1958 1959 r1≈0.0200. 人数/万人 61456 62828 64563 65994 67207 (1)如果以各年人口增长率的平均值作 同理可得, 为我国这一时期的人口增长率(精确到 r2≈0.0210,r3≈0.0229,r4≈ 0.0001) , 用马尔萨斯人口增长模型建立我 0.0250 , r5 ≈ 0.0197 , r6 ≈ 国在这一时期的具体人口增长模型,并检 0.0223,r7≈0.0276, r8≈0.0222,r9≈0.0184. 验所得模型与实际人口数据是否相符; (2)如果按表的增长趋势,大约在哪一 于是,1951~1959 年期间,我 应用举例 年我国的人口达到 13 亿? 国人口的年均增长率为 例 2 某地区不同身高的未成年男性的体 r(r1+r2+?+r9)÷9≈0.0221. 令 y0=55196 , 则 我 国 在 重平均值如表 1950~1959 年期间的人口增长 身高 60 70 80 90 100 110 /cm 模型为 y=55196e0.0221t,t∈N. 体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 根据表中的数据作出散点图 身高 120 130 140 150 160 170 并作出函数 /cm y=55196e0.0221t (t∈N)的图象
体重/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05

通过实例 求解,提 炼方法整 合思路提 升能力.

(1)根据表提供的数据,能否建立恰当 的函数模型,使它能比较近似地反映这个 地区未成年男性体重 ykg 与身高 xcm 的函 数关系?试写出这个函数模型的解析式. (2)若体重超过相同身高男性体重平均 值的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为偏瘦, 那么这个地区一名身高为 175cm,体重为 78kg 的在校男生的体重是否正常? 例 2 解答: (1)以身高为横坐标,体重为纵坐标, 画出散点图.根据点的分布特征, 可考虑以 x y=a·b 作为刻画这个地区未成年男性的 体重与身高关系的函数模型.

由图可以看出,所得模型与 1950~1959 年的实际人口数据 基本吻合. (2)将 y=130000 代入 y=55196e0.0221t, 由计算器可得 t≈38.76. 所以,如果按表的增长趋势, 那么大约在 1950 年后的第 39

年(即 1989 年)我国的人口 就已达到 13 亿 . 由此可以看 到,如果不实行计划生育,而 是让人口自然增长, 今天我国 将面临难以承受的人口压力. 如果取其中的两组数据(70,7.90),(160, 47.25),代入 y=a·bx 得: ?
?7.9 ? a ? b70 ? , 160 ? ?47.25 ? a ? b

用计算器算得 a≈2,b≈1.02. 这样,我们就得到一个函数模型: y=2× 1.02x. 将已知数据代入上述函数解析式,或作出 上述函数的图象,可以发现,这个函数模 型与已知数据的拟合程度较好,这说明它 能较好地反映这个地区未成年男性体重 与身高的关系. (2)将 x=175 代入 y=2×1.02x 得 y=2× 1.02175, 由计算器算得 y≈63.98. 由于 78÷63.98≈1.22>1.2, 所以,这个男生偏胖. 归纳总结: 通过建立函数模型,解决实际实际问题的 基本过程:

练习 1 已知 1650 年世界人口为 5 亿,当 时人口的年增长率为 0.3%;1970 年世界 人口为 36 亿,当时人口的年增长率为 巩固练习 2.1%. (1)用马尔萨斯人口模型计算,什么时 候世界人口是 1650 年的 2 倍?什么时候 世界人口是 1970 年的 2 倍?

解答: (1)已知人口模型为 y = y0en, 其中 y0 表示 t = 0 时的人口数, 固化能力 r 表示人口的年增长率. 强化技巧 若按 1650 年世界人口 5 亿, 年增长率为 0.3%估计,有 y = 5e0.003t.

(2)实际上,1850 年以前世界人口就超 过了 10 亿;而 2003 年世界人口还没有达 到 72 亿.你对同样的模型得出的两个结果 有何看法?

当 y = 10 时,解得 t≈231. 所以,1881 年世界人口约为 1650 年的 2 倍. 同理可知,2003 年世界人口 数约为 1970 年的 2 倍. (2)由此看出,此模型不太 适宜估计跨度时间非常大的 人口增长情况. 生: 动手实践解题此例学生四 个代表分别板书四种函数模 型. 师:点评学生解答,总结,回 答问题 解析:本题是通过数据验证, 确定系数, 然后分析确定函数 的变化情况, 最终找出与实际 最接近的函数模型. 由题知 A(1,1),B(2,1.2), C (3,1.3),D(4,1.37). (1)设模拟函数为 y=ax+b, 将 B、C 两点的坐标代入函数 式,有 用已学函 数模型综 合求解问 题,提升 综合应用 模型的能 力.

4.拟合函数模型 例 3 某皮鞋厂从今年 1 月份开始投产, 并且前 4 个月的产量分别为 1 万双,1.2 万双,1.3 万双,1.37 万双.由于产品质量 好, 款式新颖, 前几个月的销售情况良好. 为了推销员在推销产品时,接受定单不至 于过多或过少,需要估计以后几个月的产 量.厂里分析, 产量的增加是由于工人生产 熟练和理顺了生产流程 .厂里也暂时不准 备增加设备和工人.假如你是厂长, 就月份 x,产量 y 给出四种函数模型:y=ax+b, y=ax2+bx+c,
y ? ax 2 ? b ,y=abx+c, 你将利用哪一种模型
1

?3a ? b ? 1.3 ?a ? 0.1 去估算以后几个月的产量? , 解得 ? ? 归纳总结: ?2a ? b ? 1.2 ?b ? 1 4 所以 y= –0.8×0.5 +1.4=1.35 所以得 y = 0.1x + 1. 本题是对数据进行函数模拟,选择最符合 (2) 设 y=ax2+bx+c, 将 A, B, 应用举例 的模拟函数.一般思路要画出散点图, 然后 C 三点代入,有 作出模拟函数的图象,选择适合的几种函 ?a ? b ? c ? 1 ? 数类型后, 再加以验证.函数模型的建立是 ?4a ? 2b ? c ? 1.2 , ? 最大的难点,另外运算量较大,必须借助 ?9a ? 3b ? c ? 1.3 计算机进行数据处理,函数模型的可靠性 ?a ? ?0.05 ? 解得 与合理性既需要数据检验,又必须与具体 ?b ? 0.35 ?c ? 0.7 实际结合起来. ? 所以 y= –0.05x2+0.35x+0.7.

(3)设 y ? a x ? b ,将 A,B 两点的坐标代入,有
?a ? b ? 1 ?a ? 0.48 ? , 解得 ? ? ? 2a ? b ? 1.2 ?b ? 0.52 ?

所以 y ? 0.48 x ? 0.52 (4)设 y=abx+c,将 A,B, C 三点的坐标代入,得

?ab ? c ? 1 ?a ? ?0.8 ? 2 ? ?ab ? c ? 1.2 , 解得 ?b ? 0.5 ? 3 ?c ? 1.4 ? ?ab ? c ? 1.3

练习 2 某地区今年 1 月,2 月,3 月患某 种传染病的人数分别为 52,61,68.为了 预测以后各月的患病人数,甲选择了模型 y=ax2+bx+c, 乙选择了模型 y=pqx+r, 其中 y 为患病人数,x 为月份数,a,b,c,p,q,r 都 是常数.结果 4 月,5 月,6 月份的患病人 分别为 74,78,83,你认为谁选择的模型 较好?

学生口述解题思路 老师借助电脑解答问题 (1)列表

(2)画散点图.

(3)确定函数模型. 甲:y1= –x2 +12x+41, 乙: y2 = –52.07×0.778x + 92.5 巩固练习 固化解题 技巧

(4)做出函数图象进行比较.

计算 x = 6 时,y1 = 77,y2 = 80.9. 可见,乙选择的模型较好. 1.数学模型 所谓数学模型是指对客观实际的特征 或数量关系进行抽象概括,用形式化的数 归纳总结 学语言表述的一种数学结构 . 数学模型剔 除了事物中一切与研究目标无本质联系 的各种属性,在纯粹状态下研究数量关系 和空间形式,函数就是最重要的数学模 师生合作交流归纳知识, 整合 解题体会 整合理论 培养学习 能力

型,用函数解决方程问题,使求解变得容 易进行,这是数学模型间的相互转换在发 挥作用.而用函数解决实际问题, 则体现了 数学模型是联系数学与现实世界的桥梁. 2.关于数学建模中的假设 就一般的数学建模来说,是离不开假设 的,如果在问题的原始状态下不作任何假 设,将所有的变化因素全部考虑进去,对 于稍复杂一点的问题就无法下手了 .假设 的作用主要表现在以下几个方面: (1)进 一步明确模型中需要考虑的因素和它们 在问题中的作用 . 通常,初步接触一个问 题,会觉得围绕它的因素非常多,经仔细 分析筛查,发现有的因素并无实质联系, 有的因素是无关紧要的,排除这些因素, 问题则越发清晰明朗 . 在假设时就可以设 这些因素不需考虑. (2)降低解题难度.由于每一个解题者的 能力不同,经过适当的假设就可以有能力 建立数学模型,并且得到相应的解. 一般情况下,是先在最简单的情形下组建 模型,然后通过不断地调整假设使模型尽 可能地接近实际,得到更满意的解. 课后练习 3.2 第四课时 习案 学生独立完成 固化知识 提高能力


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