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圆锥曲线焦点弦的一个性质


圆锥曲线焦点弦的一个性质
浙江省台州市实验中学 张铭

由于圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)有着统一的内在规律,因而它们的一 些性质逐渐被人们揭示。本人在研究圆锥曲线焦点弦时,发现了一个统一性质,现 叙述如下: p 定理1: 已知抛物线 E:y2=2px (p>0)的焦点为 F, 其准线为 L: x ? ? ,,过焦点 2 1 1 2 F 的直线 m 与抛物线交于 A、B 两点.则 | AF | ? | BF | ? p
p 证明:若过点 F 的直线 m 的斜率存在为 k(k≠0),则 m 的方程为 y ? k ( x ? ) . 2 p p 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,将 y ? k ( x ? ) 代入抛物线方程可得 k 2 ( x ? ) 2 ? 2 px 2 2

即 k 2 x 2 ? p(k 2 ? 2) x ?
又 | AF |?| AA1 |? x1 ?

k 2 p2 ?0 4

? x1 ? x2 ?

p(k 2 ? 2) p2 , x1 ? x2 ? k2 4

p p ,| BF |?| BB1 |? x2 ? 2 2
p(k 2 ? 2) 2 p(k 2 ? 1) ?p? k2 k2

?| AF | ? | BF |? x1 ? x2 ? p ?

(1)

p p p p2 | AF | ? | BF |? ( x1 ? )( x2 ? ) ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 2 2 4 2 2 2 2 p p p (k ? 2) p k ?1 ? ? ? ? ? p2 ? 2 2 4 2 k 4 k

(2)

(1) 除以(2)得

| A F |? | B F | ? | A F |? | B F |

2 1 1 ,即 ? ? p |AF| |BF|

2 p

若过 F 点的直线 m 的斜率不存在,此时直线 m 的方程为: x ? 则 A.B 两点坐标为 ( p , p)和( p , ? p) ? AF |?| BF |? |
2 2 p

p 2

?

1 1 1 1 2 ? ? ? ? | AF | | BF | p p p

命题也成立。

综上,定理得证。

定理 2:已知椭圆 E:

x2 y 2 a2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,其焦点 F(c,0)对应的准线为 l : x ? a2 b c

焦点 F 到准线 L 的距离|FK|=p,过 F 点的直线 m 与椭圆 E 相交于 A,B 两点. 则
1 1 2 ? ? .(其中 e 为椭圆的离心率) | AF | | BF | ep

证明:过 A 点作 AA1 垂直 L,AM 垂直 x 轴,垂足分别为 A1,M.. 则根据椭圆第二定义: |AF|=e|AA1|=e(|FK|-|FM|)
设?AFM ? ? .则 |AF |? e( p ? | AF | cos ? ) ?| AF |? ep ? | AF | e ? cos ? ,?| AF |? ep 1 ? e cos ?

同样,过 B 点作 BB1 垂直 L,BN 垂直 x 轴,垂足分别为 B1,N.
| BF |? e | BB1 |? e(| FN | ? | FK |) ? e(| BF | cos ? ? p)

则?| BF | ? | BF | e cos ? ? ep,?| BF |?

ep 1 ? e cos ? 1 1 1 ? e cos ? 1 ? e cos ? 2 ? ? ? ? ? | AF | | BF | ep ep ep

定理得证。
x2 y2 a2 ? 2 ? 1 ,其焦点 F(c,0)对应的准线为 l : x ? a2 b c

定理 3:已知双曲线 E:

焦点 F 到准线 L 的距离|FK|=p,过 F 点的直线 m 与双曲线 E 相交于 A,B 两点. 则
1 1 2 ? ? .(其中 e 为双曲线的离心率) | AF | | BF | ep

证明:过 A 点作 AA1 垂直 L,AM 垂直 x 轴,垂足分别为 A1,M.. 则根据双曲线第二定义: |AF|=e|AA1|=e(|FK|+|FM|)
设?AFM ? ? .则 |AF |? e( p ? | AF | cos ? ) ?| AF |? ep ? | AF | e ? cos ? ,?| AF |? ep 1 ? e cos ?

同样,过 B 点作 BB1 垂直 L,BN 垂直 x 轴,垂足分别为 B1,N.
| BF |? e | BB1 |? e(| FK | ? | FN |) ? e( p ? | BF | cos ? )

则?| BF | ? | BF | e cos ? ? ep,?| BF |?

ep 1 ? e cos ? 1 1 1 ? e cos ? 1 ? e cos ? 2 ? ? ? ? ? .证毕. | AF | | BF | ep ep ep

综上,可得如下定理: 定理:若过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲线有两个交点,则这两个交点到圆锥 曲线焦点的距离的倒数和是一个定值 距离,e 为圆锥曲线的离心率。 )
2 。 (其中 p 为圆锥曲线的焦点到相应准线的 ep


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