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0理科数学密破仿真预测卷05(解析版)


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2013 届高考理科数学密破仿真预测卷 05
考试时间:120 分钟满分:150 分 注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对 答题卡上所粘贴的条形码中姓名、 座位号与本人姓名、 座位号是否一致务必在答题卡背 面规定的地方填写姓名和座位号后两位 2.答第 1 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0 5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、 ...... 笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0 5 毫米的黑色墨水 签字笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答, ................ 超出答题区域书写的答案无效, 在试 题卷、草稿纸上答题无效. ............ 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

2.已知复数 z ? 1 ? i ,则 z 的虚部是( A.1 【答案】B B. ? 1 C. i

) D. ? i

【解析】解:因为复数 z ? 1 ? i ,所以实部为 1,虚部为-1,选 B 3.设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 a11 ? a8 ? 3, S11 ? S 8 ? 3, 则使 a n ? 0 的最小正 整数 n 的值是
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A.8 【答案】C 【解析】解:∵a11-a8=3d=3,∴d=1, ∵S11-S8=a11+a10+a9=3a1+27d=3,∴a1=-8, ∴an=-8+(n-1)>0,解得 n>9, 因此最小正整数 n 的值是 10. 故选 C. B.9 C. 10 D.11

5.由曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形面积为 ( A.

2

3

) D.

1 12

B.

1 4
2 3

C.

1 3

7 12

【答案】A 【解析】因为要求曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形面积,根据定积分的几何意义,只要求

? (x
0

1

2

1 1 1 ? x 3 )dx ? x 3 ? x 4 |1 ? ,选 A 0 3 4 12
( )

6.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为

A.4 3 【答案】A

B.8 3

C.12 3

D.24 3

【解析】解:由三视图的侧视图和俯视图可知:三棱锥的一个侧面垂直于底面, 三棱锥的高是 4 ? 2 ? 2 3 ,它的体积为 ?
2 2

1 1 ? 2 3 ? 6 ? 2 ? 4 3 ,故选 A 3 2

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7. 给出计算 条件是(

1 1 1 1 的值的一个程序框图如右图,其中判断框内应填入的 ? ? ??? 2 4 6 20
) .

A. i ? 10 【答案】A

B. i ? 10

C. i ? 20

D. i ? 20

1 1 1 1 共 10 项的和.所以判断框内应填入的条件是 i ? 10 . ? ? ??? 2 4 6 20 8.三角形ABC中,角A、B、C的对边分别是a,b,c,且a>b>c,a2<b2+c2,则
【解析】

角A的取值范围是(
A.( , ? ) 2



?

B.( , ) 4 2

? ?

C.( , ) 3 2

? ?

D.(0, ) 2

?

9. 抛物线 y ? 4 x 上与焦点的距离等于 5 的点的横坐标是 (
2

)

A. 2 【答案】C

B.3

C. 4

D.5

【解析】解:利用抛物线的定义可知,抛物线 y ? 4 x 上与焦点的距离等于 5,则 x+2=5,
2

所以点的横坐标为 3,选 C 10、1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球,2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球,现随机地从 1 号箱
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中取出一球放入 2 号箱,然后从 2 号箱随机取出一球,则从 2 号箱取出红球的概率是( A. )

11 27

B.

11 24

C.

16 27

D.

9 24

【答案】A 【解析】本题考查互斥事件的概率的计算,解题时注意 B 中球数目的变化. 记事件 A:最后从 2 号箱中取出的是红球;事件 B:从 1 号箱中取出的是红球 则根据古典概型和对立事件的概率和为 1,可知,
? 4 2 2 1 ? , P(B) ? 1 ? ? 2?4 3 3 3 ? 3 ?1 4 3 3 P(A | B) ? ? , P(A | B) ? ? 8 ?1 9 8 ?1 9

P(B) ?

11.设偶函数 f ( x) 对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 3) ? ? 则 f (107.5) = A.10 【答案】B B.

1 ,且当 x ? [?3, ?2] 时, f ( x) ? 4 x , f ( x)

1 10

C. ? 10

D. ?

1 10

【解析】解:因为 f(x+3)=-1 /f(x) ,故有 f(x+6)=-1 /f(x+3) =-1/( -1 /f(x)) =f (x) .函数 f(x)是以 6 为周期的函数. f(107.5)=f(6×17+5. 5)=f(5.5)=-1 /f(2.5) =-1 /f(-2.5) =-1/ 4×(-2.5) =1 /10 . 故选 B 12 设 P 是 60? 的二面角 ? ? l ? ? 内一点, PA ? 平面? , PB ? 平面? , A,B为 垂足,

PA ? 4, PB ? 2, 则 AB 的长为(
A

) C

2 3

B

2 5

2 7

D

4 2

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第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分。 13.在钝角Δ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 a=1,A=30°,c= 3, 则Δ ABC 的面积为 【答案】 .

3 4

【解析】解:因为钝角Δ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 a=1,A=30°,c= 3,

2? 3 ,得到角 B 的值,利用正弦面积公式求解得到为 3 4 ? ? 2 2 14、把函数 y ? 2 x ? 4 x ? 5 的图象按向量 a 平移后,得 y ? 2x 的图象,则 a =
可知 C= 【答案】 (-1,-3)

.

? ? 2 2 【解析】 因为函数 y ? 2 x ? 4 x ? 5 的图象按向量 a 平移后, y ? 2x 的图象, 解: 得 那么 a =
(-1,-3) 15、如图:四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 其他四个侧面都是侧棱长为 5 的等腰三角形,则二面角 V-ABC 的平面角为 度

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16、对于函数 f(x)定义域中任意 x1,x2(x1≠x2)有如下结论: ①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2); ③ ②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2); ④f(

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0; x1 ? x 2

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )< . 2 2
.

当 f(x)=lgx 时,上述结论中正确结论的序号是 【答案】②③

【解析】本题考查应用导数求曲线切线的斜率,数列通项公式以及等比数列的前 n 项 和的公式 解:因为 y? ? nx
n

n ?1

? (n ? 1) x n ,曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线的斜率为 k=n2n-1-(n+1)2n
n n

切点为(2,-2 ),所以切线方程为 y+2 =k (x-2),令 x=0 得 an=(n+1)2 ,令 bn=

an ? 2n . n ?1

数列 ?

? an ? 2 3 n n+1 ? 的前 n 项和为 2+2 +2 +?+2 =2 -2; ?n ?1 ?

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本题 12 分)已知向量 m ? ( 3 sin (1)若 f ( x) ? 1 ,求 cos(

x x x ,1) , n ? (cos , cos 2 ) ,函数 f ( x) ? m ? n . 4 4 4

2? ? x) 的值; 3 1 c?b, 2

(2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 a cos C ? 求 f (2 B ) 的取值范围.

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18. (本小题 12 分)为了丰富学生的课余生活,促进校园文化建设,我校高二年级通过预赛 选出了 6 个班(含甲、乙)进行经典美文颂读比赛决赛.决赛通过随机抽签方式决定出场顺 序. 求: (1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率; (2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 【答案】解: (1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件 A ,则 P ? A ? ? 所以 甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为

A22 ? A44 1 ? . A66 15

1 ????????????4 分 15

(2)随机变量 X 的可能取值为 0, 1, 2, 3, 4 .

A22 ? A55 1 P( X ? 0) ? ? , A66 3 P( X ? 3) ?

4 ? A22 ? A44 4 P( X ? 1) ? ? , A66 15 P( X ? 4) ?

A42 ? A22 ? A33 1 P( X ? 2) ? ? , A66 5

3 2 2 A4 ? A2 ? A2 2 ? 6 A6 15

4 2 A4 ? A2 1 ? ????????10 分 6 A6 15

随机变量 X 的分布列为:
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X P
0
1 3

1
4 15

2
1 5

3
2 15

4
1 15

因此 EX ? 0 ? ? 1?

1 3

4 1 2 1 4 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? , 15 5 15 15 3

19.(12分) 设a ? 0, f ( x) ?

ax 令a1 ? 1, an ?1 ? f (an ), n ? N * . a?x

(1)写出a2, a3, a4的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论;

(ii)假设 n ? k 时猜想正确, 即 a k ?
a?

a (k ? 1) ? a ,????????8分

则a k ?1

a a ?ak (k ? 1) ? a a a ? f (a k ) ? ? ? ? a a ? ak (k ? 1) ? a ? 1 [(k ? 1) ? 1] ? a a? (k ? 1) ? a

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20. (本小题满分 12 分) 在直三棱柱中, AA1 ? AB ? BC ? 3, AC ? 2, D 是 AC 中点.

(1)求证: B1C //平面 A1 BD ; (2)求点 B1 到平面 A1 BD 的距离; (3)求二面角 A1 ? DB ? B1 的余弦值. 【答案】解: (1)连结 AB1 交 A1 B 于 E ,连结 DE .

? ? ? B1C // 平面A1 BD DE ? 平面A1 BD ? DE // B1C
(2) 如图建立坐标系,

??.4 分

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z

B1 A1
E

C1
y

A

D C x

B

则 B1 (0, 2 2,3) , B (0, 2 2, 0) , A1 (?1, 0,3)

???? ? ??? ? DB1 ? (0, 2 2,3) , DB ? (0, 2 2, 0) ???? ? DA1 ? (?1, 0,3)

21. (12 分)设函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 。
2

⑴当 b ?

1 时,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性; 2
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⑵求函数 f ( x) 的极值点; ⑶证明对任意的正整数 n ,不等式 ln(

1 1 1 ? 1) ? 2 ? 3 成立。 n n n

⑵①由⑴得当 b ? ②b ?

1 时函数 f ( x) 无极值点?????????(4 分) 2
1 ? 0 有两个相同的解 x

2( x ? ) 2 1 2 时, f ?( x) ? 2 x ?1

??

1 2

1 1 ? x ? (?1, ? ) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (? , ??) 时, f ?( x) ? 0 2 2 1 ? b ? 函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上无极值点?????????(5 分) 2 1 ③当 b ? 时, f ?( x) ? 0 有两个不同解, x1 ? ?1 ? 1 ? 2b , x2 ? ?1 ? 1 ? 2b 2 2 2

? b ? 0 时 x1 ? ?1 , x2 ? ?1 ,即 x1 ? (?1, ??), x2 ? (?1, ??) ? b ? 0 时, f ?( x) 、 f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

(?1, x2 )

x2

( x2 , ??)

?


0
极小值

?


由此表可知 b ? 0 时, f ( x) 有唯一极小值点 x2 ? 当0 ? b ?

?1 ? 1 ? 2b ;??????(7 分) 2

1 时, x1 ? ?1 ,? x1 , x2 ? (?1, ??) ,此时, f ?( x) 、 f ( x) 随 x 的变化情况如下 2
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表:

x
f ?( x)

(?1, x1 )

x1

( x1 , x2 )

x2

( x2 , ??)

?


0
极大值

?


0
极小值

?


f ( x)
由此表可知: 0 ? b ?
x2 ?

1 时, f ( x) 有一个极大值点 x1 ? ?1 ? 1 ? 2b 和一个极小值点 2 2

?1 ? 1 ? 2b ;?????(9 分) 2 2

1 综上所述: b ? 0 时, f ( x) 有唯一极小值点 x ? ?1 ? 1 ? 2b ; 0 ? b ? 时, f ( x) 有一个极 2 1 大值点 x ? ?1 ? 1 ? 2b 和一个极小值点 x ? ?1 ? 1 ? 2b ; b ? 时, f ( x) 无极值 2 2 2
点。????(10 分)

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用,求解函数的单调性和函数的极值, 以及函数与不等式的综合运用。 (1)先求解函数的定义域,然后求解导数,令导数大于零或者小于零得到单调区间。 (2)由⑴得当 b ?

1 时函数 f ( x) 无极值点,接下来对于参数 b,进行分类讨论,看导数为 2

零的解,进而确定极值的问题。 (3)当 b ? ?1 时,函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1) ,令函数
2

h( x) ? x3 ? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? ln( x ? 1) ,
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2 则 h?( x) ? 3 x ? 2 x ?

1 3x3 ? ( x ? 1) 2 ,当 x ? [0, ??) 时, h?( x) ? 0 ? x ?1 x ?1

函数 h( x) 在 [0, ??) 上单调递增,又 h(0) ? 0 ,? x ? (0, ??) 时,恒有 h( x) ? h(0) ? 0 即 x 3 ? x 2 ? ln( x ? 1) 恒成立,从而得到证明。 22. (本题满分 14 分)

已知椭圆 C:

x 2 y2 5 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3. ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 2 a b 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 上的动点 P 引圆 O:x +y =b 的两条切线 PA、PB,A、B 分别为切点,试探究椭 圆 C 上是否存在点 P, 由点 P 向圆 O 所引的两条切线互相垂直?若存在, 请求出点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由.
2 2 2

(2)如图,设 P 点坐标为(x0,y0), 若∠APB=90°,则有|OA|=|AP|. 即|OA|=

-------5 分 ---------6 分

OP ? OA ,
2 2

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有 2= x 0 ? y 0 ? 4 ,
2 2

两边平方得 x0 +y0 =8
2 2

2

2



又因为 P(x0,y0)在椭圆上,所以 4x0 +9y0 =36 ② ①,②联立解得 x 0 2 ?

36 2 4 , y0 ? 5 5

---------9 分

所以满足条件的有以下四组解

? ? 6 5 ? 6 5 6 5 ? 6 5 ?x 0 ? ?x 0 ? ?x 0 ? ? ?x 0 ? ? ? ? ? 5 ? 5 5 5 ,? ,x? ,x? , ? 2 5 ? 2 5 ? 2 5 2 5 ?y ? ?y ? ? y0 ? ? ? 0 ? y0 ? 5 ? 0 5 ? 5 5 ? ? ? ?
所以,椭圆 C 上存在四个点 (

-----------12 分

6 5 2 5 6 5 2 5 6 5 2 5 6 5 2 5 , ), ( ,? ), ( ? , ), ( ? ,? ), 5 5 5 5 5 5 5 5
--------14 分

分别由这四个点向圆 O 所引的两条切线均互相垂直.

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