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导数习题课(2课时)


《导数》中基本题型解题策略
【1、求切线方程解题策略】
(1)求在点 P(m, n) 处与 y ? f ( x) 相切的切线: y ? n ? f ?(m)( x ? m) (2)求过点 P(m, n) 与 y ? f ( x) 相切的切线: 设切点 M ( x0 , y 0 ) ,切线 l : y ? n ? k ( x ? m)
?k ? f ?

( x 0 ) ? ? f ( x 0 ) ? n ? f ?( x 0 )( x 0 ? m) ? x 0 ? ? ? k ? ? ? y 0 ? f ( x0 ) ? y ? n ? k ( x ? m) 0 ? 0

【2、单调性问题解题策略】
(1)求单调区间: 写出定义域,求出 f ?( x) ? ????? 写出 f ( x) 单调区间 ?? 解 f ?( x) ? 0 ?解集为增区间 (2)已知单调区间:
?? 求 a 范围 f ( x) 在 ( m, n) 上递增 ?转化 ? ?? f ?( x) ? 0 在 ( m, n) 上恒成立 ?????
法一:根分布法 法二:参数分离

【3、极值问题解题策略】
(1)求函数极值: 写出定义域,求 f ?( x) ? ????? f ( x) 单调区间 ? ?? 解 f ?( x) ? 0 ?解集为增区间 ?? f ( x) 极值 (2)已知极值:
?? 通过 f ?(a) ? 0 求出 a ? ? ? ?? 检验 x ? a 是否为极值点 x ? a 是极值点 ?

(3)极值个数:
f ( x) 在 (a, b) 上无极值 ?转化 ? ?? f ?( x) ? 0 在 (a, b) 上无根或重根 f ( x) 在 (a, b) 上仅一个极值 ?转化 ? ?? f ?( x) ? 0 在 (a, b) 上有且仅有一个非重根 f ( x) 在 (a, b) 上既有极大值又有极小值 ?转化 ? ?? f ?( x) ? 0 在 (a, b) 上有两个不等根

【4、最值问题解题策略】
(1)求 f ( x) 在 [a, b] 上最值:
f ( x) max ? max{ f ( x) 极大值 , f (a), f (b)} f ( x) min ? min{ f ( x) 极小值 , f (a), f (b)}

(2)恒成立问题: f ( x) ? m 恒成立 ?转化 ? ?? f ( x) min ? m

f ( x) ? m 恒成立 ?转化 ? ?? f ( x) max ? m

【5、方程根与证明不等式解题策略】
(1)方程根个数问题: ?? ?? 判断根个数(或根据根个数求参数) 求出 f ( x) 在 [a, b] 上的单调性和极值 ?利用图像 (2)证明不等式:
???? ?? 得证 ?? 求出 f ( x) 在 [a, b] 上的单调性和最值 ?考虑图像和最值 移到同侧构造函数 f ( x) ?

《导数》习题课例题与练习
1、已知函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,且满足 f ( x) ? 2xf ?(1) ? x 2 ,则 f ?(1) 等于( ) A ?1 B ?2 C 1 D 2 2 2 2 2 3 变式 1-1:若函数 f ( x) ? x ? f ?( ) x ? x ,则函数 f ( x) 的图象在 ( , f ( )) 处的切线方程是 3 3 3 。 变式 1-2:函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? 8 x ? 8 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的 切线方程是 。

1 3 a 2 曲线 f ( x) 在点 P(0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 。 x ? x ? bx ? c(a ? 0) , 3 2 (1)确定 b, c 的值; (2)若过点 (0,2) 可作曲线 f ( x) 的三条不同切线,求 a 的取值范围。
2、 设函数 f ( x) ?

3、函数 f ( x) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对任意 x ? R, f ?( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为 ( ) A ( ?1,1) B (?1,?? ) C (??,?1) D (??,??) 变式 3-1: 已知函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (1) ? 1 , 且 f ( x) 的导函数 f ?( x) ? 解集为( ) A {x | ?1 ? x ? 1} B {x | x ? ?1} C {x | x ? ?1或x ? 1}

1 x 1 , 则 f ( x) ? ? 的 2 2 2

D {x | x ? 1}

变式 3-2:已知函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (1) ? 1 ,且 f ?( x) ? 集为 ( ) A {x | x ? 1}
{x | x ? ?1}

1 1 ,则 ( x ? 1) f ( x) ? ( x 2 ? 1) 的解 2 2
D
{x | x ? 1或x ? 1}

B

C {x | ?1 ? x ? 1}

4、 (1)若函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? 1在 [1,2] 上单调递减,则 a 取值范围是 (2)若函数 f ( x) ? x ? 3x ? a 有三个不同零点,则 a 取值范围是 (3)若函数 f ( x) ? x 3 ? 3a 2 x ? 1 与 y ? 3 仅一个交点,则 a 取值范围是 (4) 若函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1 对 x ? [?1,1] 总有 f ( x) ? 0 , 则 a 取值范围是
3 3

; ; ; 。

5、若函数 f ( x) ? 2x 2 ? ln x 在定义域的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不是单调函数,则实数 k 的 取值范围是 。


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