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北京101中学2014届高三上学期10月阶段性考试数学理试题 Word版含答案


北京 101 中学 2014 届高三上学期 10 月阶段性考试数学试卷 (理科)
一、选择题: (本大题有 8 道小题,共 40 分,每小题 5 分)
2 1. 已知集合 M ? y y ? x ? 1, x ? R , N ? x y ?

?

?

?

x ? 1 ,则 M ? N ? (
D.

?



A. ?0, 1? 2. 若函数 f ? x ? ? ?

B.

??0,1??

C.

?x x ? ?1?


?y y ? 1?

? ?x ?cos , x ? 1 则 f ? f ?2?? ? ( 3 ? log 2 x, x ? 1 ?
B. 1 C.

A.

1 2

3 2

D. 3

3. 定义在 R 上的函数 f ? x ? 在区间 ?? ?,2? 上是增函数,且 f ?x ? 2? 的图象关于 x ? 1 对 称,则( ) B. f ?1? ? f ? 5 ? C. f ?1? ? f ? 5 ? D. f ? 0 ? ? f ? 5 ?

A. f ?1? ? f ? 5 ? 4. 设复数 z ? 1 ? i ,则 A. ? 2 ? i

3 ? 4i ?( z ?1
B. 2 ? i

) C. ? 1? 2i D. 1? 2i

5. 设等比数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 8a 2 ? a5 ? 0 ,则下列式子中数值不能确定的是 ( ) A.

a5 a3

B.

S5 S3

C.

a n ?1 an


D.

S n ?1 Sn

6. 已知某几何体的三视图 (如图) 其中俯视图和左视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形, , 主视图为直角梯形,则此几何体的体积 V 的大小为(

A.

35 3

B. 12

C.

40 3

D. 16

x ?1 ? ? 2 2 y?2 7. 已知点 P?x, y ? 的坐标满足条件 ? ,那么 ? x ? 1? ? y 的取值范围为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
( ) A. ?2,8? B. ?2,8?
2 2

C. ? ,8? ?5 ?

?16 ?

D. ?

? 16 ? ,8? ?5 ?


8. 过点 A?11,2 ? 作圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 164 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共有( A. 16 条 B. 17 条 C. 32 条 D. 34 条

二、填空题: (本大题有 6 道小题,共 30 分,每小题 5 分) 9. “函数 f ?x ? ? ax ? 3 在 ?? 1,2? 上存在零点”的充要条件是 10. 若 a ? 。 。

?

2

0

则 x 2 dx , ? ? x 3 dx ,c ? ? sin xdx , a, b, c 从小到大的顺序为 b
0 0

2

2

11. 函数 f ? x ? ? 2 sin? ?x ?

? ?

??

? ?x ? R ? , f ?? ? ? ?2 , f ?? ? ? 0 ,且 ? ? ? 最小值等 3?

?



? ,则正数 ? 的值为 2

12. 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 90 ,点 C 在以 O 为圆心的 劣弧 AB 上运动,若 OC = x OA + y OB ,其中 x, y ? R ,则 xy 的取值范围是 13. 如果执行如图所示的程序框图,输入 x ? ?1 , n ? 3 ,则输出的数 S ?
?

。 。

14. 若数列 ?a n ? 的通项公式 a n ?

?n ? 1?2

1

,记 c n ? 2?1 ? a1 ??1 ? a 2 ???1 ? a n ? ,试计算 。

c3 ?

,推测 c n ?

三、解答题: (本大题有 6 小题,共 80 分) 15. (本小题 13 分)在 ?ABC 中,已知 2 sin B cos A ? sin? A ? C ? (1)求 ?A ; (2)若 BC ? 2 , ?ABC 的面积是 3 ,求 AB 。 16. (本小题 13 分)如图所示,正方形 AA1 D1 D 与矩形 ABCD所在平面互相垂直,

AB ? 2 AD ? 2 ,点 E 为 AB 的中点。

(1)求证: BD1 ∥平面 A1 DE ;

(2)求证: D1 E ? A1 D ; (3)在线段 AB 上是否存在点 M ,使二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 出 AM 的长;若不存在,请说明理由。 17. (本小题 13 分)某品牌汽车的 4 S 店,对最近 100 位采用分期付款的购车者进行了统 计,统计结果如下表所示:已知分 3 期付款的频率为 0.2,且 4 S 店经销一辆该品牌的汽车, 顾客若一次付款,其利润为 1 万元;若分 2 期付款或 3 期付款,其利润为 1.5 万元;若分 4 期付款或 5 期付款,其利润为 2 万元。用? 表示经销一辆该品牌汽车的利润。 付款方式 频数 一次 40 分2期 20 分3期 a 分4期 10 分5期 b

? ?若存在,求 6

(1)若以频率作为概率,求事件 A :“购买该品牌汽车的 3 位顾客中,至多有 1 位采 用分 3 期付款”的概率 P ? A? ; (2)求? 的分布列及其数学期望 E ?? ? 。 18. (本小题 14 分)已知函数 f ?x ? ? x ln x , (1)求函数 f ? x ? 的极值点; (2)若直线 l 过点 ?0,?1? ,并且与曲线 y ? f ?x ? 相切,求直线 l 的方程; (3)设函数 g ?x ? ? f ?x ? ? a?x ? 1? ,其中 a ? R ,求函数 g ? x ? 在 ?1, e ? 上的最小值(其 中 e 为自然对数的底数) 。 19. (本小题 14 分)已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a2 b2
3 ,求椭圆的标准方程; 2

(1)若椭圆的长轴长为 4,离心率为

(2)在(1)的条件下,设过定点 M ?0,2 ? 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A, B ,且 ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; ?AOB 为锐角( O 为坐标原点) (3)过原点 O 任意作两条互相垂直的直线与椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 相交于 a2 b2

设原点 O 到四边形 PQSR 的一边距离为 d , 试求 d ? 1 时 a, b 满足的条件。 P, S , R, Q 四点, 20. (本小题 13 分)设 A 是由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,如果某一行(或某一 列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”。

(1)数表 A 如表 1 所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的 各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可) ;表 1

(2)数表 A 如表 2 所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和 与每列的各数之和均为非负整数,求整数 a 的所有可能值;表 2 ..

(3)对由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的任意一个数表 A ,能否经过有限次“操作”以 后,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数?请说明理由。

【试题答案】
一、选择题: 1. D 2. A 3. C 4. B 5. D 6. C 7. D 8. C 二、填空题: 9. a ? 3 或 a ? ? 10. c ? a ? b 11. 1 12. ?0, ? 2 13. ? 4 14.

3 2

? 1? ? ?

5 4 n?2 n ?1

三、解答题: 15. (1) ?A ?

?
3

; (2) AB ? 2

16. (1)略; (2)略; (3)存在点 M , AM ? 2 ? 17. (1) P? A? ? 0.896 ; (2)? 的分布列为

3 ? ,使二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 3 6

?
P
E ?? ? ? 1.4

1 0.4

1.5 0.4

2 0.2

18. (1) x ?

1 是函数的极小值点,极大值点不存在; e

(2) y ? x ? 1 ; (3)当 a ? 1 时, g ? x ? 的最小值为 0; 当 1 ? a ? 2 时, g ? x ? 的最小值为 a ? e a ?1 当 a ? 2 时, g ? x ? 的最小值为 a ? e ? ae 19. (1)

x2 y2 ? ?1 4 1
? ? ? 3? ? 3 ? ??? ,2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ?

(2) k ? ? ? 2,?

(3) 20.

1 1 ? 2 ?1 2 a b

(1)解:法 1:

1

2 3 ?7 1

?2 1 0
法 2:

改变第4列 ????? ?

1

2 3

7

?2 1 0 ?1

改变第2行 ????? ?

1

2

3 7

2 ?1 0 1

1

2 3 ?7 1

?2 1 0
法 3:

改变第2行 ????? ?

1

2

3 ?7

2 ?1 0 ?1

改变第4列 ????? ?

1

2

3 7

2 ?1 0 1

1

2 3 ?7 1

?2 1 0

改变第1列 ????? ?

?1 2 3 ?7 2 1 0 1

改变第4列 ????? ?

?1 2 3 2

7

1 0 ?1
……3 分

(2)每一列所有数之和分别为 2,0, ?2 ,0,每一行所有数之和分别为 ?1 ,1; ①如果首先操作第三列,则有

a

a2 ? 1

a 2?a

?a 2 a2

2 ? a 1 ? a2

则第一行之和为 2a ? 1 ,第二行之和为 5 ? 2a , 这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数, 所以 a ?

1 5 或a ? 2 2
?a a2 2 ? a a2

当a ?

?a 1 ? a 2 1 时,则接下只能操作第一行, 2 ? a 1 ? a2 2

此时每列之和分别为 2 ? 2a,2 ? 2a 2 ,2 ? 2a,2a 2 必有 2 ? 2a 2 ? 0 ,解得 a ? 0, ?1

a a2 ? 1 a ?a 2 5 当 a ? 时,则接下操作第二行, a ? 2 a 2 ? 1 a ? 2 ?a 2 2
此时第 4 列之和为负,不符合题意。 ②如果首先操作第一行,则有 ……6 分

?a

1 ? a2

a

a2

2 ? a 1 ? a2

a ? 2 a2

则每一列之和分别为 2 ? 2a , 2 ? 2a 2 , 2a ? 2 , 2a 2 当 a ? 1 时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉 当 a ? 1 时, 2 ? 2a , 2a ? 2 至少有一个为负数, 所以此时必须有 2 ? 2a 2 ? 0 ,即 ?1 ? a ? 1 ,所以 a ? 0 或 a ? ?1 经检验, a ? 0 或 a ? ?1 符合要求 综上: a ? 0, ?1 ……9 分

(3)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行之和与所有的列之和均为非负 实数。证明如下: 记数表中第 i 行第 j 列的实数为 cij( i ? 1,2,?, m; j ? 1,2,?, n ) 各行的数字之和分别为 , 各列的数字之和分别为 b1 , b2 ,?, bn ,A ? a1 ? a2 ? ? ? am ,B ? b1 ? b2 ? ? ? bn , a1 , a2 ,?, am , 数表中 m ? n 个实数之和为 S ,则 S ? A ? B 。记

K ? min k1ci1 ? k2ci 2 ? ? ? kncin | kl ? 1或 ? 1(l ? 1,2,?, n)且 k1ci1 ? k2ci 2 ? ? ? kncin ? 0
T ? min t1c1 j ? t2c2 j ? ? ? tmcmj ts ? 1或 ? 1( s ? 1,2,?, m)且 t1c1 j ? t2c2 j ? ? ? tmcmj ? 0
1? j ?n

?

1?i ?m

?

|

?

?

? ? min ?K , T ? 。
按要求操作一次时, 使该行的行之和 (或该列的列之和) 由负变正, 都会引起 A(和 B ) 增大,从而也就使得 S 增加,增加的幅度大于等于 2? ,但是每次操作都只是改变数表中某 行(或某列) 各数的符号, 而不改变其绝对值,显然,S 必然小于等于最初的数表中 m ? n 个 实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时,必是所有的行之和 与所有的列之和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号, S 就又会继续上升, 导致矛盾,故结论成立。 ……13 分


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