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柯西不等式与排序不等式


柯西不等式与排序不等式
1.均值不等式推广:n 个正数的

a ? a ? ? ? an 算术平均数:1 2 n
n 调和平均值: 1 1 1 ? ??? a1 a2 an

几何平均数:a1a 2 ? an
n

a ? a2 ? ? ? an 平方平均值: 1 n

2

2

2

则平方平均值 ? 算术平均值 ? 调和平均值 2.二维形式的柯西不等式 若 a, b, c, d 都是实数,则 (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd ) ,当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.
2 2 2 2 2

证明: (一)代数证明: ? a c ? b c ? b d ? a d ? a c ? b d ? 2abcd
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? b2c2 ? 2abcd ? a 2 d 2 ? 0 ? (bc ? ad )2 ? 0 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.
(二)向量证明:构造向量 ? ? (a, b), ? ? (c, d ) ,则有 ? ? ? ? ? ? ? cos ?

? ?

??

? ? ??

? ? ??

? ? ? ? ? ? ? 其坐标形式即为 ac ? bd ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2
当且仅当 ? , ? 共线或 ? ? 0 时等号成立,即当且仅当 ad ? bc 时,等号成立. 推论 1: a ? b ? c ? d ? ac ? bd (来源于向量证明中)
2 2 2 2

? ? ??

? ? ??

?? ??

??

?

推论 2: a ? b ? c ? d ? ac ? bd (将原式中 a, b, c, d 都变为 a , b , c , d )
2 2 2 2

3.柯西不等式的向量形式

? ? αβ 当且仅当β是零向量,或存在实数 k ,使α= kβ时,等号成立. 设α, β是两个向量,则αβ
4. 一般形式的柯西不等式
2 2 ? ? ? an )(b12 ? b22 ? ? ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn )2 设 a1 , a2 , a3 ,?, an , b1 , b2 , b3 , ?, bn 是实数,则 (a12 ? a2

当且仅当 bi ? 0(i ? 1, 2, ?, n) 或存在一个数 k ,使得 ai ? kbi (i ? 1, 2, ?, n) 时,等号成立. 简记作:平方和的乘积大于等于乘积和的平方 5.排序不等式 设 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn 为两组实数, c1 , c2 , ?, cn 是 b1 , b2 , b3 ,?, bn 的任一排列,则

a1bn ? a2bn?1 ? ? ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? an cn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn , 当且仅当 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn 时,反序和等于顺序和
简记作:反序和 ? 乱序和 ? 顺序和


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