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宁夏银川一中2012届高三第五次月考数学理试题


宁夏银川一中 2012 届高三第五次月考试题(数学理) 第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.已知集合 A ? { x | x ? x ? 0, x ? R } ,集合 B ? { x | lo g 2 x ? 0} ,则 A 、 B 满足(
2



A. A ? B
? ?

B. B ? A
? ? ?

C. A ? B
? ?

D. A ? B 且 B ? A ? ? ( )

2.已知单位向量 i , j 满足 ( 2 j ? i ) ? i ,则 i , j 夹角为 A.
?
6

B.

?
4

C. 的值为

?
3

D. (

2? 3

3.已知 tan ? ? 2 ,则 A. ? 3

co s 2 ? (sin ? ? co s ? )
2



B. 3

C. ? 2

D. 2 )

4. a , b 是空间中两条不同的直线, β 是两个不同的平面, 设 α、 则下列命题中正确的是 ( A.若 a ? ? , b ? ? , a / / ? , b / / ? ,则 ? / / ? B.若 ? ∥ ? , a ? ? , b ? ? ,则 a / / b C.若 a ? ? , a ? b ,则 b / / ? D.若 a / / b , b ? ? ,则 a ? ? 5.“ ? 2 ? m ? 1 ”是方程
x
2

m?2

?

y

2

1? m

? 1 表示椭圆的





A.充分必要条件 C.必要但不充分条件

B.充分但不必要条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知函数 y ? f ( x ? 1) 是定义域为 R 的偶函数,且在 [1, ?? ) 上单调递增,则不等式
f ( 2 x ? 1) ? f ( x ? 2 ) 的解集为

( B. { x | D. { x |
1 2 1 3 ? x ? 3} ? x ? 3}



A. { x | x ? 3} C. { x | ?
2

1 3

? x ? 3}
2

7.由曲线 x ? y ? | x | ? | y | 围成的图形的面积等于 A. ? ? 2 B. ? ? 2 C. 2 ?

( D. 4 ?



8.已知函数 f ( x ) ? A cos(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 为奇函数,该函数的部分图象 如图所示, ? E F G 是边长为 2 的等边三角形,则 f (1) 的值为
3 2 6 2





A. ?

B. ?

C. 3
x a
2
2 2

D. ? 3
? y b
2
2 2

9.过双曲线
O: x ? y
2

? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的 焦 点 F 作 渐 近 线 的 垂 线 l , 则 直 线 l 与 圆

? a 的位置关系是

( C.相切



A.相交 10 . 若 f ( x ) ? ?
1 2
2

B.相离

D.无法确定

x ? b l n ( x ? 2 ) 在 ( ? 1, ?? ) 上 是 减 函 数 , 则 实 数 b 的 取 值 范 围 是

( A. [ ? 1, ?? )

) C. ( ?? , ? 1] D. ( ?? , ? 1)

B. ( ? 1, ?? )

11.若 x、y

?3 x ? 5 y ? 6 ? 0 ? 满足条件 ? 2 x ? 3 y ? 15 ? 0 ?y ? 0 ?

,且当 x=y=3 时,z =ax+y 取最大值,则实数 a 的取值范

围是( A. (C. ? (
2 3 3 5 , 3 5 , 2 3

) ) ) B. (-∞,D. (-∞,3 5 2 3

)∪( )∪(

2 3 3 5

,+∞) ,+∞)

12.已知球 O 的半径为 8,圆 M 和圆 N 为该球的两个小圆,AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦, 若 OM=ON=MN=6,则 AB=( ) A.12 B.8 C.6 D.4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.在等比数列 { a n }中 , 若 a 3 a 5 a 7 a 9 a 11 ? 243 , 则
a9
2

的值为



a 11

14.已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 ) 与双曲线
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 有相同的焦点 F,点 A

是两曲线的交点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为 15.不等式 ( a ? 3 ) x 2
? (4a ? 2) x



对 a ? ( 0 ,1 ) 恒成立,则 x 的取值范围是________________.
D P E A B C

16.已知正方形 ABCD 边长为 1,图形如示,点 E 为边 BC 的中点, 正方形内部一动点 P 满足:P 到线段 AD 的距离等于 P 到点 E 的距离,那么 P 点的轨迹与正方形的上、下底边及 BC 边 所围成平面图形的面积为_________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 2? , a ? 2 b co s C ,求: 设 ? A B C 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c ,且 A ?
3

(1)角 B 的值; (2)函数 f ( x ) ? sin 2 x ? cos(2 x ? B ) 在区间 [0,
?
2 ] 上的最大值及对应的 x 值.

18. (本题满分 12 分) 已知数列 { a n }是首项为 a 1 ?
b n ? 2 ? 3 log
1 4

1 4

, 公比 q ?

1 4

的等比数列

,设

a n ( n ? N *) ,数列 { c n }满足 c n ? a n ? b n 。

(1)求证: { b n } 是等差数列; (2)求数列 { c n } 的前 n 项和 Sn.

19. (本小题满分 12 分) 一个四棱锥 P-ABCD 的正视图是边长为 2 的正方形及其一条对角线,侧视图和俯视图全 全等的等腰直角三角形,直角边长为 2,直观图如图. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积: (2)求直线 PC 和面 PAB 所成线面角的余弦值; (3)M 为棱 PB 上的一点,当 PM 长为何值时,CM⊥PA?

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 经过点 P (1,

2 2

) ,且两焦点与短轴的一个端点的

连线构成等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程; (2)动直线 l : mx ? ny ?
1 3 n ? 0 ( m , n ? R ) 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平

面上是否存在一个定点 T,使得以 AB 为直径的圆恒过点 T。若存在,求出点 T 的坐标; 若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当 x∈(0,e],f(x)=ax+lnx(其中 e 是自然对数的底数,a∈R) (1)求 f(x)的解析式; (2)设 g(x)=
ln | x | |x|

,x∈[-e,0),求证:当 a=-1 时,f(x)>g(x)+

1 2

;

(3)是否存在实数 a,使得当 x∈[-e,0)时 f(x)的最小值是 3 如果存在,求出实数 a 的值;如果不存在,请说明理由.

四、选考题(本小题满分 10 分) (请考生在 22,23,24 三题中任选一题做答,如果多做, 则按所做的第一题记分.做答时用 2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑) 22.选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB、CD 是圆的两条平行弦,BE//AC,BE 交 CD 于 E、交圆于 F,过 A 点的切线交 DC 的延长线于 P,PC=ED=1,PA=2. (1)求 AC 的长; (2)求证:BE=EF.

23.选修 4-4:坐标系与参数方程
? 2 t ?x ? ? 2 已知直线 l 的参数方程是 ? ( t 是参数 ) , 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为 2 ? y ? t? 4 2 ? 2 ?

? ? 2 cos( ? ?

?
4

).

(1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

24.选修 4-5:不等式选讲 已知 | x 1 ? 2 |? 1 , | x 2 ? 2 |? 1 . (1)求证: 2 ? x 1 ? x 2 ? 6 , | x1 ? x 2 |? 2 ; (2)若 f ( x ) ? x 2 ? x ? 1 ,求证: | x 1 ? x 2 |? | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? 5 | x 1 ? x 2 | .

宁夏银川一中 2012 届高三第五次月考试题(数学理)

参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中。只有 一项是符合题目要求的) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 答案 B C A D C
2 3

D

A
11 24

D

C

C

C

B

二、填空题(本题共 4 个小题。每小题 5 分,共 20 分) 13.3 14.
2 ?1

15.x<-1 或 x>

16.

三、解答题(本题共 6 小题,总分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (1)sinA=2sinBcosC ∴sin(B-C)=0 ……………………(2 分) ∴B=C (2)
2x ?

∵A=
3 2

2? 3

∴B=
3 2

?
6

……………………(4 分)
3 sin( 2 x ?

f (x) ?

sin 2 x ?

cos 2 x ?

?
2

)

……………(6 分)
3

?
6

?[

?
6

,

7? 6

]



f ( x ) max ? f (

?
6

)?

……………(10 分) ……………(12 分)

即x

?

?
6

时,f(x)达到最值值
? ( 1 4 )
n

3

18. (1)由已知 a n

∴bn=3n-2 ∴{bn}等差

∴bn-bn-1=3n-2-[3(n-1)-2]=3 (n≥2) (2)cn=anbn= (
Sn ? 1?
1 4 1 4 )
n

? (3n ? 2)

1 2 1 3 1 n?1 1 n ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? ( 3 n ? 5 )( ) ? ( 3 n ? 2 )( ) 4 4 4 4

1 4
?

1 2 1 3 1 4 1 n 1 n?1 S n ? 1 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? ( 3 n ? 5 )( ) ? ( 3 n ? 2 )( ) 4 4 4 4 4
3 4 Sn ? ? 1 4 1 4 ? 1 4 ? 3 [( 1 4 -( 1 4 )
n

)

2

?(

1 4

)

3

???( 1 4

1 4 )

) ] ? ( 3 n ? 2 )(

n

1 4

)

n?1

? ( 3 n ? 2 )(

n?1

∴ S n?

2 3

?

3n ? 2 3 1 3

1 n ?( ) 4 8 3

19. (1)VP-ABCD=

SABCD·PD=

(2)以 D 为坐标原点,建立
? n ? PA ? 0 ? ? 取 n ? ( 1 , 0 ,1 ) ? ? n ? AB ? 0 ?

设n

? ( x , y , z ) 为平面

PAB 的法向量

,PC 与 n 所成角 ? ,有

cos ? ? |

PC ? n | PC || n |
3 2

|?

1 2

,PC 与 PAB 所成角为

?
2

??

∴余弦值为

(3)由 M 在棱 PB 上, BM

? ? BP

,得 M( 2 ? , 2 ? 2 ? , 2 ? 2 ? )

CM ? PA ? ? 4 ? ? 4 ? 4 ? ? 0 ? ? ? 1 2

1 2

即当|PM|= CM⊥PA 20. (1)
x
2

|PB|=

3



? y

2

?1

2

(2)i)若 n=0, l : ii)若 m=0, l :
y ? ?

x ? 0,圆 x

2

? y

2

?1

1 3

,圆 x

2

?(y?

1 3

)

2

?

16 9

且过定点(0,1)

1 ? ? mx ? ny ? n ? 0 3 ? (2m iii)m ? 0时 ? ?x2 ? 2y2 ? 2 ?

2

? n )x

2

2

?

4 3

mnx ?

16 9

n

2

? 0

设 A(x1,y1),B(x2,y2) ,则以 AB 为直径的圆的方程为 (x-x1) (x-x2)+(y-y1) (y-y2)=0
2 ? ? 4 mn ? ? 2n x1 ? x 2 ? ? y1 ? y 2 ? ? 2 2 2 2 3( 2 m ? n ) ? 3( 2 m ? n ) ? ∵? 且? 2 2 2 ? 16 n n ? 18 m ? ? x1 x 2 ? y y ? 2 2 ? ? 1 2 2 2 9( 2 m ? n ) 9( 2 m ? n ) ? ?

∴圆方程为: x 2

? y

2

?

4 mn 3( 2 m
2

? n )

2

x? 3( m

2n
2

2 2

? n )

y?

? 15 n

2 2

? 18 m ? n )
2

2

? 0

9( 2 m

将(0,1)代入显然成立,故存在 T(0,1)符合题意。 21.

22. (本小题满分 10 分) 解: (I)? PA 2 ? PC ? PD , PA ? 2 , PC ? 1 ,? PD ? 4 , 又? PC ? ED ? 1,? CE ? 2 ,? ? PAC ? ? CBA , ? PCA ? ? CAB ,
? ? PAC ∽ ? CBA

…………(2 分)

,?

PC AC

?

AC AB


2

…………(4 分) …………(5 分) …………(8 分) …………(10 分)

? AC

2

? PC ? AB ? 2 ,? AC ?

(II)? BE ? AC ?
? EF ? 2 ?1 2 ? 2

2

, CE ? 2 ,而 CE ? ED ? BE ? EF ,

,? EF ? BE .

23. (本小题满分 10 分) 解: (I)? ? ?
??
2

2 cos ? ?

2 sin ? ,

?

2 ? cos ? ?

2 ? sin ? ,
2

…………(2 分)
? 2x ? 2y ? 0,
2 2 ,? 2 2

? 圆 C 的直角坐标方程为

x
2

? y

2

…………(3 分)
) .…………(5

即(x ?

2 2

) ? (y ?
2

2 2

) ? 1 ,? 圆心直角坐标为

(

分)

(II)方法 1:直线 l 上的点向圆 C 引切线长是
( 2 2 t ? 2 2 ) ? (
2

2 2

t ?

2 2

? 4 2) ?1 ?
2

t

2

? 8 t ? 40 ?

( t ? 4 ) ? 24 ? 2 6 ,
2

…………(8 分) ∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 方法 2:? 直线 l的普通方程为
2 2
x ? y ? 4 2 ? 0,

…………(10 分) …………(8 分)

|

?

2 2 2

? 4 2 | ? 5,

圆心 C 到 直线 l 距离是

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 5 2 ? 1 2 ? 2 6 24. (本小题满分 10 分) 证明: (I)∵ | x 1 ? 2 |? 1 ,∴ ? 1 ? x 1 ? 2 ? 1 ,即 1 ? x 1 ? 3 , 同理 1 ? x 2 ? 3 ,∴ 2 ? x 1 ? x 2 ? 6 , ∵ | x 1 ? x 2 | ? | ( x 1 ? 2 ) ? ( x 2 ? 2 ) |? | x 1 ? 2 | ? | x 2 ? 2 | , ∴ | x 1 ? x 2 |? 2 ;

…………(10 分)

…………(2 分) …………(4 分)

…………(5 分)

(II) | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? | x 1 ? x 2 ? x 1 ? x 2 |? | x 1 ? x 2 || x 1 ? x 2 ? 1 | ,…………(8 分) ∵ 2 ? x 1 ? x 2 ? 6 ,∴ 1 ? x 1 ? x 2 ? 1 ? 5 , ∴ | x 1 ? x 2 |? | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? 5 | x 1 ? x 2 | …………(10 分)

2

2


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