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2012年浙江省高中数学竞赛试题及答案


2012 年浙江省高中数学竞赛试题 总分 200 分 一、选择题(50 分) 1、已知 i 是虚数单位,则复数

1 ? 2i =( i?2
D



A

i

B

?i

C

4 3 ? ? i 5 5



4 3 ? ? i 5 5


2、下列函数中,既是奇函数,又是在区间 (??, ??) 上单调递增的函数是( A

y ? x2 ? x ??

B

y ? x ? 2sin x

C

y ? x3 ? x

D

y ? tan x

3、 已知 a, b 均为单位向量, 其夹角为 ? , 则命题 ( ) A 充分非必要条件 C 充要条件 4、已知集合 P ?

? ? ? 5? p : a ? b ? 1是命题 q : ? ?[ , ) 的 2 6

B 必要非充分条件 D 非充分非必要条件

?x |1 ? x ? 2?, M ? ?x | 2 ? a ? x ? 1 ? a? ,若 P ? M ? P ,则实
) C

数 a 的取值范围是( A

(??,1]
?

B

[1, ??)

[?1,1]

D

[?1, ??)


5、函数 y

3 ? ? sin( x ? ) ? cos( ? x) 的最大值是( 2 2 6

13 13 C D 13 4 2 6 、如图 ,四棱 锥 S ? ABCD 的底 面是 正方形 , SD ? 底 面 ABCD,则下列结论中不正确的是( )
A

13 4

B

A C D

AB ? SA

B

BC ? 平面 SAD

BC 与 SA 所成的角等于 AD 与 SC 所成的角 SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角

7、程序框图如图所示,若

f ( x) ? x2 , g ( x) ? log 2 x ,输入 x 的


值为 0.25,则输出的结果是( A

0.24 B ?2 C 2 D ?0.25 ?? 8、设 i , j 分别表示平面直角坐标系 x, y 轴上的单位向量,且 ? ? ? ? ? ? a ? i ? a ? 2 j ? 5 ,则 a ? 2i 的取值范围是( )

A

[2 2,3]

B

[

6 5 , 2 2] 5

C

[ 5,4]

D

[

6 5 ,3] 5

9、已知 F , F2 分别为双曲线 C : 1

9 135 x2 y 2 ), ? ? 1 的左右焦点,点 A 的坐标为 ( , 2 2 9 27


则 ?F AF2 的平分线与轴的交点 M 的坐标为( 1 A

(2,0)

B

(?2,0)

C

(4,0)

D

(?4,0)


10、设

f ( x) ? x 2 ? bx ? c ,若方程 f ( x) ? x 无实根,则方程 f ( f ( x)) ? x (
B 有两个相异实根 D 无实数根

A 有四个相异实根 C 有一个实根 二、填空题(共 49 分)

11、 设直线 y ? ax ? 4 与直线 y ? 8x ? b 关于直线 y

? x 对称, a ? ___, b ? ____. 则

12、已知

1 ? cos x ? sin x ,则 x ? _______. 1 ? cos x
x( x ? 1) ? arcsin( x 2 ? x ? 1) 的值为_______.
2

13、已知 x ? R ,则

14 、 已 知 实 数 a, b, c, d 满 足 ab ? c _______. 15、设数列 _______.

? d 2 ? 1 , 则 (a ? c)2 ? (b ? d )2 的 最 小 值 为
2011

?an ?

为等比数列,且每项都大于 1,则 lg a1 lg a2012

? lg a lg a
i ?1 i

1

的值为

i ?1

1 1 ( x ? )4 ? ( x 4 ? 4 ) x x 的最小值为_______. 16、设 x ? 0 ,则 f ( x) ? 1 3 1 ( x ? ) ? ( x3 ? 3 ) x x 17、如图是一个残缺的 3 ? 3 幻方,此幻方每一行每一列及每一 条对角线上得三个数之和有相等的值,则 x 的值为_______.
4015 2014

4017 9

2012 11

三、解答题(每题 17 分,共 51 分) 18、 已知实数 x1, x2 ,?, x10 满足

, ?| xi ? 1| ? 4, ?| xi ? 2 | ? 6 ,求 x1,x2 , ? x10
i ?1 i ?1

10

10

的平

均值.

x2 y2 ? ? 1 长轴上一个动点,过点 P 斜率为 k 直线交椭圆于两点。若 19、设 P 为椭圆 25 16
PA ? PB
2 2

的值仅仅依赖于 k 而与 P 无关,求 k 的值.

20 、 设

p, q ? , ? Z



p ? q2

。 试 证 对

n?Z ?

, 存 在

N ?Z?
.

, 使

( p ? p 2 ? q )n ? N ? N 2 ? q n 且 ( p ?

p 2 ? q )n ? N ? N 2 ? q n

四、附加题(每题 25 分,共 50 分) 。 21、设圆 O4 与 O1 ,圆 O1 与 O2 ,圆 O2 与 O3 ,圆 O3 与 O4 分别外切于 P , P , P , P ,试 1 2 3 4

证: (1) P , P , P , P 四点共圆; 1 2 3 4 ( 2 ) 四 边 形 OO2O3O4 是 某 个 圆 的 外 切 四 边 形 ; 并 且 该 圆 的 半 径 不 超 过 四 边 形 1

P , P2 , P , P4 的外接圆的半径. 1 3

22、设 i1, i2 ,?, i10 为 1,2,?,10 的一个排列,记 S 求 S 可以取到的所有值.

? i1 ? i2 ? i3 ? i4 ? ? ? i9 ? i10




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