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2011届高三数学归纳法极限导数测试题


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2011 届高三数学归纳法极限导数测试题
选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把 答案填在答题卡相应位置上. 答案填在答题卡相应位置上 1.下列命题中,正确的是 ( ) ①数列

{( 1) 3} 没有极限;②数列 ( 1) 2 的极限为 0; n
n
n

n n 3 2 ③数列 3 + 的极限为 3 ;④数列 2 3

( )

没有极限 n
D. ①②③④

A. ①②
2

B.①②③

C.②③④

2. 若 lim

x 6x + 5 1 1 1 1 = a, 则 lim( + 2 + 3 + L + n ) 的值为 ( ) 2 x →1 n →∞ a x 1 a a a 1 1 A.-2 B. C. D.3 3 2 x2 1 3.已知曲线 y = 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为 ( ) 4 2


A. 1 B.2 C.3 D.4 3 2 4.若函数 y = x ax + 4 在 ( 0, 2 ) 内单调递减,则实数 a 的取值范围为( A. a ≥ 3 B. a = 3 C. a ≤ 3
'

D. 0 < a < 3

5.设函数 f ( x ) = x( x + k )( x + 2 k )( x 3k ) ,且 f (0) = 6 ,则 k = ( ) A.0 B. -1 C. 3 D.-6 6.函数 f ( x ) = ax 3 + x + 1 有极值的充要条件是( A. a > 0 B. a ≥ 0 ) D. a ≤ 0 C. a < 0

7.已知函数 y = xf ′( x) 的图象如右图所示(其中 f '( x ) 是 函数 f ( x ) 的导函数) ,下面四个图象中 y = f ( x ) 的图 象大致是( ) -2 -1 -1

y
1

x
1 2

O

9.若函数 f ( x ) = 2 x 2 ln x 在其定义域的一个子区间 (k 1, k + 1) 上不是单调函数,则实数 k 的取值范围( A. k >

8.方程 x3-6x2+9x-10=0 的实根个数是 A.3 B.2

C.1

( ) D.0



3 1 1 3 3 B. k < C. < k < D. 1 ≤ k < 2 2 2 2 2 10.设 f (x ) 、 g (x ) 是定义在 R 上的恒大于 0 的可导函数,且 f ′( x ) g ( x ) f ( x ) g ′( x ) < 0 ,则当 a < x < b 时有
( C. f ( x ) g (b) > f (b) g ( x ) 题号 答案 1 2 3 A. f ( x ) g ( x ) > f (b) g (b) ) D. f ( x ) g ( x ) > f (a ) g ( a ) 5 6 7 8 9 10 学号
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B. f ( x ) g (a ) > f (a ) g ( x )

4

班 姓名



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小题, 把答案填在答题卡相应位置上. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上. 填空题: 3 11.曲线 y=x 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x=2 所围成的三角形的面积为__________. 12. 若函数 f ( x ) = 13.若函数 f ( x ) =

2 ( x ≤ 0 ) 在 R 上连续,则实数 a =______________ a 2 cos x ( x > 0 )

1 3 x + x 在 ( a,10 a 2 ) 上有最大值,则实数 a 的取值范围为_ 3 3 14.过点 P ( 2, 2 ) 和曲线 y = 3 x x 相切的直线方程为_____
8 3

__ __
3

15.向高为 8m,底面边长为 8m 的倒置正四棱锥形的容器内注水,其速度为每分钟 m ,则当水深为 5m 时,水面上 升的速度为



小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题:

x2 1 ( x > 0) 1+ x2 1 16. (本题满分 10 分)设函数 f ( x ) = a ( x = 0) b ( 1 + x 1) ( x < 0) x
(1)若 f ( x ) 在 x = 0 处的极限存在,求 a, b 的值; (2)若 f ( x ) 在 x = 0 处连续,求 a, b 的值。

3 2 17. (本题满分 12 分)函数 f ( x ) = x + ax + bx + c ,曲线 y = f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于直线 y = 3 x + 1 ,若函

数 y = f (x ) 在 x = 2 时有极值. (1)求 a , b 的值;(2)求函数 f (x) 的单调区间; (3) 若函数 f (x) 在区间 [ 3,1] 上

的的最大值为 10,求 f (x) 在该区间上的最小值.

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18. (本题满分 14 分)已知数列 {an } 满足 an +1 = an + 2an n ∈ N
2

(



) ,且 0 < a

1

<1

(1)用数学归纳法证明: 0 < an < 1 ; (2)若 bn = lg (1 an ) ,且 a1 =

1 9 ,求无穷数列 所有项的和 10 bn

19. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = ln(3 x) + ax + 1 (I)若函数 f (x ) 在[0,2]上是单调递增函数,求 a 的取值范围; (II)求函数 f (x ) 在[0,2]上的最大值.

20. (本题满分 12 分)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千米/小时) 的函数解析式可以表示为:

y=

1 3 x3 x + 8(0 < x ≤ 120) .已知甲、乙两地相距 100 千米 128000 80

(Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

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21. (本小题满分 14 分)设函数 f(x)= (1)求正实数 a 的取值范围. (2)若 a=1,求证:

1 x + ln x 在[1,+∞ ) 上为增函数。 ax

1 1 1 1 1 1 1 1 (n∈N*且 n≥2) + + + L + < ln n < n + + + + L + 2 3 4 n 2 3 4 n 1

答案
DBAAB

CCCDC 11. 8/3 12. 4 13. [ 2,1) (2) a = 1, b = 2

14. 9 x + y 16 = 0 或 y = 2 15. 8/75

16.(1) a ∈ R, b = 2 17.(1) a =2,, b =-4

(2)函数 f (x) 的单调增区间为: (-∞,-2) (

(3) 由函数 f (x) 在区间 [ 3,1] 上的的最大值为 10,得 c=2

2 2 ,+∞)单调增区间为: (-2, ) 3 3

f (x) 在该区间上的最小值为: f ( ) =
18.

2 3

14 27

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19.解: (1)Q f ′( x ) =

1 + a ≥ 0 对0 ≤ x ≤ 2 恒成立. 3 x

1 对0 ≤ x ≤ 2 恒成立 ∴ a ≥ 1 3 x (2)①若 a ≤ 0, 则f ( x) = ln(3 x) + ax + 1 在[0,2]上是减函数, f ( x) max = f (0) = ln 3 + 1 1 1 ②若 a > 0 ,则由(1)得:当 x ≤ 3 时, f ′( x ) ≥ 0, 当x ≥ 3 时, f ′( x ) ≤ 0 a a 1 1 ∴ 当0 < a ≤ 时,3 ≤ 0 ,此时 f (x) 在[0,2]上是减函数, f ( x) max = f (0) = ln 3 + 1 3 a 当 a ≥ 1 时, f (x ) 在[0,2]上是单调增函数, f ( x) max = f ( 2) = 2a + 1 1 1 1 当 < a < 1时, f ( x) max = f (3 ) = ln a + a (3 ) + 1 = 3a ln a 3 a a 1 综上a ≤ 时, f ( x) max = f (0) = ln 3 + 1; 3 1 当 < a < 1时, f ( x) max = 3a ln a; 3 a ≥ 1时, f ( x) max = f (2) = 2a + 1 100 20.解: (I)当 x = 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 = 2.5 小时, 40 1 3 要耗没 ( × 403 × 40 + 8) × 2.5 = 17.5 (升) 。 128000 80 ∴a ≥
答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升。
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100 小时,设耗油量为 h( x ) 升, x 1 3 100 1 2 800 15 依题意得 h( x ) = ( x3 x + 8). = x + (0 < x ≤ 120), 128000 80 x 1280 x 4 3 3 x 800 x 80 h '( x) = = (0 < x ≤ 120). 640 x 2 640 x 2 令 h '( x) = 0, 得 x = 80. 当 x ∈ (0,80) 时, h '( x ) < 0, h( x ) 是减函数; 当 x ∈ (80,120) 时, h '( x ) > 0, h( x ) 是增函数。 ∴ 当 x = 80 时, h( x ) 取到极小值 h(80) = 11.25. 因 为 h( x ) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小值。
(II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 答汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升。 21.解:(1)由已知: f ′(x ) = 解 依题意得:
ax 1 (a > 0) ax 2

ax 1 ≥0 对 x∈[1,+∞ ) 恒成立 ax 2

∴ax-1≥0 对 x∈[1,+∞ ) 恒成立 (2)∵a=1 ∴由(1)知:f(x)=
1

∴a-1≥0 即:a≥1
1 x + ln x 在[1,+∞ ) 上为增函数, x

n )= ∴n≥2 时:f( n 1

即:

1 n < ln …9 分 n n 1

n n 1 + ln n = ln n 1 > f (1) = 0 n n 1 n 1 n n 1 1 1 1 1 2 3 n ∴ + + + L + < ln + ln + L + ln = 1nn 2 3 4 n 1 2 n 1

设 g(x)=lnx-x x∈[1,+∞ ) , 则 g ′( x ) = ∴g′(x)在[1+∞ ) 为减函数

1 1 ≤ 0 对 x ∈ [1,+∞) 恒成立, x

n n n n n n )=ln - <g(1)=-1<0 即:ln < =1+ (n≥2) n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 ∴ ln 2 + ln 3 + ln 4 + L + ln n < (1 + 1 ) + (1 + 1 ) + L + (1 + 1) = n + 1 + 1 + L + 1 1 2 3 n 1 n 1 n2 1 2 3 n 1

∴n≥2 时:g(

综上所证:

1 1 1 1 1 1 + + L + < ln n < n + + + L + (n∈N*且≥2)成立. 2 3 n 2 3 n 1

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