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山西省怀仁县第一中学2015-2016学年高一第三次(12月)月考数学试题


2015-2016 学年第一学期高一年级第三次月考数学试题 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.设有一个直线回归方程为 y ? 2 ? 1.5 x ,则变量 x 增加一个单位时( A.y 平均增加 1.5 个单位 C.y 平均减少 1.5 个单位 B.y 平均增加

2 个单位 D.y 平均减少 2 个单位 )

2.一个容量为 40 的样本数据分组后组数与频数如下:内( ) A.至少有一个实数根 B.至少有一实根 C.无实根 D.有唯一实数根

10.某店一个月的收入和支出总共记录 N 个数据 a1, a2 , ???, aN ,其中收入记为正数,支出记为 负数,该店用下边的程序框图目算月总收入 S 和月净盈利 V,那么在图中空白的判断框和处理 框中,应分别填入下列四个选项中的( )

A. A ? 0?,V ? S ? T C. A ? 0?,V ? S ? T

B. A ? 0?,V ? S ? T D. A ? 0?,V ? S ? T

11.读程序 甲:INPUT i=1 S=0 WHILE i<=1000 S=S+i i=i+1 WEND PRINT S END 乙:INPUT i=1000 S=0 DO S=S+i i=i-1 LOOP UNTIL i<1 PRINT S END

对甲乙两程序和输出结果判断正确的是( ) A.程序不同,结果不同 C.程序相同,结果不同 B.程序不同,结果相同 D.程序相同,结果相同

12.如图,直角坐标平面内的正六边形 ABCDEF,中心在原点,边长为 a,AB 平行于 x 轴,一次 函数 f ? x ? ? kx ? t (k 为常数)的图象与正六边形交于 M,N 两点,记△OMN 的面积为 S,则 关于函数 S ? f ? t ? 的奇偶性的判断正确的是( )

A.一定是奇函数 C.既不是奇函数,也不是偶函数

B.一定是偶函数 D.奇偶性与 k 有关

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9,已知这组数据的平 均数为 10,方差为 2,则 x ? y 的值为
2 2

. .

14.执行如下图所示的程序框图,输出的 S 值为

15.某单位为了了解用电量 y 度与气温 x℃之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气 温. 气温(℃) 用电量(度) 14 22 12 26 8 34 6 38

? =- 2 ,据此预测当气温为 5℃时,用电量的度数约 ? ? a 中b 由表中数据得回归方程 y ? bx
为 .

?

?

16.定义在 R 上的偶函数 f ? x ? ,且对任意实数 x 都有 f ? x ? 2? ? f ? x ? ,当 x ??0,1? 时,

f ? x ? ? x2 ,若在区间内,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 k 的取值范围
是 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本题满分 10 分) 某市电视台在因特网上征集电视节目的现场参与观众, 报名的共有 12000 人,分别来自 4 个城区,其中东城区 2400 人,西城区 4600 人,南城区 3800 人,北城区 1200 人,从中抽取 60 人参加现场节目,应当如何抽取? 18. (本题满分 12 分)某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表 数据: x y 6 2 8 3 10 5 12 6

(1)请在图中画出上表数据的散点图;

19. (本题满分 12 分)某地区为了了解某地区高中生的身体发育情况,对某一中学的随机抽 取的 50 名学生的体重进行了测量,结果如下: (单位:kg) 42,38,29,36,41,43,54,43,34,44,40,59,39,42,44,50,37,44,45,29,48,45,53,48,37,28,46 ,50,37,44, 42,39,51,52,62,47,59,46,45,,67,53,49,65,47,54,63,58,43,46,58. 分组 [27,32) [32,37) [37,42) [42,47) [47,52) [52,57) [57,62) [62,67) (1)若以组距为 5,完成下面样本频率分布表: (2)根据(1)中的频率分布表,画出频率分布直方图; (3)若本地区学生总人数为 3000 人,试根据抽样比例,估计本地区学生体重在区间内所占 的人数约为多少人? 20. (本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x ? 4x ? a ? 3, a ? R
2

频数

频率 0.06 0.06

频率/组距

9 0.064 7 5 4 0.06

(1)若函数 y ? f ? x ? 的图象与 x 轴无交点,求 a 的取值范围; (2) 若函数 y ? f ? x ? 在上存在零点,求 a 的取值范围; (3)设函数 g ? x ? ? bx ? 5 ? 2b, b ? R ,当 a ? 0 时,若对任意的 x1 ??1,4? ,总存在 x2 ??1,4? , 使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求 b 的取值范围. 21. (本题满分 12 分)为调查我校学生的用电情况,学校后勤部门组织抽取了 100 间学生宿 舍,某月用电量调查,发现每间宿舍用电量都在 50 度到 350 度之间,其频率分布直方图如下 图所示.

(1)为降低能源损耗,节约用电,规定:每间宿舍每月用电量不超过 200 度时,按每度 0.5 元 收取费用;超过 200 度,超过部分按每度 1 元收取费用。以 t 表示某宿舍的用电量(单位: 度) ,以 y 表示该宿舍的用电费用(单位:元) ,求 y 与 t 的函数关系式? (2)求图中月用电量在(200,250]度的宿舍有多少间? (3)在直方图中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,宿舍用电量落入该区间的频率作 为宿舍用电量取该区间中点值的频率(例如:若 t∈上有零点,求 t 的取值范围.

高一月考数学试题答案

选择题:1-6:C C C A D D 填空题:13. 208 14. 10

7-12:C B D C B 15. 40 16. ? 0, ? 4

B

? ?

1? ?

解答题:12.设直线 OM、ON 与正六边形的另一个交点分别为 M ', N ' ,由于正六边形关于点 O

, ' ON ? 成中心对称,∴ OM ' ?OM ON

,从而 ?OM ' N ' 与△OMN 成中心对称,设直线 l 交 y

轴于 T,直线 M ' N ' 交 y 轴于 T ' ,则 | OT |?| OT ' | ,且 S?OM ' N ' ? S?OMN ,即当 t<0 时,有

S ? f ?t ? ? f ? ?t ? ,∴ S ? f ? t ? 为偶函数.
17.解:因为 60:12000=1:200,所以

2400 4600 3800 1200 ? 12, ? 23, ? 19, ? 6 ,故从东城 200 200 200 200

区中抽取 12 人,从西城区中抽取 23 人,从南城区中抽取 19 人,从北城区中抽取 6 人. 18.解: (1)如图所示.

(2)

?x y
i ?1

n

i i

? 6 ? 2 ? 8 ? 3 ? 10 ? 5 ? 12 ? 6 ? 158 ,

x?

n 6 ? 8 ? 10 ? 12 2?3?5? 6 =9, y? ? 4 ,……5 分 ? xi 2 ? 62 ? 82 ? 102 ? 122 ? 344 , 4 4 i ?1

? ? 158 ? 4 ? 9 ? 4 ? 14 ? 0.7, a ? ? y ? bx ? ? 4 ? 0.7 ? 9 ? ?2.3 ,故线性回归方程为 b 344 ? 4 ? 92 20

? ? 0.7 x ? 2.3 . y

…………………………………………9 分

? ? 6.3 ? 2.3 ? 4 ,所以预测记忆力为 9 的同学的判断力 (3)由回归直线方程,当 x=9 时, y
约为 4.…12 分 19.解: (1) (共 4 分,每错一个数据扣一分,扣完为止) 分组 [27,32) [32,37) [37,42) [42,47) [47,52) [52,57) [57,62) [62,67) 总计 (2)样本频率分布直方图: 频数 3 3 9 16 7 5 4 3 50 频率 0.06 0.06 0.18 0.32 0.14 0.10 0.08 0.06 1.00 频率/组距 0.003 0.003 0.036 0.064 0.028 0.020 0.016 0.012 0.200

(9 分) (刻度标尺 1 分,坐标轴名称 1 分,图形数据准确度 3 分) (3)因为 0.18+0.32+0.14+0.1=0.74,故样本中体重在 37-57kg 的中学生约占 74%.则总体中 体重在 37-57kg

(2)∵ f ? x ? 的对称轴为 x=2,∴ f ? x ? 在上单调递减,欲使 f ? x ? 在上存在零点,应有

? ?a ? 0 ? f ?1? ? 0 ,即 ? ,∴-8≤a≤0. ? ?8 ? a ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0
(3)若对任意的 x1 ??1,4? ,总存在 x2 ??1,4? ,使 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,只需函数 y ? f ? x ? 的值 域为函数 y ? g ? x ? 值域的子集即可.∵函数 y ? f ? x ? 在区间上的值域是, 当 b>0 时,g ? x ? 在 上的值域为,只需 ?

?5 ? b ? ?1 ,? b ? 6 ;当 b=0 时, g ? x ? =5 不合题意,当 b<0 时, g ? x ? 在 ?2b ? 5 ? 3 ?2b ? 5 ? ?1 ,? b ? ?3 ,综上知 b 的取值范围是 b ? 6 或 b ? ?3 5 ? b ? 3 ?

上的值域为,只需 ?

21.解: (1)当 0≤t≤200 时,y=0.5x 当 t>200 时,y=200x0.5+(t-200)x1=t-100,综上: y ? ? 分 (2) x ? 1 ? ? 0.0060 ? 0.0036 ? 0.0024 ? 0.0024 ? 0.0012? ? 50 ? 1 ? 0.0156 ? 50 ? 0.22 ,

?0.5t 0 ? t ? 200 ? .………………3 ? ?t ? 100 t ? 200

0.22 ? 100 ? 22 ,即图中月用电量在(200,250]度的宿舍有 22 间.

…………6 分

(3)各组区间中点值分别为:75、125、175、225、275、325,即各宿舍用电量有 6 种情形…… 7分 各组区间中点值发生的频率分别为:0.12、0.18、0.3、0.22、0.12、0.06,频数分别为 12、 18、30、22、 12、 6,………………………………9 分 故 100 间宿舍月均用电费用为:

y?

1 ?75 ? 0.5 ? 12 ? 125 ? 0.5 ? 18 ? 175 ? 0.5 ? 30 ? ? 225 ? 100 ? ? 22 ? ? 275 ? 100 ? ? 12 ? ?325 ? 100 ? ? 6 ? ? 100 ?

(元) ,……………………………………11 分 ∴可估计我校学生宿舍的月均用电费用为 104 元. 22.解: (Ⅰ)∵若 1 是关于 x 的方程 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 的解,∴

log a 2 ? log a ? 2 ? t ? ,? ? 2 ? t ? ? 2 ,又∵t+2>0,∴ t ? 2 ? 2,?t ? 2 ? 2 .
2 2

(Ⅱ)∵t=-1 时, log a ? x ? 1? ? log a ? 2 x ? 1? ,又∵0<a<1,∴
2

?4 x 2 ? 5 x ? 0 2 ? 5? 4 ? x ? 1 ? ? 2 x ? 1? ? ? 1 ,? ? ,? 0 ? x ? ,∴解集为: ? x | ? x ? ? ; ? 1 4? 5 ? 2 ?2 x ? 1 ? 0 ?x ? ? ? 2
(Ⅲ)解法一:∵ F ? x ? ? tx2 ? x ? 2t ? 2 ,由 F ? x ? ? 0 得: t ? ?

x?2 (x ? ? 2且 x2 ? 2

?1 ? x ? 2 ) ,∴ t ? ?

x?2

? x ? 2? ? 4 ? x ? 2? ? 2
2

,设 U=x+2( 1 ? U ? 4 且 U ? 2 ? 2 ),则

t??

U ?? U ? 4U ? 2
2

1 U ?4? 2 U

,令 ? ? U ? ? U ?

2 ,∵当 1 ? U ? 2 时, ? ? U ? 是减函 U

数,当 2 ? U<4 时, ? ? U ? 是增函数,且

?
?

? 2? ? 2

2, ? ?1? ? 3, ? ? 4 ? ?

9 9 ,? 2 2 ? ? ?U ? ? 且 ? ? U ? ? 4 ,∴ 2 2

1 2 2 2? 2 ? 4 ? U ? ? 0 或 0 ? 4 ? U ? ? 4 ? 2 2 ,t 的取值范围为 t ? ?2 或 t ? . 2 U U 4

解法二:若 t=0,则 F(x)=x+2 在(-1,2]上没有零点.下面就 t≠0 时分三种情况讨论:方程 F(x)=0 在(-1,2]上有重根 x1 ? x2 ,则△=0,解得 t ?

2? 2 ; 4

F(x)=0 在(-1,2]上只有一个零点,且不是方程的重根,则有 F(-1)F(2)<0,解得 t< -2 或 t>1,又经检验:t=-2 或 t=1 时,F(x)在(-1,2]上都有零点,∴t≤-2 或 t≥1. 方程 F(x)=0 在(-1,2]上有两个相异实根,则有:

?t ? 0 ?t ? 0 ? ? ?? ? 0 ?? ? 0 ? ? 2+ 2 1 1 ? ? ? t ? 1 ,综合①②③可知:t 的取值范围为 ??1 ? ? ? 2 或 ??1 ? ? ? 2 ,解得 4 2t 2t ? ? ? F ? ?1? ? 0 ? F ? ?1? ? 0 ? ? ? ? ?F ? 2? ? 0 ?F ? 2? ? 0
t ? ?2 或 t ?

2? 2 4


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