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函数应用第3课时-用二分法求方程的近似解


函数应用第 3 课时 用二分法求方程的近似解 (一)教学目标 1.知识与技能 掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤,会用二分法求方程的近似解. 2.过程与方法 体会通过取区间中点,应用零点存在性定理,逐步缩小零点所属区间的范围,而获得零点的 近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想,渗透算法思想. 3.情感、态度及价值观 在灵活调整算法,在由特殊到一般的认识过程中,养成

良好的学习品质和思维品质,享受数 学的无穷魅力. (二)教学重点与难点 重点:用二分法求方程的近似解; 难点:二分法原理的理解 (三)教学方法 讲授法与合作交流相结合,通过老师恰当合理的讲授,师生之间默切的合作交流,认识二分 法、理解二分法的实质,从而能应用二分法研究问题,达到知能有机结合的最优结果. (四)教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 提出问题引入课题 1 问题: 一元二次方程可用判别式判定根的存在性, 可用求根公式求方程的根.但对于一般的 方程, 虽然可用零点存在性定理判定根的存在性, 而没有公式. 求根: 如何求得方程的根呢? ①函数 f (x) = lnx + 2x – 6 在区间(2,3)内有零点. ②如果能够将零点所在的范围尽量缩小, 那么在一定精确度的要求下, 我们可以得到零点的 近似值. ③通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围. ④取区间(2,3)的中点 2.5,用计算器算得 f (2.5)≈–0.084.因为 f (2.5)·f (3)<0,所以零点 在区间(2.5,3)内.再取内间(2.5,3)的中点 2.75,用计算器算得 f (2.75)≈0.512.因为 f (2.5)·f (2.75)<0,所以零点在区间(2.5,2.75)内. ⑤由于(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75),所以零点所在的范围确实越来越小了. ⑥例如,当精确度为 0.01 时,由于|2.539 062 5 – 2.531 25| = 0.007 812 5<0.01,所以,我 们可以将 x = 2.531 25 作为函数 f (x) = lnx + 2x – 6 零点的近似值,也即方程 lnx + 2x – 6 = 0 根的近似值. 师:怎样求方程 lnx + 2x – 6 = 0 的根. 引导:观察图形 生:方程的根在(2,3)区间内 师:能否用缩小区间的方法逼近方程的根

生:应该可用 师:我们现用一种常见的数学方法—二分法,共同探究已知方程的根. 师生合作,借助计算机探求方程根的近似值. 区间 中点的值 中点函数近似值 (2,3) 2.5 –0.084 (2.5,3) 2.75 0.512 (2.5,2.75) 2.625 0.215 (2.5,2.625) 2.5625 0.066 (2.5,2.5625) 2.53125 –0.009 (2.53125,2.5625) 2.546875 0.029 (2.53125,2.546875) 2.5390625 0.010 (2.53125,2.5390625) 2.53515625 0.001

由旧到新设疑、析疑导入课题,实例分析了解二分法、进一步师生合作尝试二分法. 形成概念

1.对于区间[a,b]上连续不断且 f (a)·f (b)<0 的函数 y = f (x),通过不断地把函数 f (x)的零 点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做 二分法. 2.给定精确度,用二分法求函数 f (x)零点近似值的步聚如下: (1)确定区间[a,b],验证 f (a)·f (b)<0,给定精确度; (2)求区间(a,b)的中点 c; (3)计算 f (c); ①若 f (c) = 0,则 c 就是函数的零点; ②若 f (a)·f (c)<0,则令 b = c(此时零点 x0∈(a,c)); ③若 f (c)·f (b)<0,则令 a = c(此时零点 x0∈(c,b)). (4)判断是否达到精确度:即若|a – b|<,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复 2~4. 师生合作回顾实例: 求方程 lnx + 2x – 6 = 0 的近似解(精确度 0.01)的操作过程.掌握二分法,总结应用二分法的 步骤 师:讲授二分法的定义. 生:总结应用二分法的步骤. 学生交流总结,学生代表口述步骤,老师完善并板书. 由特殊到一般形成概念,归纳总结应用二分法的步骤. 应用举例

例 1 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x + 3x = 7 的近似解(精确度 0.1). 师生合作应用二分法,遵循二分法的步骤求解,并借助函数图象检验. 例 1 解:原方程即 2x + 3x –7 = 0,令 f (x) = 2x + 3x –7,用计算器或计算机作出函数 f (x) = 2x + 3x –7 的对应值表与图象 x 0 1 2 3 4 f(x)=2x+3x–7 –6 –2 3 10 21 x 5 6 7

8

f(x)=2x+3x–7 40 75 142 273

观察图或表可知 f(1)·f(2)<0,说明这个函数在区间(1,2)内有零点 x0. 取区间(1, 2)的中点 x1=1.5, 用计算器算得 f(1.5)≈0.33.因为 f(1)· f(1.5)<0,所以 x0∈(1, 1.5). 再取(1,1.5)的中点 x2=1.25,用计算器算得 f(1.25)≈–0.87.因为 f(1.25)·f(1.5)<0,所以 x0 ∈(1.25,1.5). 同理可得 x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.4375) 由于|1.375–1.4375| = 0.0625<0.1,所以,原方程的近似解可取为 1.4375. 尝试体验二分法,培养应用二分法从而固化基本理论技能 巩固练习

1.借助计算器或计算机,用二分法求函数 f(x) = x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4 在区间(0,1)内的零 点(精确度 0.1).

2.借助计算器或计算机,用二分法求方程 x = 3 – lgx 在区间(2,3)内的近似解(精确度 0.1). 学生动手尝试练习,师生借助计算机合作完成求解. 1.解:由题设可知 f(0)= –1.4<0,f(1)=1.6>0, 于是 f(0)·f(1)<0, 所以,函数 f(x)在区间(0,1)内有一个零点.

下面用二分法求函数 f(x) = x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4 在区间(0,1)内的零点 取区间(0,1)的中点 x1=0.5,用计算器可算得 f(0.5)= –0.55.因为 f(0.5)·f(1)<0, 所以 x0∈(0.5,1). 再取区间(0.5,1)的中点 x2=0.75,用计算器可算得 f(0.75)≈0.32. 因为 f(0.5)·f(0.75)<0, 所以 x0∈(0.5,0.75). 同理可得 x0∈(0.625,0.75),x0∈(0.625,0.6875),x0∈(0.65625,0.6875) 由于|0.6875–0.65625|=0.3125<0.1, 所以原方程的近似解可取为 0.65625. 2. 解原方程即 x + lgx– 3 = 0, 令 f(x) = x + lgx– 3, 用计算器可算得 f(2)≈–0.70, f(3)≈0.48, 于是 f(2)· f(3)<0, 所以,这个方程在区间(2,3)内有一个解. 下面用二分法求方程 x = 3 – lgx 在区间(2,3)内的近似解. 取区间(2,3)的中点 x1 = 2.5,用计算器可算得 f(2.5)≈–0.10. 因为 f(2.5)·f(3)<0,所以 x0∈(2.5,3). 再取区间(2.5,3)的中点 x2 = 2.75,用计算器可算得 f(2.75)≈0.19.因为 f(2.5)·f(2.75)<0,所 以 x0∈(2.5,2.75). 同理可得 x0∈(2.5,2.625), x0∈(2.5625,2.625). 由于|2.625–2.5625|=0.0625<0.1, 所以原方程的近似解可取为 2.5625. 进一步体验二分法,巩固应用二分法的方法与技巧及注意事项. 课后练习 3.1 第三课时 习案 学生独立完成 巩固二分法应用技能 备选例题 例 1 用二分法求函数 f (x) = x3 – 3 的一个正实数零点(精确到 0.1). 【解析】由于 f (1) = –2<0,f (2) = 5>0,因此可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间, 用二分法逐步计算,列表如下: 端点或中点的横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间 a0 = 1,b0 = 2 f(1)= –2,f(2)=5 [1,2]

f (x0) = 0.375>0 [1,1.5]

f (x1) = –1.0469<0 [1.25,1.5]

f (x2) = –0.4004<0 [1.375,1.5]

f (x3) = –0.0295<0 [1.4375,1.5]

f (x4) = 0.1684>0 [1.4375,1.46875]

f (x5)>0 [1.4375,1.453125] x6 = 1.4453125 f (x6)>0 [1.4375,1.4453125] 由上表的计算可知区间[1.4375,1.4453125]的左、右端点精确到 0.1 所取的近似值都是 1.4, 所以 1.4 可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.


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