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3 《数形结合思想与几何画板》课件


《数形结合思想与几何画板》
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授课教师:陆集宁 例4 小结 作业 检测

2014年4月30日4时18分

1 基本常识 1.1 数学研究对象是什么? 数学研究的主要对象是数和形。

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2014年4月30日4时18分

1 基本常识

1.2 数形结合思想
数学中,数和形是两个主要的研究对象,它们之间 有着十分密切的联系,在一定条件下,数和形之间可以 相互转化,相互渗透。 数形结合的基本思想,就是在研究问题的过程中, 注意把数和形结合起来考察,斟酌问题的具体情形,把 图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关 系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化, 抽象问题具体化,化难为易,获得简便易行的成功方 案.
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2014年4月30日4时18分

1 基本常识 1.3 几何画板 《几何画板》软件是由美国Key Curriculum Press公 司制作并出版的优秀教育软件。 几何画板是适用于数学、几何、物理的矢量分析、 作图,函数作图的动态几何工具。它能够动态地展现出 几何对象的位置关系、运行变化规律。 运用几何画板能够方便的实现数和形之间的相互转 化,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易, 更加深刻的理解数学概念、定理和公式,对于解决数学 问题起到重要的辅助作用。可以说几何画板是最出色的 教和学的软件之一。详见几何画板教程
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2014年4月30日4时18分

1 基本常识

1.2 数形结合思想 著名数学家华罗庚说过:数缺形时少直观,形缺数 时难入微,切莫忘,数形结合不分离。对数形结合思想 给予了精彩的诠释。

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2 数形结合思想应用实例

2.1 分形几何

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2014年4月30日4时18分

是舞台?

还是城市广场?
不然就是极光了。

选修课

是谁的大作? 鬼斧神工 是数形结合的结晶 分形几何!

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2014年4月30日4时18分

几何画板是如何作分形几何图的?

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2014年4月30日4时18分

2 数形结合思想应用实例

2.1 分形几何
分形几何图片欣赏; http://www.fractal.cn/east_new/fxrm/index.htm

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2 数形结合思想应用实例

2.1 分形几何
谁创立了分形几何学?

1973年,曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学 院讲课时,首次提出了分维和分形几何的设想。分形 (Fractal)一词,是曼德勃罗创造出来的,其原意具有 不规则、支离破碎等意义,分形几何学是一门以非规则 几何形态为研究对象的几何学。分形几何建立以后,很 快就引起了许多学科的关注,这是由于它不仅在理论上, 而且在实用上都具有重要价值。
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2014年4月30日4时18分

2 数形结合思想应用实例

2.1 分形几何 由于分形能够用递推函数(或称迭代法)加以描述, 所以用计算机生成的分形十分理想。特别是迭代函数系 统具有很高的压缩比,可达1:1000,在图象及通讯方面 具有广阔的应用。像电影《星际旅行ⅱ:可汗的愤怒》 中新行星的诞生以及《吉地的返回》中行星在空间飘浮 等壮观的场面,就是由彼克沙公司在一台计算机上完成 的。由计算机模拟制作的山峰,也已被ibm公司应用于广 告宣传中。分形的视觉效果更使分形装饰布和分形壁纸 必将成为人们日后的新宠。分形明信片和分形广告已推 出了十多年,分形日历也早已问世。
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2014年4月30日4时18分

2 数形结合思想应用实例

2.1 分形几何 感动于分形的美妙的几个设想: 1)将高精度分形图形具体应用在建筑设计中,将整 面墙壁用一幅分形图装饰,甚至可以考虑逐级放大,装 饰图形随套房逐步展开;或设计一座分形大厦,整个建 筑的布局以及装饰都利用分形图形。 2)研究分形建筑陶瓷纹样、分形纺织纹样设计及其印 染工艺。长沙马王堆汉墓出土的纺织品图案纹样很令人 吃惊,图案设计大胆豪迈、热情奔放、生动流畅、不规 则之中隐藏着高度的规则性、复杂的对称代替了简单的 几何对称。这分明具有分形图形的气势、风格。
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2014年4月30日4时18分

2 数形结合思想应用实例

2.1 分形几何 3)设计分形时装。现代西方时装重色彩、质料而轻 图案装点,而各国传统民族服装则正相反。对几何纹样 的态度似乎是,西方重不规则、非对称图案,而各国传 统服装重规则、对称图案(特别是伊斯兰社会)。 4)将分形图形用于信息加密防伪。 5)印制分形贺卡、明信片和小台历。 分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合,数 学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科学方法论意 义。
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2014年4月30日4时18分

2 数形结合思想应用实例

2.1 分形几何 分形几何主要是在高校研究,需要高深的数学知识。 我们这里只是欣赏分形几何图像,知道有分形几何这个 概念,培养学习数学的兴趣,希望今后有个别同学能够 进入分形几何的研究行列,至少今后有一些同学能够应 用美轮美奂的分形几何图片于生产实际。在这里介绍分 形几何的重要意义在于理解数形结合的实际意义和应用。
今天先一些几何画板课件,学习几何画板软件的使用。

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2 数形结合思想应用实例

2.2 在中学数学学习中形成数形结合的思想
2.2.1 函数的图像 详见课件 2.2.2 解析几何中的数形结合思想 待续 2.2.3 其他 待续
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2014年4月30日4时18分

欢迎指导

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引例: 方程2x=x2的解有几个?
y

分析:问题转化为求 y =2x 与 y = x2的图像交点的个数. 如图所示 解:画出函数 y =2x与抛物线 y = x2的图像, 不难看出在原点附近有两个交点(其中一个在第二象限),

y

即原方程有两个解? 当x>4时,y =2x的增速比y = x2的快, 在后面会不会都是y = x2的函数值大?

y =x2

y =2x

请大家再更加准确的作图,看得更远一点! 原来还有交点(4,16),∴原方程有三个解.

1 O
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这个问题说明:
1
复习

x
练习

有些数学问题可以借助函数的图像来解决
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一、复习填空

1

2

3

4

1.在中学数学中,画函数图象的基本方法是 描点法



2.当a>0时,
把y=f(x)的图象向左平移a个单位得到 y=f (x+a) 的图象; 把y=f(x)的图象向右平移a个单位得到 y=f (x-a) 的图象; 当b>0时, 把y=f(x)的图象向上平移b个单位得到 y=f (x)+b 的图象;

把y=f(x)的图象向下平移b个单位得到 y=f (x)-b 的图象.

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一、复习填空

1

2

3

4

3.将y=f (x)的图像作关于x轴对称得到 y=-f (x) 的图像; 将y=f (x)的图像作关于y轴对称得到 y=f (-x) 的图像; 将y=f (x)的图像作关于原点对称得到 y=-f (-x) 的图像. 4.函数y=f (x)与y=f - 1(x)的图像关于直线 y=x 对称.

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2014年4月30日4时18分

一、复习填空

1

2

3

4

5.y=| f (x)| 的图像:先保留函数 y=f (x)的图像在x轴及

x轴上方 的部分,再把x轴下方的图像作关于 x轴 对称到 x轴上方(去掉原来下方部分),得到y=|f (x)|图像.
y

y=| f (x) | f (x) y=
O x

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2014年4月30日4时18分

一、复习填空

1

2

3

4

6.y=f (|x|) 是 偶 函数,y=f (|x|)的图像关于 y轴

对称.

把 y=f (x) 的图像 位于y轴 左 侧的部分去掉,保留y轴及
y轴右侧 y=f (x)的图像,再将y轴右侧 y=f (x) 的图像作关 于 y轴 对称,得到y=f (|x|)的图像.

y= f (|x|)

y O

y= f (x)

x

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2014年4月30日4时18分

二、基础练习题

1

2

3

1.为了得到 y=2x-3-1图象,只需把 y=2x图象上所有点( A ) (A) 向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 (B) 向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 (C) 向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 (D) 向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

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2014年4月30日4时18分

二、基础练习题

1

2

3

2.函数y =x2-2|x| 的图象是( C )
y y x O 1 (B)

y
O 1

y x O 1 (D) x

O 1
(A)

x
(C)

g (x)=x2-2x

y =x2-2|x|

y =|x2-2x |

注意到x2=|x|2,∴函数y = |x|2-2|x| ,即 y=g (|x|) 的形式

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二、基础练习题

1

2

3

3.函数f (x) =|log2 x |的图象是(
y y

)
y y

O

1

x

O

1

x

O

1

x

O

1

x

(A) f (x) =| log2 x |

(B)

(C) y =log2 x

(D)

f (x) =| log2 | x | |

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2014年4月30日4时18分

三、函数图像的应用
(一)利用函数图象研究函数的性质

(二)利用函数图象解决方程与不等式问题

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2014年4月30日4时18分

(一)利用函数图象研究函数的性质
3x ? 7 的递减区间是 , x?2 10 在(-2,1]上的最小值是 3 . 1 3( x ? 2) ? 1 3 ? y ? ? 解: ∵ y x?2 x?2 1 ∴把函数 y ? 的图象向左平移2 个单位, x 1 y ? 3 ? 向上平移 3个单位可得函数 x?2 3x ? 7 y ? 即函数 的图象, 的图象. x?2 x 由图象可以看出, -2 O 1 单调递减区间是:

例1.函数 y ?

( ?? , ?2),( ?2, ??)

∴在(-2,1]上的最小值为:
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10 3
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小结

2014年4月30日4时18分

(一)利用函数图象研究函数的性质 例2.若奇函数f (x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5, 则f (x)在 区间[-7,-3]上是( )
y 5 -7 -3 O -5

(A) 增函数且最小值为-5 (B) 增函数且最大值为-5 (C) 减函数且最小值为-5
3 7 x

(D) 减函数且最大值为-5

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例2

例3

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2014年4月30日4时18分

(二)利用函数图象解决方程与不等式问题

例3.k 为何值时,方程 | 2x-1 | =k-x2 无解?有一解?有两解? 解析:问题转化为求 y =|2x-1| 与 y = k-x2的图象交点的个数. 如图所示 解:画出函数 y =|2x-1|与抛物线 y = k-x2的图象, (i)当 k < 0时,抛物线与 y =|2x-1|的图象无交点 x y =2 ∴此时原方程无解. x y y =2 -1 (ii)当 k = 0时, x y =|2x-1| 抛物线与y= | 2 -1|的图象只有一个交点, 1 ∴此时原方程有一解. (iii)当k >0时, O 1 x x y = k-x2 抛物线与 y= | 2 -1|的图象有两个交点, ∴此时原方程有两解.
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2014年4月30日4时18分

(二)利用函数图象解决方程与不等式问题

例 4. 已知函数f (x)=| log2(x+1) |,g(x) =1-x2,定义函数F (x): 当f (x)≥g(x) 时,F (x)= f (x); 当g(x) > f (x) 时,F(x)= -g(x). 则F (x) ( ) (A) 有最小值为0,无最大值
y

f (x) = | log2(x+1) | (B) 有最小值为-1,无最大值 f (x) = | log2 x |

(C) 有最大值为2,无最小值

f (x) = log2 x
-1 O 1 x

(D) 有最大值为1,无最小值

g (x) =1-x2 (x > -1) M

F(x)的图像是图中3条深蓝色曲线的组合
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2014年4月30日4时18分

四、小结: 本节主要复习了函数图像的简单变换和利用函数图像 解决一些函数、方程与不等式问题的方法.
把我们已学过的基本初等函数的图像(如一次、二次 和反比例函数,指数、对数函数的图像)进行一些简单变 换(如平移、对称和旋转变换等)可以作出一些较为复杂 的函数的图像。这是同学们要掌握的一个基本功. 利用函数图像解决一些函数、方程与不等式问题的方 法. 重点在于“以形助数”,通过“以形助数”使得复杂问题 简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.

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例3

例4

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2014年4月30日4时18分

五、作业:
提纲:1-3题 导学:P.72 4,5,9

P.82 9,10,

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检测题:

1

2

3

1.若f (x+2013)= x2-4x+5 ,则函数f (x)的值域为 . 分析:由f (x+2013)的解析式求f (x)的解析式运算量较大. 但这里我们注意到y=f (x)与y=f (x+2013)的图象仅 1 它们的值域是相同的。 仅是左右平移关系, 由f (x2 +2013)= x2-4x+5 = (x-2)2+1得值域为 [1, ??). y ). 即f (x)的的值域是 [1, ??)

O 1
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x
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2014年4月30日4时18分

检测题

1

2

3

2.把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题.若 函数 f (x) =3+log 2 x 的图象与g (x)的图象关于 x轴 对称,则 函数g (x) = -3-log2 x . (注:填上你认为可以成为真命题的一种情形,答案不唯一)

x

y

0

y=x

第3题

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例2

例3

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2014年4月30日4时18分

检测题

1

2

3

2.把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题.若 函数 f (x) =3+log 2 x 的图象与g (x)的图象关于 y轴 对称,则 函数g (x) =3+log2 (- x) . (注:填上你认为可以成为真命题的一种情形,答案不唯一)

x

y

0

y=x

第3题

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例2

例3

例4

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2014年4月30日4时18分

检测题

1

2

3

2.把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题.若 函数 f (x) =3+log 2 x 的图象与g (x)的图象关于原点对称,则 函数g (x) = -3-log2(-x) . (注:填上你认为可以成为真命题的一种情形,答案不唯一)

x

y

0

y=x

第3题

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2014年4月30日4时18分

检测题

1

2

3

2.把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题.若 函数 f (x) =3+log 2 x 的图象与g (x)的图象关于 y=x 对称,则 2x-3 函数g (x) = . (注:填上你认为可以成为真命题的一种情形,答案不唯一)

x

y

0

y=x

第3题

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例1

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2014年4月30日4时18分

检测题

1

2

3

3.若函数f (x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数, 且f (2)=0,则使得f (x)<0的x的取值范围是( D ) (A) (-∞ ,2) (C) (-∞,2)∪(2,+∞)
y

(B) (2,+∞) (D) (-2,2)

-2

O

1 2

x 作业

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2014年4月30日4时18分

谢谢!
作者: 陆集宁 Email: gynshx05@163.com

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