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导数


导数的概念及其运算
【考纲要求】
1.理解导数的意义,熟练掌握导数公式和求导法则(简单的复合函数求导); 2.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程.

【基础知识回顾】
1.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1) 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 lim →
Δx 0

f?

x0+Δx?-f?x0? ?函数在 x=x0 处的 f′(x). Δx

(2)几何意义: 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0) ?曲线 y=f(x)上点(x0, f(x0))处的切线的斜率 k. 2. 函数 f(x)的导函数 称函数 y=f′(x)为 y=f(x)的导函数,导函数有时也记作 y′(两者的关系). 3. 基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c (c 为常数) f(x)=xn (n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax (a>0) f(x)=ex f(x)=logax (a>0 且 a≠1) f(x)=ln x 4. 导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (g(x)≠0). ?g?x??′= [g?x?]2 导函数 f′(x)=__0__ f′(x)=nxn
-1

f′(x)=cos_x f′(x)=-sin_x f′(x)=axln_a f′(x)=ex 1 f′(x)= xln a f′(x)= 1 x

5. 复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 y′x=y′u· u′x,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. [难点] 曲线 y=f(x)“在点 P(x0,y0)处的切线”与“过点 P(x0,y0)的切线”的区别与联系

【课前练习】
1 1. f′(x)是函数 f(x)= x3+2x+1 的导函数, 则 f′(-1)的值为________. 3

2. 如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5) +f′(5)=______.

3. 已知 f(x)=x2+3xf′(2),则 f′(2)=________.

4. 已知点 P 在曲线 f(x)=x4-x 上,曲线在点 P 处的切线平行于 3x-y=0,则点 P 的坐标 为________. x 5.曲线 y= 在点(-1,-1)处的切线方程为____________. x+2

【典型例题】
题型一:求函数的导数(简单的复合函数求导) 例1 求下列函数的导数: 1 x (2)y=ex· ln x;

(1)f(x)=

1? 2 1 (3)y=x? ?x +x+x3?;

π? (4)y=sin2? ?2x+3?;

(5)y=ln(2x+5).

思维启迪: (1)求函数的导数,首先要搞清函数的结构;若式子能化简,可先化简再求导. (2)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,然后求导.

题型二:导数的几何意义 例2 1 4 已知曲线 y= x3+ . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3)求斜率为 1 的曲线的切线方程.

思维启迪: 求曲线的切线方程,方法是通过切点坐标,求出切线的斜率,再通过点斜式得切线方程.

课后作业:
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于 A.-1 B.-2 C.2 D.0 ( )

2. 已知 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 等于 A.e2 B.e ln 2 C. 2 D.ln 2

(

)

3. 若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为 A.4x-y-3=0 C.4x-y+3=0 B.x+4y-5=0 D.x+4y+3=0

(

)

4.曲线 y=e 1 A. 3

-2x

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为 ( 1 B. 2 2 C. 3 D.1 )

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 1 5. 若以曲线 y= x3+bx2+4x+c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数,则 3 实数 b 的取值范围为__________. π? ?π? 6. 设函数 f(x)的导数为 f′(x),且 f(x)=f′? ?2?sin x+cos x,则 f′?4?=________. f?x?+2 的图 g?x?

7. 已知函数 f(x),g(x)满足 f(5)=5,f′(5)=3,g(5)=4,g′(x)=1,则函数 y= 象在 x=5 处的切线方程为____________.

三、解答题(共 25 分) 8. (12 分)已知曲线 y=x3+x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第 三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程.

1 9 9. (13 分)已知函数 f(x)= x在 x= 处的切线为 l,直线 g(x)=kx+ 与 l 平行,求 f(x)的图象 4 4 上的点到直线 g(x)的最短距离.


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