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浙江省金华一中2015-2016学年高二上学期第一次段考数学试卷


2015-2016 学年金华一中高二上学期第一次段考 数学试题 2015.10
注:考试时间 120 分钟。 试卷总分为 150 分,请考生按规定用笔将所有试题的答案 写在答题纸上。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A,B,C 分别是 △GH

I 三边的中点)得到几何体 如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( H B I A C G 侧视 D F 图1 E F 图2 B A C B )

B

B

B

E

D

E

E A. B.

E C.

E D.

2.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是( ) A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? B.若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m D.若 l //? , m//? ,则 l //m 3.过点 P(2,3) 的圆 C : x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 的切线方程为( A. y ? 3 B. x ? 2 C. x ? 2 或 3x ? 4 y ? 6 ? 0
2 2

) D. 3x ? 4 y ? 6 ? 0

?2 x ? y ? 6 ? 0 2 2 2 4.已知实数 x, y 满足区域 ? x ? 0 ,若该区域恰好被圆 C : ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 覆 ? ?y ? 0 ? 盖,则圆 C 的方程为( )

A . x ? y ? 3x ? 6 y ? 0
2 2

B . x ? y ? 3x ? 6 y ? 0
2 2

C . x ? y ? 3x ? 6 y ? 0
2 2

D. x ? y ? 3x ? 6 y ? 0
2 2 2 2 5.圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 8 上与直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离等于 2 的点共有(



A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 P使 6. 如图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的面对角线 A 1B 上存在一点 得 AP ? D1P 取得最小值,则此最小值为 A. 2 B. ( )

6? 2 C. 2 ? 2 D. 2 ? 2 2 7.已知三棱锥 S ? ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形, SA ? 底面 ABC , ) SA ? 3 ,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为( 3 7 3 4 A. B. C. D. 4 4 4 3 8. 如图:正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为1 , E , F 分别是棱 A1B1 , CD 的中点,点 M 是 EF 的动点, FM ? x ,过点 M 、直线 AB 的平面将正方体分成上下两部分,记下面那 部分的体积为 V ( x) ,则函数 V ( x) 的大致图像是( )

y

y

1
1 2

1
1 2

y

y

1
1 2

1
1 2

D1

C1
E
M

A1

B1

x
O
2 2

x
O
2 2

x
O
2 2

x
O
2 2

2

2

2

2

D
A

F B

C

A

B

C

D

二、填空题:本大题有 7 小题,9-12 题每题 6 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分.把答案填在 答题卷的相应位置. 9. 光线从点(―1,3)射向 x 轴,经过 x 轴反射后过点(0,2) ,则入射光线所在的直线的 斜率是__________; 反射光线所在的直线方程是 10.一个简单几何体的三视图如右图所示,其中正视图是一个正三角形,俯视图 是等腰直角三角形,则该几何体的体积为 ,表面积为 . 11. 已知圆 x2 ? y 2 ? 10 , ?ABC 内接于此圆, A 点的坐标 (1,3) ,若 ?ABC 的 重 心 G ( , ) , 则 线 段 BC 的 中 点 坐 标 为

2 2 3 3

, 直 线 BC 的 方 程

为 . 12. 三棱锥 P-ABC 的四个顶点在同一球面上,若 PA⊥底面 ABC,底面 ABC 是 直角三角形,PA=2, AC=BC=1,则点 A 到面 PBC 的距离为____________;此球的 表面积为_____________。 13. 一个正方体纸盒展开如右图,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;② AB 与 CF 成 60°角;③EF 与 MN 为异面直线;④MN∥CD,其中正确的命题序号是 ____________。 14. 已知直线 2ax+by=1(其中 a,b 是实数)与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点, O 是坐标 原点,且△AOB 是直角三角形,则点 P(a,b)与点 M(0,1)之间的距离的最大值为 ______________ 15. 如右图,圆 C 与 x 轴相切于点 T (1, 0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A, B ( B 在 A 的上方) , 且 AB ? 2 . 过 点 A 任 作 一 条 直 线 与 圆 O : x2 ? y 2 ? 1 相 交 于 M , N 两 点 , 则

NB NA

?

MA MB

? _____________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 16. (本小题满分 14 分) 已知圆 C: ( x –1) 2 + ( y – 2 ) 2 = 25, 直线 l: (2m + 1)x + (m + 1)y – 7m – 4 = 0 (m ? R). (1) 求证:不论 m 取什么实数, 直线 l 恒与圆相交于两点; (2) 求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程.

17. (本小题满分 14 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1= AC= BC=2,∠ACB=90°. (1)下图给出了该直三棱柱三视图中的正视图,请据此画出它的侧视图和俯视图; (2)若 P 是 AA1 的中点,求四棱锥 B1-C1A1PC 的体积; (3)求 A1B 与平面 CB1 所成角的正切值。
C1 A1 正视图 B1 侧视图

C1

B1

2
C B

C
俯视图

2

B

A

18. (本小题满分14分)如右图,在多面体 ABCDE 中,DB⊥平面 ABC,AE∥DB,且△ABC 是边长为2的等边三角形,2AE=BD=2. (1)若 F 是线段 CD 的中点,证明:EF⊥面 DBC; (2)求二面角 E-BC-D 的大小; (3)求面 DEC 与面 ABC 所成二面角的大小。

19. (本小题满分 16 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC, AB=BC=kPA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点,OP⊥底面 ABC. (1)求证:OD∥面 PAB; (2)当 k=
1 时,求直线 PA 与 BC 所成角的 2
P D O

余弦值; (3)当 k 取何值时,O 在平面 PBC 内的射影恰好为△ PBC 的重 心?

A

C B

20. (本小题满分 16 分) 已知直线 l : 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 , 半径为 2 的圆 C 与 l 相切, 圆心 C 在

x 轴上且在直线 l 的
上方。 (1)求圆 C 的方程; (2)设过点 P(1,1) 的直线 l1 被圆 C 截得的弦长等于 2 3 ,求直线 l1 的方程; (3)过点 M (1,0) 的直线与圆 C 交于 A, B 两点( A 在 x 轴上方) ,问在 x 轴正半轴上是 否存在点 N ,使得 x 轴平分 ?ANB ?若存在,请求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由.

金华一中高二上学期第一次段考数学试题 参考答案
一选择题
题号 答案 二、 填空题 10. 1 A 2 B 3 C 4 D 5 C 6 D 7 D 8 C

9. -5, 5x-y+2=0

3 , 3 ? 7 ?1 3

11. ?

?1 1? ,? ? , y ? x ? 1 ?2 2?

12.

2 5 , 6? , 5
13. ①③ 14. 2+1 15. 2 三、解答题 16.解: (1)直线 ? 恒过定点 P(3,1)在圆 C 内-------7 分; (2) y ? 2 x ? 5 ……………………14 分 17. (本小题满分 14 分) C C1 2 1 A1 (1)解: 11 .
2 2

B1

C

…………6 分

2 侧视图

A

A1 俯视图

…………

(2)如图所示,由 B1C1⊥A1C1,B1C1⊥CC1, 则 B1C1⊥面 ACC1A1。 所以,四棱锥 B1-C1A1PC 的体积为 1 1 1 V B ?C A PC =3· B1C1· S C A PC =3· 2· [2(1+2) · 2]=2………………10 分 1 1 1 1 1 (3) 如图连接 A1B,C1B, 则由 A1C1⊥面 CB1,则 C1B 就是 A1B 与平面 CB1 所成的角。 在 Rt△A1C1B 中,A1C1=2,C1B= 2 2 2 ∴tan∠A1BC1 = 2 …………………14 分 18.解: (1)证明:取 BC 的中点 G ,连接 FG, AG

BD ? BC ? B ? AG ? 面DBC ? AG ? BC, AG ? BD AE // BD // FG, AE ? FG ? AGFE 为平行四边形,? EF // AG ? EF ? 面DBC . ————————————4 分 0 (2) 60 ————————————9 分 0 (3) 45 ——————————14 分







19.解: (1)略。----5 分。 (2)

1 ----------11 分 4
∴F 是 O 在平面 PBC 内的射影 ∵D 是 PC 的中点,

(3) 作 OF ? 平面PBC ,

若点 F 是 ?PBC 的重心, 则 B,F,D 三点共线, ∴直线 OB 在平面 PBC 内的射影为直线 BF,

? OB ? PC,? PC ? BF ,? PB ? BC ,即 k ? 1
反之,当 k ? 1 时,三棱锥 O ? PBC 为正三棱锥, ∴O 在平面 PBC 内的射影为 ?PBC 的重心--------16 分

20.解: (1)设圆心 C (a,0) ( a ? ? ) ,则

5 2

4a ? 10 5
2

? 2 ? a ? 0 或 a ? ?5 (舍)

所以圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 ………………………………3 分 (2)由题意可知圆心 C 到直线 l1 的距离为 2 ? ( 3 ) ? 1
2

若直线 l1 斜率不存在,则直线 l1 : x ? 1 ,圆心 C 到直线 l1 的距离为 1…………4 分 若 直 线 l1 斜 率 存 在 , 设 直 线 l1 : y ? 1 ? k ( x ? 1) , 即 kx ? y ? 1 ? k ? 0 , 则

1? k k 2 ?1

? 1 ? k ? 0 ,直线 l1 : y ? 1 ……………………6 分

综上直线 l1 的方程为 x ? 1 或 y ? 1 ………………………………7 分

(3)当直线 AB ? x 轴,则 x 轴平分 ?ANB 当直线 AB 斜率存在时设直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 1) , N (t ,0) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

?x 2 ? y 2 ? 4 ? (k 2 ? 1) x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 ? ? y ? k ( x ? 1) 2k 2 k2 ? 4 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 ……………………9 分 k ?1 k ?1 y1 y k ( x1 ? 1) k ( x2 ? 1) 若 x 轴平分 ?ANB ,则 k AN ? ?k BN ? ? 2 ?0? ? ?0 x1 ? t x2 ? t x1 ? t x2 ? t
2(k 2 ? 4) 2k 2 (t ? 1) ? 2 x1 x2 ? (t ? 1)(x1 ? x2 ) ? 2t ? 0 ? ? ? 2t ? 0 ? t ? 4 ………11 分 k 2 ?1 k 2 ?1 当点 N (4, 0) ,能使得 ?ANM ? ?BNM 总成立. …………16 分欢迎访问“高中试卷


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