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高二数学必修5不等式与不等关系总复习+练习


高一数学必修 5 不等式与不等关系总复习学案
一.复习
1.不等关系:参考教材 73 页的 8 个性质; 2. 一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 与相应的函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 、相 应的方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 之间的关系: 判别式
? ? b 2 ? 4ac

??0

??0

??0

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0
ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

有两相异实根

有两相等实根

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R
?

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x

1

? x ?x 2 ?

3.一元二次不等式恒成立情况小结:

?a ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )恒成立 ? ? . ?? ? 0 ?a ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )恒成立 ? ? . ?? ? 0 4. 一般地,直线 y ? kx ? b 把平面分成两个区域(如图) : y ? kx ? b 表示直线上方的平面区域; y ? kx ? b 表示直线下方的平面区域. 说明: (1) y ? kx ? b 表示直线及直线上方的平面区域; y ? kx ? b 表示直线及直线下方的平面区域.
(2)对于不含边界的区域,要将边界画成虚线. 5.基本不等式:

1

(1).如果 a, b ? R ,那么 a ? b ? 2ab .
2 2

(2).

ab ?

a?b (a ? 0, b ? 0) . 2

(当且仅当 a ? b 时取“ ? ” )

二.例题与练习
例1. 解下列不等式: (1) x ? 7 x ? 12 ? 0 ;
2

(2) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ;
2

(3) x ? 2 x ? 1 ? 0 ;
2

(4) x ? 2 x ? 2 ? 0 .
2

练习 1. (1)解不等式 (2)解不等式

2x ? 3 ? 1; x?7

x?3 x?3 ? 0 呢?) (若改为 ?0; x?7 x?7

例 2.已知关于 x 的不等式 x ? mx ? n ? 0 的解集是 {x | ?5 ? x ? 1} ,求实数 m, n 之值.
2

2

练习 2.已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | 2 ? x ? 3} 求不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解集.
2 2

? x ? 4 y ? ?3 ? 例 3.设 z ? 2 x ? y ,式中变量 x, y 满足条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,求 z 的最大值和最小值. ?x ? 1 ?

? x ? 4 y ? ?3 ? 练习 3.设 z ? 6 x ? 10 y ,式中 x, y 满足条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,求 z 的最大值和最小值. ?x ? 1 ?

例 4.若 x, y ? 0 ,且 x ? 2 y ? 1 ,求

1 1 ? 的最小值。 x y

3

三.课堂小结
1.理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系,掌握一元二次不等 式的解法; 2.掌握号一元二次不等式恒成立的问题基本原理; 3.学会用平面区域表示二元一次不等式组;掌握好简单的二元线性规划问题的解法; 解 线性规划应用题的一般步骤:①设出未知数;②列出约束条件;③建立目标函数;④求 最优解; 4.掌握好基本不等式及其应用条件;

四.课后作业
1.如果 a ? 0, b ? 0 ,那么,下列不等式中正确的是( ) (D) | a |?| b |

1 1 ? (B) ?a ? b a b 1 1 2.不等式 ? 的解集是( ) x 2 A. (??, 2) B. (2, ??)
(A) (A)

2 2 (C) a ? b

C. (0, 2) 3. 若 a、b、c ? R, a ? b ,则下列不等式成立的是(

D. (??, 0) ? (2, ??) )
2

1 1 ? . a b

(B) a 2 ? b 2 .

(C)

a b ? 2 .(D) a | c |? b | c | . c ?1 c ?1
) (D) 2 3 -2

4. 若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc=4-2 3 ,则 2a+b+c 的最小值为( (A) 3 -1 5. 不等式 (B)

3 +1

(C) 2 3 +2

1? 2x ? 0 的解集是_________ . x ?1 ?x ? y ? 3 ? 0 ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 6.已知实数 x, y 满足 ? ,则 y ? 2 x 的最大值是_________. ?x ? 0 ?y ? 0 ? 2 7.设函数 f ( x) ? lg(2 x ? 3) 的定义域为集合 M,函数 g ( x) ? 1 ? 的定义域为集 x ?1 合 N.求: (1)集合 M,N; (2)集合 M ? N , M ? N .

8. 若 x ? ?1 ,则 x 为何值时 x ?

1 有最小值,最小值为多少? x ?1
4

高一数学必修 5 不等式与不等关系专题练习
一、选择题
1. 已知 a,b,c∈R,下列命题中正确的是 A、 a ? b ? ac 2 ? bc 2 B、 ac 2 ? bc 2 ? a ? b 1 1 C、 a 3 ? b 3 ? ? D、 a 2 ? b 2 ? a ?| b | a b 2.设 a,b∈R,且 a≠b,a+b=2,则下列不等式成立的是 ( ) 2 2 2 2 a ?b a ?b A、 1 ? ab ? B、 ab ? 1 ? 2 2 2 2 2 2 a ?b a ?b ?1 C、 ab ? D、 ? ab ? 1 2 2 3.二次方程 x2 ? (a2 ? 1) x ? a ? 2 ? 0 ,有一个根比 1 大,另一个根比 ?1 小,则 a 的取值范 围是( ) A. ?3 ? a ? 1 B. ?2 ? a ? 0 C. ?1 ? a ? 0 D. 0 ? a ? 2 4.下列各函数中,最小值为 2 的是 ( ) A. y ? x ? C. y ?

1 x 2 x ?3
2

B. y ? sin x ? D. y ? x ?

1 ? , x ? (0, ) sin x 2

x ?2 5.已知函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象经过点 (?1,3) 和 (1,1) 两点,若 0 ? c ? 1 ,则 a
的取值范围是( A. (1,3) 6.不等式组 ? A. ) B. (1, 2) C. 2,3?

2 ?1 x

?

D. 1,3

? ?
( )

? y ? x ?1 ? 的区域面积是 ? y ? ?3 x ? 1 ?
B.

1 2

3 2

C.

5 2

D. 1 )

7、已知正数 x、y 满足 A.18 为

8 1 ? ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值是( x y
C.8 D.10

B.16

8.已知不等式 ax2 ? 5x ? b ? 0 的解集为 {x | ?3 ? x ? 2} ,则不等式 bx2 ? 5x ? a ? 0 的解集
1 1 A、 {x | ? ? x ? } 3 2 C、 {x | ?3 ? x ? 2} 二、填空题
9.不等式

1 1 B、 {x | x ? ? 或x ? } 3 2 D、 {x | x ? ?3或x ? 2} (

)

1 ? 2x ? 0 的解集是 x ?1
5

10.已知x>2,则y= x ?

1 的最小值是 x?2



3 11.对于任意实数x,不等式 2kx 2 ? kx ? ? 0 恒成立,则实数k的取值范围是 8

12、设 x, y 满足 x ? 4 y ? 40, 且 x, y ? R ? , 则 lg x ? lg y 的最大值是 三、解答题
13.解不等式 ? 4 ? ?



1 2 3 x ? x ? ? ?2 2 2

?x ? y ? 3 ? 0 ? 14.已知x、y满足不等式 ? x ? y ? 3 ? 0 ,求z=3x+y的最大值与最小值。 ? y ? ?1 y ?
4

3
2
1
?4 ?3 ? 2 ?1 0 ?1

1

2

3

4

x

?2

?3
?4

6

15. 已知二次函数 f (x) 的二次项系数为 a,且不等式 f ( x) ? ?2 x 的解集为(1,3). (1)若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的根,求 f (x) 的解析式; (2)若 f (x) 的最大值为正数,求 a 的取值范围.

16.某场拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为 3000 元、2000 元。甲、乙产 品都需要在 A、B 两种设备上加工,在每台 A、B 设备上加工 1 件甲设备所需工时分别 为 1h、2h,加工 1 件乙设备所需工时分别为 2h、1h,A、B 两种设备每月有效使用台时 分别为 400 h 和 500h。如何安排可使收入最大?

7

17.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为 4800m3,深 3m。如果池底每平方 米的造价为 150 元,池壁每平方米的造价为 120 元,怎样设计水池能使总造价最低?最 低总造价是多少?

8


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