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(必修5优秀课件)2.2


高 斯 的 故 事

高斯上小学时,有一次数学老 师给同学们 出了一道 题:计算从1到100的自然数之和。那个 老师认为,这些孩子算这道题目需要很长时间, 所以他一写完题目,就坐到一边看书去了。谁知, 他刚坐下,马上就有一个学生举手说:“老师, 我做完了。”老师大吃一惊,原来是班上年纪最 小的高斯。老师走到他身边,只见他在笔记本上 写着5050,老师看了,不由得暗自称赞。为了鼓 思考:现在如果要你算,你能否用简便的方法来算出 励他,老师买了一本数学书送给他。 它的值呢?

问题1
1.计算: ? 1 2 ? 3 ? ? ? 99 ? 100

100 ? (1 ? 100 ) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 99 ? 100 ? ? 5050 2
2.计算: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n

100 +99+98+ …+2 +1

n ? ( n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ? 1) ? n ? 2

n+(n-1) + (n-2) +…+

2 +1

问题2
? 如图,建筑工地上一堆圆木,从上到下每层 的数目分别为1,2,3,……,10 . 问共有多 少根圆木?请用简便的方法计算.

数列前n 项和的意义
这节课我们研究的问题是:(1)已知等差数列 { an }的首项a1,项数n,第n项an,求前n项 和Sn的计算公式;(2)对此公式进行应用。 数列{ an }: a1, a2 , a3 ,…, an ,…
我们把 a1+a2 + a3 + … + an 叫做数列{ an } 的前n项和,记作Sn

公式的推导
设等差数列{an}的前n项和为Sn,即 Sn=a1+a2+…+an =a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d] 又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] ∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an) n个 =n(a1+an)
此种求 和法称 为倒序 相加法

?

n( a1 ? an ) ? Sn ? ???? (1) 2
Sn

思考:若已知a1及公差d,结果会怎样呢?
n( n ? 1) ? na1 ? d ???( 2) 2

等差数列的前n项和公式的其它形式
?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
若a1、d是确定的,那么
A?

n(a1 ? an ) Sn ? 2
an ? a1 ? ( n ?1) d a1 ? an ? ( n ?1) d

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2 n(n ? 1) S n ? na n ? d 2
S n ? n a1 ? n(n ? 1) d 2 d d? n ? (a1 ? )n 2 2 2

分析公式的结构特征
d d , B ? a1 ? 2 2

设 上式可写成Sn=An2+Bn 若A≠0(即d≠0)时,Sn是关于n的二次式且缺常数项。

—88 604.5

? P19 第4、11题


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