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1.3.2 函数的极值与导数 (第1课时)


1.3.1 函数的极值与导数(第 1 课时)
【学习目标】



.类似地,函数 y= f ( x) 在 x=b 的函数数值 f (b) 比 ;而且 .

y

它在点 x=b 附近其它点的函数值都小, 在点 x=b 附近左侧 ,右侧 1. 了解函数极值的定义, 会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系, 增强学 生 的数形结合意识,提升思维水平; 2.掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法;了解函数在某点取得极值 的必要条件和充分条件;

学 学

2. 点 a 叫做函数 y= f ( x) 的__________, f (a ) 叫做函数 y= f ( x) 的___________.点 b 叫做函数 y= f ( x) 的__________, f (b) 叫做 函数 y= f ( x) 的___________.

a O b x

案 案

3.激情投入,培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。 【重点难点】 教学重点:导数在研究函数极值中的作用; 教学难点:求函数的极大值与极小值;

极小值点和极大值点统称为_____________,极大值和极小值统称为_____________。 3.函数的极值与导数的关系。 (1)如果 f ' ( x0 ) =0, 并且在 x0 附近的左侧 f ' ( x) >0 , 右侧 f ' ( x) <0, 那么 f( x0 )是 (2)如果 f ' ( x) =0, 并且在 x0 附近的左侧 f ' ( x) <0 , 右侧 f ' ( x) >0, 那么 f( x0 )是 【预习自测】 1.函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f′(x)的图象如图所示,则函数 f(x)( A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 ). 。 。

装 装

【今日赠言】 想要成为一名永不落后的人,必须树立终身学习、随时随地学习,向他人学习的观念;


【知识准备】 1.基本初等函数的导数公式: (1) f(x)=c ? f′(x)=________ (3) f(x)=sinx ? f′(x)=________ (5) f(x)=ax ? f′(x)=________ (7) f(x)=logax ? f′(x)=





订 订

(2) f(x)=xn(n∈Q) ? f′(x)=________ (4) f(x)=cosx ? f′(x)=________ (6) f(x)=ex ? f′(x)=________ (8) f(x)=lnx ? f′(x)=________ ;

C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 2.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导数 f′(x)在(a,b)内的 图像如图所示, 则函数 f(x)在开区间(a, b)内极小值有 个

线 线

2.在某个区间 ( a , b) 内,如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 【预习导学】根据课本中知识填空

【我的疑惑】


【合作探究】 探究一 求函数 f ( x) ?
1 3 x ? 4 x ? 4 的极值。 3
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1.以 a,b,两点为例,我们可以发现,函数 y= f ( x) 在 x=a 的函数数值 f (a ) 比它在点 x=a 附近其它点的函数值都小,
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;而且在点 x=a 附近左侧

,右

【使用说明和学法指导】1.依据导学案,认真阅读教材选修 2-2P26-P29 的基础知识;思考并自主探究问题,深化对教材内容的理解,找出自己的疑惑和需要讨论的问题,用红笔做好标记。 2.通过预习,A、B 层同学能够全部掌握基本知识并能应用,完成学案中所有题目,C 层同学注重理解性质,可以尝试完成拓展提升题目.

注意:分两种情况讨论 ①当 f ' ( x) >0,即 x>2,或<-2 时;②当 f ' ( x) <0,即-2<x<2 时。

【规律总结】 【知识网络】

【规律总结】 探究二 下图是导函数 y ? f ' ( x) 的图象,试在右边区域画出原函数的图像,并找出函数 y=f(x)的 极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点。 【当堂检测】 根据导数对函数的单调性的影响以及在求函数极值中的应用,试求函数 y=x4-4x3+5 的 极值.

y x2 x3 a x1 O x4 x5

x6

b

x
【我的收获】

极大值点 【规律总结】 【拓展提升】

,极小值点









x2 1.已知函数 y= ,当 x=________时取得极大值________;当 x=________时取得极 x-1 小值________. 2.设方程 x3-3x=k 有 3 个不等的实根,试求常数 k 的取值范围.

3 求函数的极值.f(x)= x+3ln x;
[思路探索] 求出 f′(x)和使 f′(x)=0 成立的点, 再结合定义域研究这些点附近左右两侧的单调性, 进而判 断极值.

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