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几何概型的常见题型及典例分析


几何概型的常见题型及典例分析 一.几何概型的定义 1.定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或 体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.特点: (1)无限性,即一次试验中,所有可能出现的结果(基本事件)有无限 多个; (2)等可能性,即每个基本事件发生的可能性均相等. 3. 计算公式:P( A) ?
构成事件A的区域长度(面积或体 积) . 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

说明:用几何概率公式计算概率时,关键是构造出随机事件所对应 的几何图形,并对几何图形进行度量. 4.古典概型和几何概型的区别和联系: (1)联系:每个基本事件发生的都是等可能的. (2)区别:①古典概型的基本事件是有限的,几何概型的基本事件是无 限的; ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 二.常见题型 (一)、与长度有关的几何概型 例 1、在区间 [ ?1,1] 上随机取一个数 x , cos 率为( A.
1 3

?x
2 2 3

的值介于 0 到

1 之间的概 2

). B.
2

?

C.

1 2

D.

分析:在区间 [ ?1,1] 上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是 区间 [ ?1,1] 的任意一个数,基本事件是无限多个,而且每一个基本事件的 发生都是等可能的,因此事件的发生的概率只与自变量 x 的取值范围的
1

区间长度有关,符合几何概型的条件. 解: 在区间 [ ?1,1] 上随机取一个数 x ,即 x ?[?1,1] 时,要使 cos
1 ? ?x ? ? ?x ? ?? 或 ? ? 0 到 之间,需使 ? ? 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 ∴ ?1 ? x ? ? 或 ? x ? 1 ,区间长度为 , 3 3 3 ?x 1 由几何概型知使 cos 的值介于 0 到 之间的概率为 2 2

?x 的值介于 2

2 符合条件的区间长度 1 P? ? 3 ? . 所有结果构成的区间长 度 2 3

故选 A.

例 2、 如图,A,B 两盏路灯之间长度是 30 米,由于光线较暗,想在其间 再随意安装两盏路灯 C,D,问 A 与 C,B 与 D 之间的距离都不小于 10 米的 概率是多少?

思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件,基本事件有无限 多个,但在每一处安装的可能性相等,故是几何概型. 解 记 E:“A 与 C,B 与 D 之间的距离都不小于 10 米”,把 AB 三 1 等分,由于中间长度为 30? =10 米, 3 10 1 ? . ∴ P( E ) ? 30 3 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地 取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生 则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型 就可以用几何概型来求解. 例 3、在半径为 R 的圆内画平行弦,如果这些弦与垂直于弦的直径的交 点在该直径上的位置是等可能的, 求任意画的弦的长度不小于 R 的概率。 思考方法:由平面几何知识可知,垂直于弦的直径平分这条弦,所以, 题中的等可能参数是平行弦的中点, 它等可能 M M E F F 地分布在于平行弦垂直的直径上 (如图 1-1) 。 E K K 也就是说, 样本空间所对应的区域 G 是一维空 O O 间(即直线)上的线段 MN,而有利场合所对 K1 F1 应的区域 GA 是长度不小于 R 的平行弦的中点 K E1 N N 所在的区间。 图1-2 图1-1 [解法 1].设 EF 与 E1F1 是长度等于 R 的两条弦,
2

直径 MN 垂直于 EF 和 E1F1, 与他们分别相交于 K 和 K1(图 1-2)。 依题设条 件,样本空间所对应的区域是直径 MN,有 L(G)=MN=2R,注意到弦的长度 与弦心距之间的关系比,则有利场合所对对应的区域是 KK1,有
?R? L(GK ) ? KK1 ? 2OK ? 2 R 2 ? ? ? ? 3R ?2?
2

以几何概率公式得 P ?

L(GA ) 3R 3 。 ? ? L(G) 2R 2

[解法 2].如图 1-1 所示,设园 O 的半径为 R, EF 为诸平行弦中的任意一 条, 直径 MN ? 弦 EF, 它们的交点为 K, 则点 K 就是弦 EF 的中点。 设 OK=x, 则 x ? [-R,R], 所以 L(G)=2R 设事件 A 为“任意画的弦的长度不小于 R ”,则 A 的有利场合是

2 R2 ? X 2 ? R ,
解不等式,得 x ?
3 R 2

所以 L(GA ) ? 2

3 R ? 3R 2

于是

P( A) ?

3R 3 ? 2R 2

[评注] 本题结构比较简单, 题中直接给出了等可能值参数; 样本空间和 有利场合所对应的区域,从图上都可以直接看出。两种解法各有特色, 解法 1 充分利用平面几何知识,在本题似较简便,解法 2 引进变量 x 把 代数知识和几何知识有机的结合起来,从表面上看解题过程不甚简便, 但确具有推广价值,这种方法可以求解复杂的几何概率问题。 例 4、 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M, 并以线段 AM 为边作正方形, 2 2 求这个正方形的面积介于 36cm 与 81cm 之间的概率. 分析:正方形的面积只与边长有关,因此,此题可以转化为在 12cm 长的 线段 AB 上任取一点 M,求使得 AM 的长度介于 6cm 与 9cm 之间的概率. 解:记“面积介于 36cm2 与 81cm2 之间”为事件 A,事件 A 的概率等价于 9?6 1 “长度介于 6cm 与 9cm 之间”的概率,所以,P(A)= = 4 12 小结: 解答本例的关键是, 将正方形的面积问题先转化为与边长的关系。 练习: 2、已知地铁列车每 10 min 一班,在车站停 1 min,则乘客到达站台立 即乘上车的概率是( )

3

A.

1 10

B.

1 9

C.

1 11

D.

1 8

解析:设乘客到达站台立即乘上车为事件 A,试验的所有结果构成的区 域长度为 10 min,而构成事件 A 的区域长度为 1 min,故 P(A)= 案:A 3、已知集合 A{x|-1<x<5},B={x| 1 .答 10

x-2 >0},在集合 A 中任取一个元素 3-x

x ,则事件“x∈A∩B”的概率是________. 解析:由题意得 A={x|-1<x<5},B={x|2<x<3},由几何概型知:
1 1 在集合 A 中任取一个元素 x,则 x∈A∩B 的概率为 P= .答案: 6 6 4、 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出 考察,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求 小赵等车时间不多于 10 分钟的概率. 分析:因为客车每小时一班,而小赵在 0~60 分钟 之间任何一个时刻到车站等车是等可能的 , 所以 他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的 长度有关 , 而与该时间段的位置无关 , 这符合几何 概型的条件,且属于几何概型中的长度类型. 解析:设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的事件 A 恰好是到 站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,而事件的总体是整个一小时, 60 ? 50 1 即 60 分钟,因此,由几何概型的概率公式,得 P(A)= = ,即此 60 6 1 人等车时间不多于 10 分钟的概率为 . 6 (二)、与面积有关的几何概型
O 为 AB 的中点, 例 1、ABCD 为长方形,AB ? 2, BC ? 1 , 在长方形 ABCD

内随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( A.



? 4

B. 1 ?

? 4

C.

? 8

D. 1 ?

? 8

分析: 由于是随机的取点, 点落在长方形内每一个点的机会是等可能的, 基本事件是无限多个,所以符合几何概型. 解: 长方形面积为 2,以 O 为圆心,1 为半径作圆,在矩形内部的部分(半 D
4A

C O
B

图1

圆)面积为

? ? ,因此取到的点到 O 的距离大于 1 的面积为 2 ? ,则取到 2 2

的点到 O 的距离大于 1 的概率为

P( A) ?
故选 B.

取到的点到O的距离大于 1的面积 ? 长方形ABCD的面积

2?

2 ? 1? ? . 2 4

?

例 2、 如图,射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的 分环.从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红 色,靶心为金色.金色靶心叫“黄心”.奥运 会的比赛靶面直径为 122 cm,靶心直径为 12.2 cm.运动员在 70 m 外射箭.假设运动员射的箭 都能中靶, 且射中靶面内任一点都是等可能的, 那么射中黄心的概率为多少? 思路点拨 此为几何概型, 只与面积有关. 解 记“射中黄心”为事件 B, 由于中靶点随机地落在面积为 1 1 ? ? ? 1222 cm 2 的大圆内,而当中靶点落在面积为 ? ? ? 12.2 2 cm 2 的黄 4 4 心 时 , 事 件 B 发 生 , 于 是 事 件 B 发 生 的 概 率 为 1 ? ? ? 12.2 2 cm 2 P( B) ? 4 ? 0.01. 1 2 2 ? ? ? 122 cm 4 即:“射中黄心”的概率是 0.01. 方法技巧 事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积;总面积 为最大环的圆面积. 例 3、 在平面直角坐标系 xoy 中, 设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大 于 2 的点构成的区域, E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域, 向D 中随意投一点,则落入 E 中的概率为 。

解析:如图:区域 D 表示边长为 4 的正方形 ABCD 的内部(含边界),而 区域 E 表示单位圆及其内部,因此 P ?

? ?12
4? 4

?

?
16

。 答案

? 16

点评:本小题中的试验结果是区域中的部分点集,其结果是不可数的, 属于几何概型中典型的面积之比。
5

例 4、在三角形 ABC 中任取一点 P,证明:△ABP C n ?1 1 与△ABC 的面积之比大于 的概率为 2 。 n n P H E F 思考方法 本题的随机点是 ?ABP 的顶点 P, 它等可 能的分布在 ?ABC 中,因此,与样本空间对应的平 面区域是 ?ABC ,注意到 ?ABP 于 ?ABC 有公共边 A B G D AB,所以的面积决定于顶点 P 离底边 AB 的距离。 图2 这样不难确定与有利场合相对应的平面区域。 n ?1 解 设 ?ABP 与 ?ABC 的面积之比为 , ?ABC 的高 CD 为 h, ?ABP 的 n
1 高 PG 为 h1,公共底边 AB 的长为 c,(图 2)则 S? ABP ? 2 ch1 ? h1 ? n ? 1 S?ABC 1 ch 2 h n

h1 ?

n ?1 h n

过点 P 作 EF//AB,交 CD 于 H,则有立场合所对应的平面区域为 ?CEF .于 是所求概率为 P ?
S?EFC S?ABC

注 意 到 EF//AB , ?EFC ~ ?ABC , 且
s?EFC S?ABC ?h? ? ? 1 n ? ? 2? ? 2 h n
2

CH=h -h1 = h-

n ?1 1 h= h , n n

?p?

由此,原题得证。 评注 本题的样本空间虽然与平面区域相对应,但因三角形 ABC 于三角 形 ABP 有公共底边 AB,所以,实际变化着的量只有一个(即点 P 于 AB 的 距离),问题还比较简单,对于较复杂的平面区域,常常要根据题设选定 两个变量,由各自的约束条件确定样本空间于有立场合的相应区域。 例 5、将长为 L 的木棒随机的折成 3 段,求 3 段构成三角形的概率. 解:设 M ? “3 段构成三角形”. x, y 分别 表示其中两段的长度,则第三段的长度为
L?x? y



? ? ?( x,y )|0 ? x ? L, 0 ? y ? L, 0 ? x ? y ? L? .

6

, L? x ? y 由 题 意 , x, y 要构成三角形,须有 x? y ? L? x? y ,即
x? y ? 1 ; 2
L L ; y ? ( L ? x ? y) ? x ,即 x ? . 2 2

x ? ( L ? x ? y) ? y ,即 y ?

L L L? ? 故 M ? ?( x,y) | x ? y ? ,y ? ,x ? ? . 2 2 2? ?

如 图

1

所 示 , 可 知 所 求 概 率 为
2

1 ?L? · ? M 的面积 2 ? 1 2? ? P( M ) ? ? ? . 2 L ?的面积 4 2

例 6、已知函数 f(x)=-x2+ax-b.若 a、b 都是 从区间[0,4]任取的一个数, 则 f(1)>0 成立的概 率是________. 解析:f(1)=-1+a-b>0,即 a-b>1,如图: 9 2 9 S△ABC 9 A(1,0),B(4,0),C(4,3),S△ABC= ,P= = = . 2 S矩 4?4 32 9 答案: 32 练习 1、ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点.在长方形 ABCD 内随 机 取 一 点 , 取 到 的 点 到 O 的 距 离 大 于 1 的 概 率 为 ( π A. 4 ) B.1- π 4 C. π 8 D.1- π 8

解析: 对应长方形的面积为 2?1=2, 而取到的点到 O 的距离小于等于 1 1 时,其是以 O 为圆心,半径为 1 所作的半圆,对应的面积为 ?π ?12 2 1 π 2 1 π = π ,那么满足条件的概率为:1- =1- .答案:B 2 2 4
7

2、设-1≤a≤1,-1≤b≤1,则关于 x 的方程 x2+ax+b2=0 有实根的 概率是 A. 1 2 ( ) B. 1 4 C. 1 8 D. 1 16

解 析 : 由 题 知 该 方 程 有 实 根 满 足 条 件

?-1≤a≤1, ?-1≤b≤1, ?a -4b ≥0,
2 2

作平面区域如右图:由图知阴影面

积为 1,总的事件对应面积为正方形的面积, 1 故概率为 .答案:B 4 3、已知 Ω ={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,

x-2y≥0},若向区域 Ω 上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率
为 A. 1 3 B. 2 3 ( ) C. 1 9 D. 2 9

解析:作出两集合表示的平面区域如图所示.容易得出 Ω 所表示的平面区域为三角形 AOB 及其边界,A 表示的 区域为三角形 OCD 及其边界. 容易求得 D(4,2)恰为直线 x=4,x-2y=0,x+y=6 三线的交点. 1 1 则可得 S△AOB= ?6?6=18,S△OCD= ?4?2=4.所以点 P 落在区域 A 的 2 2 4 2 概率为 = .答案:D 18 9
?x ? y ? 2 ? 0 ? ? 4、在区域 ? x ? y ? 2 ? 0 内任取一点 P, ?y ? 0 ? ?
8

则点 P 落在单位圆 x2+y2=1 内的概率为( A. π 2 B. π 8 C. π 6

) D. π 4

解析:区域为△ABC 内部(含边界),则概率为

P=

S半圆 = S△ABC 1
2

π 2 ?2 2? 2



π .答案:D 4

5、在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P,则使点 P 到三个顶点的距 离至少有一个小于 1 的概率是________. 解析:以 A、B、C 为圆心,以 1 为半径作圆,与△ABC 相交出三个扇形(如图所示),当 P 落在阴影部分时符 合要求. 1 π 3?( ? ?12) 2 3 3 ?22 4 3π 3 .答案: π 6 6

∴P=



1 6、在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则函数 f(x)= x3+ax-b 在区 2 间[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为________. 3 解析:f′(x)= x2+a,故 f(x)在 x∈[-1,1]上单调递增,又因为函数 2 1 f(x)= x3+ax-b 在[-1,1]上有且仅有一个零点, 即有 f(-1)?f(1)<0 2 1 1 1 1 成立,即(- -a-b)( +a-b)<0,则( +a+b)( +a-b)>0,可化为 2 2 2 2

?0≤b≤1 ?1 ?2+a-b>0 ?1+a+b>0 ?2
0≤a≤1

?0≤b≤1 ?1 或? +a-b<0, 2 ?1+a+b<0 ?2
0≤a≤1

由线性规划知识在平

9

面直角坐标系 aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域,再由几何概 1 型可以知道,函数 f(x)= x3+ax-b 在[-1,1]上有且仅有一个零点的 2 概率为可行域的面积除以直线 a=0,a=1,b=0,b=1 围成的正方形的 7 7 面积,计算可得面积之比为 。答案: 8 8 2 2 7、已知函数 f(x)=x -2ax+b ,a,b∈R. (1)若 a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b 从集合{0,1,2}中任取一个 元素,求方程 f(x)=0 有两个不相等实根的概率; (2)若 a 从区间[0,2]中任取一个数,b 从区间[0,3]中任取一个数,求方 程 f(x)=0 没有实根的概率. 解:(1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b 取集合{0,1,2}中任一个 元素, ∴a,b 的取值的情况有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2), (2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2). 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值,即基本事件总数 为 12. 设“方程 f(x)=0 有两个不相等的实根”为事件 A, 当 a≥0,b≥0 时,方程 f(x)=0 有两个不相等实根的充要条件为 a>b. 当 a>b 时,a,b 取值的情况有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1), (3,2),即 A 包含的基本事件数为 6, ∴方程 f(x)=0 有两个不相等实根的概率 P(A)= 6 1 = . 12 2

(2)∵a 从区间[0,2]中任取一个数,b 从区间[0,3]中任取一个数,则试 验的全部结果构成区域 Ω ={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3},这是一个矩形 区域,其面积 SΩ =2?3=6. 设“方程 f(x)=0 没有实根”为事件 B, 则事件 B 所构成的 区域为 M={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3,a<b},

10

1 即图中阴影部分的梯形,其面积 SM=6- ?2?2=4. 2 由几何概型的概率计算公式可得方程 f(x)=0 没有实根的概率

SM 4 2 P(B)= = = . SΩ 6 3
(三)、与角度有关的几何概型
B

O C N
A

例 1、 在圆心角为 90°的扇形中, 以圆心为起点做射线 OC , M 求使得 ?AOC 和 ?BOC 都不小于 30°的概率? 分析: 此题关键是搞清过 O 作射线 OC 可以在扇形的任意位 置,而且是等可能的,因此基本事件的发生是等可能的. 解:记事件 A 是“做射线 OC ,使得 ?AOC 和 ?BOC 都不小于 30°”,
?AON ? ?BOM ? ?MON ? 300 ,则符合条件的射线 OC 应落在扇形
MON 中,所以 P( A) ?

图2

?MON的度数 300 1 ? ? . ?AOB的度数 900 3

例 2、如图所示,在等腰直角 ABC 中,过直角顶点 C 在 ?ACB 内部做 一条射线 CM ,与线段 AB 交于点 M ,求 C AM ? AC 的概率。 ? A时C , 有 分 析 : 当 A M ?A C M ? ? ,故欲使 A M CAM ? AC ,应 有 ?ACM ? ?AMC , 即所作的射线应落在 A M D B ?ACM ? ?AMC 时 ?ACM 的内部。 解析:在 AB 上取 AD ? AC ,连接 CD ,则 1800 ? 450 ?ACD ? ? 67.50 ,记“在内部作一条射线 CM ,与线段 AB 交 2 67.50 3 M AM ? AC ? ,所以,所求概率 于点 , ”为事件 A,则 P( A) ? 900 4 3 为 。 4 点评:本题所求事件的本质是在 ?ACB 内部做一条射线 CM ,所构成的 区域是一个“角”域,故应属于几何概型中的角度之比类型;本题极易 易犯的错误是,用长度的比得出

2 ?1 2 这一错误结果。 ? 1? 2 2
11

例 3 、在等腰 Rt △ ABC 中, C=900 ,在直角边 BC 上任取一点 M ,求
?CAM ? 300 的概率(答案:

3 ) 3

(四)、与体积有关的几何概型 例 1、在 5 升水中有一个病毒,现从中随机地取出 1 升水,含有病毒的 概率是多大? 分析:病毒在这 5 升水中的分布可以看作是随机的,取得的 1 升水可以 看作构成事件的区域,5 升水可以看作是试验的所有结果构成的区 域,因此可以用体积比公式计算其概率. 解:“取出 1 升水,其中含有病毒”这一事件记作事件 A, 则 P( A) ?
取出的水的体积 1 . ? ? 0.2. 所有水的体积 5

从而所求的概率为 0.2. 例 2、任取三条不大于 a 的线段,求这三条线段能够成一个三角形的概 率。 思考方法 题设的三条线段互不相干,所以可设置三个独立变量。注意 到三条线段构成三角形的充要条件,可推得有立场合的约束条件。由此 原题可以解出。 解 设三条线段的长分别为 x、y、z,则样本空间是
?0 ? x ? a ? ? 0 ? y ? a (1) ?0 ? z ? a ?

有三条线段构成三角形的条件可知,其中的任意两条之和比大于第三条
?x ? y ? z ? 线段,于是,有利场合的可能情形是 ? y ? z ? x (2) ?z ? x ? y ?

z

把条件(1)、(2)所限制的区域,在空间直角坐标 系中表示出来,有如图 2-3 所示。 其中(1)所对应的区域 G 是正方体 OA4,(2)所对应 的区域 GA 是六面体 OA1A2A3A4,且有
x

A3 A2 O A1
图2-3

A4

y

12

L ?G ? ? a3 1 3 a 2 1 a 1 1 3 3 2 L ? GA ? ? a -3 ? ? ? a= a ? p= 3 = 3 2 2 a 2

例 3、在区间[0,l]上任取三个实数 x.y.z,事件 A={(x,y,z)| x2+y2+z2< 1, x≥0,y≥0,z≥0} (1)构造出随机事件 A 对应的几何图形; (2)利用该图形求事件 A 的概率. 思路点拨: 在空间直角坐标系下, 要明确 x2+y2+z2<1 表示的几何图形是以原点为球心, 半径 r=1 的球的内部. 事 件 A 对应的几何图形所在位置是随机的, 所以事件 A 的概 率只与事件 A 对应的几何图形的体积有关, 这符合几何概 型的条件. 解:(1)A={(x,y,z)| x2+y2+z2<1, x≥0,y≥0,z≥0}表示空间直角坐标 系中以原点为球心, 半径 r=1 的球的内部部分中 x≥0,y≥0,z≥0 的部分, 如图所示. (2)由于 x,y,z 属于区间[0,1], 当 x=y=z=1 时, 为正方体的一个顶 点,事件 A 为球在正方体内的部分. 1 4 ? ? ? 13 ? 8 3 ∴ P( A) ? ? . 3 6 1 方法技巧:本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型,关键 要明白点 P(x,y,z)的集合所表示的图形.从本例可以看出求试验为几何 概型的概率,关键是求得事件所占区域和整个区域 ? 的几何度量,然后 代入公式即可解,另外要适当选择观察角度. (五)、会面问题中的概率 例 1、 某码头接到通知,甲、乙两艘外轮都会在某天 9 点到 10 点之间 的某一时刻到达该码头的同一个泊位,早到的外轮要在该泊位停靠 20 分钟办理完手续后才离开,求两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等 待的概率。 解析:设事件 A 表示两艘外轮至少有一艘在停 靠泊位时必须等待, 两艘外轮到的时间分别为 9 y 点到 10 点之间的 x 分、y 分,则|x-y|≤20,0
A 60 D

20 C -20 B -20
20

13
60 x

? ??20 ? x ? y ? 20? ? ? ? ≤x,y≤60,即 A ? ?( x,y) | ?0 ? x ? 60 ? ,以 9 点为原点,建立平 ? ?0 ? y ? 60 ? ? ? ?

面直角坐标系如图所示,事件 A 所对应的区域如图中阴影区域所示: 所以,其概率 P(A)=阴影面积/ABCD 面积=5/9。 小结:“会面”类型常见的载体是两人相约见面、轮船停靠泊位等,其 关键是构建相遇的不等式(组),借助于线性规划知识,将其面积之比 求出,使得问题得以解决。 例 2、两人约定在 20:00 到 21:00 之间相见,并且先到者必须等迟到 者 40 分钟方可离去,如果两人出发是各自独立的,在 20:00 到 21:00 各时刻相见的可能性是相等的,求两人在约定时间内相见的概率. 2 思路点拨 两人不论谁先到都要等迟到者 40 分钟, 即 小时. 设两 3 人分别于 x 时和 y 时到达约见地点, 要使两人在约定的时间范围内相见, 2 2 当且仅当- ≤x-y≤ ,因此转化成面积问题,利用几何概型求解. 3 3 解 设两人分别于 x 时和 y 时到达约见地点,要使两人能在约定时 间范围内相见, 2 2 当且仅当- ≤x-y≤ . 3 3 两人到达约见地点所有时刻 (x,y) 的各种可能结果 可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示,两人 能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x,y)的各种可 能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示. 因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范 围内相遇的可能性的大小,也就是所求的概率为
P? S阴影 S 单位正方形 1 1 ? ( )2 3 ?8. ? 2 9 1

方法技巧 会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概 型. 难点是把两个时间分别用 x,y 两个坐标表示, 构成平面内的点(x,y), 从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题,转化成面 积型几何概型问题. (六)、与线性规划有关的几何概型 例 1、小明家的晚报在下午 5:30~6:30 之间的任何一个时间随机地被

14

送到,小明一家在下午 6:00~7:00 之间的任何一个时间随机地开始晚 餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少? 分析:该题题意明确,但如何转化为数学模型需要从实际问题中分析出 存在的两个变量 . 由于晚报送到和晚饭 开始都是随机的,设晚报送到和晚饭开 始的时间分别为 x、 y ,然后把这两个变 量所满足的条件写成集合的形式,把问 题转化为线性规划问题进行求解. 解:设晚报送到和晚饭开始的时间分别
(x,y) 为 x、 y . 用 表示每次试验的结

果 , 则 所 有 可 能 结 果 为 :

??? ( x, y) 5 : 30 ? x ? 6 : 30,6 ? y ? 7?,
即为图 3 中正方形 ABCD 的面积;记晚报在晚餐开始之前被送到为事件
A ,则事件 A 的结果为: A ? ( x, y) 5 : 30 ? x ? 6 : 30,6 ? y ? 7, x ? y ,即

?

?

为图 2 中阴影部分区域.

1 1 1 7 S ABCD ? 1?1 ? 1, S阴影 ? 1 ? ? ? ? . 2 2 2 8

所以所求概率为: P ?

S阴影 S ABCD

7 7 ? 8 ? . 1 8
7 . 8

故晚报在晚餐开始之前被送到的概率是

反思:此类问题常会涉及两个随机变量的相互关系,其求解的步骤为: (1)找设变量.从问题中找出两个随机变量,设为 x, y ; (2)集合表示.用 ( x, y ) 表示每次试验结果,则可用相应的集合分别表示 出全部结果 ? 和事件 A 所包含的试验结果.一般来说,两个集合都 是几个二元一次不等式的交集.
15

(3)作出区域.把上面的集合所表示的平面区域作出,并求出集合 ?, A 对应的区域的面积. (4)计算求解.由几何概型公式求出概率. (七)、与定积分有关的几何概型 例 1、在区间 [ ?1,1] 上任取两数 a、 b ,求二次方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两根 都是实根的概率. 分析:可用 ( a, b) 表示试验结果.求出所有可能结果的面积和方程有实根 的结果的面积,再利用几何概型来解答. 解 : 用 ( a, b) 表 示 每 次 试 验 结 果 , 则 所 有 可 能 结 果 为 :

??? (a, b) ? 1 ? a ? 1,?1 ? b ? 1?,即为图 3 中正
方 形 A B C D的 面 积 ; 由 方 程 有 实 根 得 :
? ? a ? 4b ? 0 ,则方程有实根的可能结果为
2

b
D D ?1 A

1

O

C 1 C b ? a2 4 a 1

图4 图 4 中阴影部分区域.阴影部分面积可用定积 算 A 分 来 计图 5. 所 以 B 1 1 1 1 13 ?2? , S A B C D? 2 ? 2 ? 4 , S阴影 ? ? a 2 da ? 1 ? 2 ? a 3 1 ?1 ? 2 ? ?1 4 12 6 6
所 以
S阴影 S ABCD

即为 A ? (a, b) a 2 ? 4b ? 0,?1 ? a ? 1,?1 ? b ? 1 ,

?

?

M ?1 B













P?

13 13 ? 6 ? ? 0.5417. 4 24

(八)、与随机模拟有关的几何概型 例 1、如图 5,面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M ,可 按下面方法估计 M 的面积:在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点, m 若 n 个点中有 m 个点落入 M 中, 则 M 的面积的估计值为 S , 假设正方 n 形 ABCD 的边长为 2, M 的面积为 1,并向正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点,以 X 表示落入 M 中的点的数目.
16

(I)求 X 的均值 EX ; (II)求用以上方法估计 M 的面积时, M 的面积的估计值与实际值
????) 内的概率. 之差在区间 (?0.03,
t 附表: P(k ) ? ? C10000 ? 0.25t ? 0.7510000?t t ?0 k

k

2424

2425 0.0423

2574 0.9570

2575 0.9590

P(k )

0.0403

分析:本题从表面来看似乎与几何概型无关,其实它是一个几何概型的 逆向问题与 n 次独立重复实验的综合题,而且本题有别于常规的面积型 概率计算,设计新颖,通过随机模拟来求不规则图形的面积。 解:每个点落入 M 中的概率均为 P?
1? ? X ~ B ?10000, ? . 4? ?

S M的面积 S ABCD

?

1 .依题意知 4

(Ⅰ) EX ? 10000 ?

1 ? 2500 . 4

X ? ? (Ⅱ)依题意所求概率为 P ? ?0.03 ? ? 4 ? 1 ? 0.03 ? , 10000 ? ? X ? ? P ? ?0.03 ? ? 4 ? 1 ? 0.03 ? ? P(2425 ? X ? 2575) 10000 ? ? ?
2574

t ? 2426 2574

?C

t 10000

? 0.25t ? 0.7510000?t
t ? ? C10000 ? 0.25t ? 0.7510000?1 t ?0 2425

?

t ? 2426

?C

t 10000

? 0.25 ? 0.75
t

10000 ?t

? 0.9570 ? 0.0423 ? 0.9147 . 例 2、利用随机模拟方法计算图中阴影部分(由曲线 y= 2x 与 x 轴、x=±1 围成的部分)面积. 思路点拨 不规则图形的面积 可用随机模拟法计算. 解 (1) 利 用计 算 机 产生 两 组
17

[0,1]上的随机数,a1=rand( ),b1=rand( ). (2)进行平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=b1*2,得到一组[0,2] 上的均匀随机数. (3)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1. (4)计算频率
N1 N ,则 1 即为落在阴影部分的概率的近似值. N N
S 4

(5)利用几何概型公式得出点落在阴影部分的概率 P ? (6)因为
N1 S 4 N1 = ,所以 S= 即为阴影部分的面积. N 4 N

方法技巧 根据几何概型计算公式, 概率等于面积之比, 如果概率用 频率近似在不规则图形外套上一个规则图形,则不规则图形的面积近似 等于规则图形面积乘以频率.而频率可以通过随机模拟的方法得到,从 而求得不规则图形面积的近似值. (九)、生活中的几何概型 例 1、 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一 班,求此人等车时间不多于 10 分钟的概率. 分析:假设他在 0~60 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的, 但在 0 到 60 分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事 件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因 为客车每小时一班,他在 0 到 60 分钟之间任何一个时刻到站等车是等可 能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而 与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件. 解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的事件 A 恰好是到站 等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式 ,得 60 ? 50 1 1 P(A)= = ,即此人等车时间不多于 10 分钟的概率为 . 60 6 6 例 2、某公共汽车站每隔 15 分钟有一辆汽车到达,乘客到达车站的时刻 是任意的,求一个乘客到达车站后候车时间大于 10 分钟的概率? 分析:把时刻抽象为点,时间抽象为线段,故可以用几何概型求解。 解:设上辆车于时刻 T1 到达,而下一辆车于时刻 T2 到达,线段 T1T2 的长度为 15,设 T 是 T1T2 上的点,且 T1T=5,T2T=10,如图所示:

T1

T

T2
18

记候车时间大于 10 分钟为事件 A, 则当乘客到达车站的时刻落在线段 T1T

上时,事件发生,区域 D 的测度为 15,区域 d 的测度为 5。 所以

P( A) ?

d 的测度 5 1 ? ? D 的测度 15 3

答:侯车时间大于 10 分钟的概率是 1/3. 例 3、假设题设条件不变,求候车时间不超过 10 分钟的概率. 分析:

T1
P( A) ?

T
d 的测度 10 2 ? ? D 的测度 15 3

T2

例 4、某公共汽车站每隔 15 分钟有一辆汽车到达,并且出发前在车站停 靠 3 分钟。乘客到达车站的时刻是任意的,求一个乘客到达车站后候车 时间大于 10 分钟的概率? 分析:设上辆车于时刻 T1 到达,而下一辆车于时刻 T0 到达,T2 时刻出发。 线段 T1T2 的长度为 15, 设 T 是 T1T2 上的点, 且 T0T2=3, TT0=10, 如图所示:

T1
P( A) ?

T
d 的测度 2 ? D 的测度 15

T0

T2

记候车时间大于 10 分钟为事件 A, 则当乘客到达车站的时刻落在线段 T1T 上时,事件 A 发生,区域 D 的测度为 15,区域 d 的测度为 15-3-10=2。 所以

例 5、平面上画有一组平行线,其间隔交替为 1.5cm 和 10cm,任意地往 平面上投一半径为 2cm 的圆,求此圆不与平行线相交的概率。 [思考方法] 本题的难处,在于题中没有直接指明等可能值参数,为此, 需发掘“任意的往平面上投一直径为 2cm 的圆”之真实含义,找出具有 某种等可能的随机点。注意到定半径的圆的位置决定于圆心,可以取圆 心作随机点,由于平行线可以向两端无限延伸,而往平面上投圆又是任 意的,所以只要取这组平行线的某一条垂线就可以了;考虑到题设平行
19

线的间隔交替的为 1.5cm 和 10cm,则研究相邻三条平行线之间情况就可 以反映问题的全貌。经上面的分析,我们可以取圆心为随机点,它等可 能地分布在相邻三条平行线的某一垂线上(如图 1-3)由此原题不难解 出。 [解] 设 L1、L2、L3 是三条相邻的平行线,EPF 是它 E L1 们之间的垂线(图 1-3),则样本空间所对的区 P L2 O1 域是线段 EF,有 Q L(G)=EF=1.5+10=11.5(cm) R O2 注意到 L1 与 L2 相邻 1.5cm,所以圆心如果落在线 L3 段 EP 上,那么圆与平行线必定相交。设半径为 F 图1 2cm 的⊙O、⊙O1 分别切 L2、L3 于 P、F,则事件的 有利场合所对应的区域应是线段 OO1 有 L(GA)=OO1=PF-OP-O1F=10-2-2=6cm。 6 ? p= ? 0.5127 11.5 评注 从本题可以看出, 如果题中没有直接指明等可能值参数, 则解题的 关键,在于斟酌题设条件,发掘等可能值参数的含义,找出随机点的分 布情况。 例 6、 《广告法》对插播广告的时间有一定的规定,某人对某台的电视节 目做了长期的统计后得出结论,他任意时间打开电视机看该台节目,看 不到广告的概率为 解析:60?(1- 9 ,那么该台每小时约有________分钟的广告. 10

9 )=6 分钟.答案:6 10

例7、 甲、 乙两人约定在下午4:00~5:00间在某 地相见他们约好当其中一人先到后一 定要等另一人15分钟, 若另一人仍不到 则可以离去,试求这人能相见的概率。 解:设x为甲到达时间, y 为乙到达时间. 建 立 坐 标 系 , 如 图 | x ? y |? 15 时 可 相 见 , 即 阴 影 部 分
P? 602 ? 452 7 ? 2 16 60

例8、两对讲机持有者张三、李四,为卡尔货运公
20

司工作,他们对讲机的接收范围是25km,下午3:00张三在基地正 东30km内部处,向基地行驶,李四在基地正北40km内部处,向基 地行驶,试问下午3:00,他们可以交谈的概率。 解:设 x, y 为张三、李四与基地的距离 x ? [0,30] , y ? [0,40] ,以基地为 原点建立坐标系.他们构成实数对 ( x, y ) ,表示区域总面积为1200,可以 交谈即 x 2 ? y 2 ? 25

1 ? 252 25? 故P ? 4 ? 1200 192 例 9、某勘探队勘测到,在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆 架储藏着石油, 假设在海域中任意一点钻探, 钻到油层面的概率是多少? 分析:石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而 40 平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率。 解 : 记 “ 钻 到 油 层 面 ” 为 事 件 A , 则 P(A)= 储藏石油的大陆架面积 40 = =0.004. 所有海域的大陆架面积 10000 答:钻到油层面的概率是 0.004. 例10、一只海豚在水池中游弋,水池为长 30m ,宽 20m 的长方形,求此 刻海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率. 解:由已知可得,海豚的活动范围在 26?16 ㎡的区域外, 所以海豚 26 ? 16 ? 0.308 嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率为 P ? 1 ? 30 ? 20 练习
1、平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为 3 cm,把一枚半径为 1 cm 的硬币任意平掷在这个平面,则硬币不与任何一条平行线相碰的 概率是 A. 1 4 B. 1 3 ( ) C. 1 2 D. 2 3

解析:平面被这一组平行线分割成条状区域,现对两条平行线之间的区 域考虑:平行线间的距离为 3 cm,硬币半径为 1 cm,要想硬币不与两条 平行线相碰,硬币中心与两条平行线的距离都应大于 1 cm,如图: 硬币中心只有落在阴影部分(不包括边界)时,
21

1 才能让硬币与两条平行线都不相碰, 则硬币中心落在阴影部分的概率为 . 3 1 整个平面由无数个这样的条状区域组成,故所求概率是 .答案:B 3 2、在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大 于 2 的点构成的区域, E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域, 向D 中随机投一点,则所投的点落在 E 中的概率是 __________. 解析: 如图: 区域 D 表示边长为 4 的正方形 ABCD 的内部(含 边界), π ?12 π π 区域 E 表示单位圆及其内部,因此 P= = .答案: 4?4 16 16 3、甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意 时刻到达.甲、乙两船停靠泊位的时间分别为 4 小时与 2 小时,求有 一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率. 解:甲比乙早到 4 小时内乙需等待,甲比乙晚到 2 小时 内甲需等待. 以 x 和 y 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间,则有一 艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为-2≤x -y≤4,在如 图所示的平面直角坐标系内,(x,y)的所有可能结果是边长为 24 的 正方形,而事件 A“有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果 由阴影部分表示.由几何概型公式得: 1 1 242- ?222- ?202 2 2 67 P(A)= = .故有一艘船停靠泊位时必需等 2 24 288 待一段时间的概率是 67 . 288

22

(十)、与其他章节知识综合类 例 1、已知两数 m ,n 是某事件发生的概率取值,则关于 x 的一元二次方 程 x2 ? nx ? m ? 0 有实根的概率是( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 8 16 解析:事件发生的概率取值为 [0, 1] ,故 [0, 1] 即为两数 m ,n 的取值范围。 在平面直角坐标系中,以 x 轴和 y 轴分别表示

m ,n 的值,因为( m ,n )与图中正方形内的
点一一对应,即正方形内的所有点构成全部试 验结果的区域.设事件 A 表示方程
? ? n ? 4m ? 0 ? ? ? ? x ? nx ? m ? 0 有实根,则事件 A ? ?(m,n) | ?0 ? m ? 1 ? ,所对应的区 ? ?0 ? n ? 1 ? ? ? ? 1 域为图中的阴影部分,且阴影部分的面积为 .故由几何概型公式得 8
2

P( A) ?

S阴影 1 即关于 x 的一元二次方程 x2 ? nx ? m ? 0 有实根的概 ? , S正方形 8

1 率为 .答案:C. 8 点评:将方程的根、线性规划问题以及概率知识等问题有机地结合在一 起,注重在知识的交汇处命题,是近年来高考的命题趋势。本题设计新 颖,考查综合。

总之,几何概型不但是高中数学的新增内容,而且由于它涉及图形的长 度、面积、体积及其他的几何知识,更能考察同学们分析问题的能力,因 此越来越受到高考的青睐,所以希望同学们能很好的掌握.

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