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2012绵阳三诊数学试题及答案理科


1

2

3

绵阳市高 2012 级第三次诊断性考试

4

数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. BCDBA CACAB AD 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.( 0,?

1 ) 4

14.± 2

15.arccos

1 3

16.①④

三、解 答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解:(I)由 m//n,可得 3sinx=-cosx,于是 tanx= ?

1 . 3

1 ? ?1 sin x ? cos x tan x ? 1 2 3 ∴ ? ? ? ? . ??????????4 分 3 sin x ? 2 cos x 3 tan x ? 2 3 ? (? 1 ) ? 2 9 3 (II)∵在△ABC 中,A+B= ? -C,于是 sin(A ? B) ? sin C ,
由正弦定理知: 3 sin C ? 2 sin A ? sin C , ∴ sin A ?
3 ? ,可解得 A ? . 2 3

?????????????? ????6 分

又△ABC 为锐角三角形,于是 ∵ f (x) =(m+n)·n =(sinx+cosx,2)·(sinx,-1) =sin2x+sinxcosx-2 = =

?
6

?B?

?
2



1 ? cos 2x 1 ? sin 2x ? 2 2 2
2 ? 3 sin(2 x ? ) ? , 2 4 2

∴ f (B ?

?
8

)?

2 ? ? 3 2 3 sin[2( B ? ) ? ] ? ? sin 2 B ? .????????10 分 2 8 4 2 2 2



?
6

?B?

?
2



?
3

? 2B ? ? ,

∴ 0<sin2B≤1,得 ? 即 f (B ?

2 3 2 3 3 sin 2 B ? ≤ ? . < 2 2 2 2 2

[来源:学|科|网]

?
8

3 2 3 ) ? (? , ? ] .??????????????????12 分 2 2 2

18.解:(I)设“i 个人游戏 A 闯关成功”为事件 Ai(i=0,1,2),“j 个人游戏 B 闯关成功” 为事件 Bj(j=0,1,2), 则“游戏 A 被闯关成功的人数多于游戏 B 被闯关的人数”为 A1B0+A2B1+A2B0. ∴ P(A1B0+A2B1+A2B0)
[来源:学§科§网]

5

=P(A1B0)+P(A2B1)+P(A2B0) =P(A1)·P(B0)+P(A2)·P(B1)+P(A2)·P(B0)
1 0 2 1 2 0 = C2 ? ? ? C2 ( )0 ? ( )2 ? C2 ? ( )2 ? ( )0 ? C2 ? ? ? C2 ? ( )2 ? C2 ? ( )2

1 1 2 2

2 3

1 3

1 2

1 2

2 1 3 3

1 2

1 3

?

7 . 36 7 .??4 分 36

即游戏 A 被闯关成功的人数多于游戏 B 被闯关的人数的概率为 (II)由题设可知:ξ=0,1,2,3,4.

1 1 0 1 0 P(? ? 0) ? C2 ( ) 2 ? C2 ? ( ) 2 ? , 2 3 36 6 1 1 1 1 2 1 1 2 1 0 1 P(? ? 1) ? C2 ? ? ? C2 ( ) 2 ? C2 ? ? ? C2 ( ) 2 ? ? , 2 2 3 3 3 2 36 6
1 1 2 1 13 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 , P(? ? 2) ? C2 ? ( ) 2 ? C2 ? ( ) 2 ? C2 ? ( ) 2 ? C2 ? ( ) 2 ? C2 ? ? ? C2 ? ? ? 2 3 3 2 2 2 3 3 36

1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 1 1 P(? ? 3) ? C2 ? ( ) 2 ? C2 ? ? ? C2 ? ( ) 2 ? C2 ? ? ? ? , 2 3 3 3 2 2 36 3 1 2 4 1 P(? ? 4) ? ( ) 2 ? ( )2 ? ? . 2 3 36 9
∴ ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

1 36

1 6

13 36

1 3

1 9

?????????????????????????? 10 分 ∴ E ? = 0?

1 1 13 1 1 7 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 36 6 36 3 9 3

?????????12 分

19.解法一:(I)证明:连结 AD1 交 A1D 于 F,则 F 为中点,连结 EF,如图. ∵ E 为中点, ∴ EF//BD1. 又 EF ? 面 A1DE,BD1 ? 面 A1DE, ∴ BD1//面 A1DE.???????????????????????3 分 (II)在 Rt△ABD 中,AB=2AD=2,可得 BD= 5 , ∴ S ?BDD1 ?

1 5 1 1 ? BD ? DD1 ? , S?A1 DD1 ? ? A1D1 ? DD1 ? , 2 2 2 2

设 A1 到面 BDD1 的距离为 d,则由 VA1 ? BDD1 ? VB? A1DD1 有

6

1 1 ? d ? S?BDD1 ? AB ? S?A1DD1 , 3 3
1 5 1 1 2 5 ? ? 2 ? ,解得 d ? 即 ?d ? , 5 3 2 3 2
即 A1 到面 BDD1 的距离为 (III)连结 EC.

2 5 .?????????????????8 分 5
D1

1 2 4 由 AE ? AB ,有 AE ? , EB ? , 2 3 3
过 D 作 DH⊥EC 于 H,连结 D1H, 由已知面 AA1D1D⊥面 ABCD 且 DD1⊥AD, ∴DD1⊥面 ABCD. 由三垂线定理知:D1H⊥EC, ∴ ∠DHD1 为 D1-EC-D 的平面角. Rt△EBC 中,由 EB ? A E A1
F

D

C H B

4 5 ,BC=1,得 EC ? . 3 3
6 , 5

又 DH·EC=DC·BC,代入解得 DH ? ∴在 Rt△DHD1 中, tan ?DHD1 ?

DD1 1 5 ? ? . DH 6 6 5

∴ ?DHD1 ? arctan 解法二:

5 5 ,即二面角 D1-EC-D 的大小为 arctan .????12 分 6 6
z D1

(I)同解法一.??????3 分 (II)由面 ABCD⊥面 ADD1A,且四边形 AA1D1D 为正方形,四边形 ABCD 为矩形, 可得 D1D⊥AD,D1D⊥DC,DC⊥DA. 于是以 D 为原点,DA,DC,DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐 标系. x A
F

A1 C E

D

y

B 由 AB=2AD=2 知:D(0,0,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),B(1,2,0), ∴ DB =(1,2,0), DD1 =(0,0,1), A1 B =(0 ,2,-1).

1 设面 BDD1 的一个法向量为 n1 ? ( x1,,z1 ) ,

7

?n1 ? DB ? 0, ? x1 ? 2 ? 0, ? 则? 即? ∴ n1 ? (?2,, 0) . 1 ?n1 ? DD1 ? 0, ? z1 ? 0, ?
∴ 点 A1 到面 BDD1 的距离 d ?

| A1B ? n1 | 2 5 . ? | n1 | 5

??????????8 分

2 4 2 (III)由(II)及题意知:E(1, ,0),C(0,2,0), D1E ? (1, , 1) , EC ? (?1, , ) . ? 0 3 3 3
设面 D1EC 的一个法向量为 n2 ? ( x2,y2, ) , 1

2 ? ?n2 ? D1E ? 0, ? x2 ? 3 y2 ? 1 ? 0, 2 1 ? ? 则? 即? 可得 n2 ? ( , , ) . 1 4 3 2 ?n2 ? EC ? 0, ?? x ? y ? 0, ? ? 2 3 2 ?
又易知面 DEC 的一个法向 量是 DD1 ? (0,0,1), 设 D1-EC-D 的大小为 θ,则 cos ? ?

n2 ? DD1 | n2 | ? | DD1 |

?

1 61 ?1 6

?

6 61 , 61

得 ? ? arccos

6 61 . 61

即 D1-EC-D 的大小为 arccos 20.解:(I) f ?( x) ? ?

6 61 .???????????????12 分 61

a b ? (a ? 0) , x2 x

由题, f ?(1) ? 1 ,得-a+b=1. ∴ b=a+1. 又切点(1,a+c)在直线 x-y-2=0 上,得 1-(a+c)-2=0, 解得 c=-a-1. (II)g( x) ? x ? ????????????????????????4 分

a ? b ln x ? c x

? x?

a ? (a ? 1) ln x ? a ? 1 , x
a a ? 1 x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? 1)( x ? a) ? ? ? , x x? x2 x2

∴ g ?( x) ? 1 ?

令 g ?( x) ? 0 ,得 x=1,或 x=a.??????????????????8 分 i)当 a≥1 时, 由 0<x≤1 知, g ?(x) ≥0, ∴ g(x)在(0,1]上递增.

8

∴ g(x)max=g(1)=2. 于是 a≥1 符合条件. ?????????????????????10 分 ii)当 0<a<1 时, 当 0<x<a 时, g ?( x) ? 0 ;a<x<1 时, g ? (x)<0, ∴ g(x)在(0,a)上递增,g(x)在(a,1)上递减. 得 g(x)max=g(a)>g(1)=2,与题意矛盾. ∴ 0<a<1 不符合题意. 综上知实数 a 的取值范围为 ?1, ? ? .???????????????12 分 ?

?a ? 2, 21.解:(I)由题知 ? 得 b+c=4,即|AC|+|AB|=4(定值). ?b ? c ? 2a,
由椭圆定义知,顶点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆(除去左右顶点), 且其长半轴长为 2,半焦距为 1,于是短半轴长为 3 . ∴ 顶点 A 的轨迹方程为 (II)由 ?
x2 y2 ? ? 1( y ? 0) .????????????4 分 4 3

? y ? kx ? m,
2 2 ?3x ? 4 y ? 12 ? 0,

消去 y 整理得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0. ∴ Δ=(8km)2-4(3+4k2)× 2-3)>0, 4(m 整理得:4k2>m2-3.①

8km ? ? x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 , ? 令 M(x1 ,y1),N(x2,y2),则 ? 2 ? x x ? 4(m ? 3) , 1 2 ? 3 ? 4k 2 ?
设 MN 的中点 P(x0,y0),则 x0 ?

[来源:Z|xx|k.Com]

1 4km ( x1 ? x2 ) ? ? , 2 3 ? 4k 2

1 1 3m ,???????7 分 y0 ? ( y1 ? y2 ) ? (kx1 ? m ? kx2 ? m) ? m ? kx0 ? 2 2 3 ? 4k 2
i)当 k=0 时,由题知, m ? (? 3, ) ? (0, 3) .???????????8 分 0 ii)当 k≠0 时,直线 l 方程为 y ? 由 P(x0,y0)在直线 l 上,得

1 1 ?? x, 2 k

3m 1 4m ,得 2m=3+4k2.② ? ? 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
3 . 2

把②式代入①中可得 2m-3>m2-3,解得 0<m<2. 又由②得 2m-3=4k2>0,解得 m ?

9



3 ? m ? 2. 2

验证:当(-2,0)在 y=kx+m 上时,得 m=2k 代入②得 4k2-4k+3=0,k 无解. 即 y=kx+m 不会过椭圆左顶点. 同理可验证 y=kx+m 不过右顶点. ∴ m 的取值范围为( , 2 ).??????????????????11 分 综上,当 k=0 时,m 的取值范围为 (? 3, 0) ? (0, 3) ; 当 k≠0 时,m 的取值范围为( , 2 ).???????????12 分
2 22.解:(I)由题意,得 2S n ? an ? an (n∈N*).

3 2

3 2

2 于是 2Sn?1 ? an?1 ? an?1 ,
2 2 两式相减,得 2an ?1 ? an ?1 ? an ? an ?1 ? an ,

即 an+1+an=(an+1+an)(an+1-an), 由题,an>0,an+1+an≠0 , 得 an+1-an=1,即{an}为公差为 1 的等差数列.
2 又由 2S1 ? a1 ? a1 ,得 a1=1 或 a1=0(舍去).

∴ an=1+(n-1)·1=n (n∈N*).?????????????????5 分 (II)证法一:由(I)知 于是当 n≥2 时,

1 1 1 1 1 ? ,于是 Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? , an n 2 3 n

Rn ?1 ? T1 ? T2 ? T3 ? ? ? ? ? Tn ?1
= 1 ? (1 ? ) ? (1 ? = (n ? 1) ? = n ?1 ? = n(1 ?

1 2

1 1 1 1 1 ? ) ? ? ? ? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 3 n ?1

[来源:Z#xx#k.Com]

n ?2 n ?3 1 ? ? ??? ? 2 3 n ?1

n n n n ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ?1 2 3 n ?1 n

1 1 1 ? ? ??? ? ) ? n 2 3 n
????????????????????????10 分

=n(Tn-1).

法二:①当 n=2 时,R1=T1= ∴ n=2 时,等式成立.

1 1 =1,2(T2-1)=2( 1 ? ? 1) =1, a1 2

②假设 n=k(k≥2)时,等式成立,即 Rk ?1 ? k (Tk ? 1) ,

10

当 n=k+1 时, Rk ? Rk ?1 ? Tk = k (Tk ? 1) ? Tk = (k ? 1)Tk ? k = (k ? 1)(Tk ?1 ? = (k ? 1)(Tk ?1 ?

1 ak ?1

)?k

1 )?k k ?1

= (k ? 1)Tk ?1 ? 1 ? k = (k ? 1)(Tk ?1 ? 1) . ∴ 当 n=k+1 时,等式也成立. 综合①②知,原等式对 n≥2,n∈N*均成立. (III)由(I)知, ??????????10 分

?
i ?1

n

ai?3 ?

?
i ?1

n

1 i3



由分析法易知, 2 k ? k ? 1 ? k ? 1 , 当 k≥2 时,

1 k
3

?

1 k ? k2 ?1

?

2 k ?1? k ?1? 2 k

?

2 k ? 1 ? k ? 1( k ? 1 ? k ? 1)

?
?

k ?1 ? k ?1 k ?1 ? k ?1
1 1 ? , k ?1 k ?1

∴ 1?

1 2
3

?

1 3
3

? ??? ?

1 n3

? 1 ? (1 ?
?2?

1 1 1 1 1 1 1 ? ) )?( ? ) ? ??? ? ( ? ) ?( n ?1 n ?1 3 2 4 n?2 n
[来源:学科网 ZXXK]

2 1 1 ? ? . 2 n n ?1



1 n

?

1 n ?1

?

?
i ?1

n

ai?3 ? 2 ?

2 . 2

???????????????14 分

11


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