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点线面的位置关系


7-2 点线面的位置关系
1、、如图在正三棱锥 P-ABC 中,E、F 分别是 PA,AB 的中点,∠ CEF=90° ,若 AB=a,则该三棱锥的全面积为

A. 【答案】B 【解析】略 2、如图,在长方体

B.

C.

D.

中, )

,<

br />


与平面

所成角的正弦值为 (

A. 【答案】D 【解析】 试题分析:在平面

B.

C.

D.

内,作 , 是 在平面

.因为长方体侧面与底面垂直,所以, 内的射影,即 中, ,选 D。 是 ,所以, 与

平面 与平面

所成角,而直角三角形 所成角的正弦值为

考点:长方体的几何特征,直线与平面所成角的计算。 点评:简单题,直线与平面所成的角,就是,直线与其在平面内的射影所成的 角。要注意“一作,二证,三计算”。 3、设 m、n 是两条不同的直线, 、 是两个不同的平面,则下列命题正确的 是( ) A.若 、m 、n∥ ,则 ∥ B.若 m∥ 、n∥ 、 ∥ ,则 ∥ n C.若 m⊥ 、n∥ 、 ∥ ,则 m n D.若 ∥ n 、m∥ 、n∥ ,则 ∥ 【答案】C 【解析】A 错误。如 ; B 错误。平行于两个平行平面的两条直线的位置关系不确定; C 正确。 ,又 D 错误。如 。故选 C

4、长方体 ABCD—A B C1D1 中, AC 的距离是 A.3 【答案】A 【解析】 B. C.

,则点 D.4

到直线



连 是点

则 到直线 AC 的距离 ;所以 故选 A

5、如图 1,在四棱柱 分别是 ,

中,底面为正方形,侧棱垂直于底面, 的中点,则以下结论中不成立的为( ).

A.



垂直

C. 与 异面 【答案】D 【解析】观察正方体的图形,连 B1C,则 B1C 交 BC1 于 F 且 F 为 BC1 中点,推 出 EF∥ A1C1;分析可得答案. 解答:解:连 B1C,则 B1C 交 BC1 于 F 且 F 为 BC1 中点,三角 形 B1AC 中 EF AC,所以 EF∥ 平面 ABCD,而 B1B⊥ 面 ABCD,

B. D.

与 与

垂直 异面

所以 EF 与 BB1 垂直;又 AC⊥ BD,所以 EF 与 BD 垂直,EF 与 CD 异面.

由 EF 故选 D.

AC,AC∥ A1C1 得 EF∥ A1C1

6、如图在长方体 的中点,则以下结论中

中,其中



分别是







垂直;



⊥ 平面



③ 与 所成角为 ;④ ∥ 平面 不成立的是( ) A.② ③ B.① ④ C.③ D.① ② ④ 【答案】A 【解析】 试题分析:因为 F 为 BC1,所以连接 B1C 正好交 BC1 与点 F,连接 AC, 在?B1AC 中,因为 E、F 分别是 AB1,B1C 的中点,所以 EF//AC。在长方体 中,BB1 面 ABCD,AC 面 ABCD,所以 BB1 AC,又因 为 EF//AC,所以 BB1 EF,因此① 正确;因为 AC 不垂直与面 ,所以 EF 也不垂直面 ,因此② 错误;因为 EF//AC,C1D//AB1,所以 与 0 所成角为 ,在长方体中,没给出高,因此 不一定是 45 ,所 以③ 不能立;因为 AC∥ 平面 ,所以 ∥ 平面 ,因此④ 正 确。 考点:线面垂直的判定定理;线面平行的判定定理;异面直线所成的角;线线 垂直的判定。 点评:做本题的关键是证出 EF//AC,从而根据 AC 具有的一些性质,来判断 EF 的性质。本题涉及到的知识点较多,我们要熟练掌握每一个知识点。 7、已知正四棱锥 的侧棱长与底面边长都相等, 所成的角的余弦值为( ) A. B. C. 是 D. 的中点,则

【答案】C 【解析】 试题分析:设边长为 1,取 BD 中点 F,连接 EF,AF,在



,异面直线所成角余弦值 考点:异面直线所成角 点评:先平移为相交直线找到其所成角,再解三角形求角

8、把一副三角板 ABC 与 ABD 摆成如图所示的直二面角 D-AB-C,则异面直 线 DC 与 AB 所成角的正切值为

A. 【答案】B 【解析】

B.

C.

D.不存在

9、四棱锥 都与平面

的底面 垂直,

是菱形,其对角线 ,则四棱锥

, 与



公共部分的体积为

A. C.

B. D.

【答案】A 【解析】 分析:根据题意,先设 EC 与 AF 交与点 O,过点 O 作 OG⊥ 面 ABCD,垂足为 G;由图分析可得,四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 公共部分为四棱锥 OABCD;根据线面垂直的性质和平面的基本性质,可得 CF、OG、AE 两两平行 且共面;进而在平面 FCAE 中,计算可得 OG 的值,依题意,易得底面菱形 ABCD 的面积,由棱锥体积公式,计算可得答案.

解:根据题意,设 EC 与 AF 交与点 O,过点 O 作 OG⊥ 面 ABCD,垂足为 G; 分析可得,四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 公共部分为四棱锥 O-ABCD; 依题意,AE,CF 都与平面 ABCD 垂直,OG⊥ 面 ABCD, 可得 CF、OG、AE 两两平行且共面; 又由 AE=2,CF=4, 由平行线的性质,可得 OG= 菱形中,对角线 AC=4,BD=2 故其体积为 × × 4 故选 A. = ; , ,可得其面积 S= × 2 × 4=4 ,

10、已知六棱锥 不正确的是

的底面是正六边形,

平面

.则下列结论

A. 平面 C. 平面 【答案】D 【解析】略

B. D.

平面 平面

11、在平行六面体 , 【答案】 【解析】略

中, ,则 的长为.



12、如图,已知六棱锥 P—ABCDEF 的底面是正六边形, 平面 ABC, ,给出下列结论:① ;② 平面 平面 PBC;③ 直线 平面 PAE;④ ;⑤ 直线 PD 与平面 PAB 所成角的余弦值为 。 其中正确的有 (把所有正确的序号都填上)。

【答案】① ④ ⑤ 【解析】 试题分析:解:对于① 、由 PA⊥ 平面 ABC,AE?平面 ABC,得 PA⊥ AE,又由 正六边形的性质得 AE⊥ AB,PA∩AB=A,得 AE⊥ 平面 PAB,又 PB?平面 PAB,∴ AE⊥ PB,① 正确; 对于② 、又平面 PAB⊥ 平面 ABC,所以平面 ABC⊥ 平面 PBC 不成立,② 错; 对于③ 、由正六边形的性质得 BC∥ AD,又 AD?平面 PAD,∴ BC∥ 平面 PAD, ∴ 直线 BC∥ 平面 PAE 也不成立,③ 错; 对于④ 、在 Rt△ PAD 中,PA=AD=2AB,∴ ∠ PDA=45° ,∴ ④ 正确. ⑤ 直线 PD 与平面 PAB 所成角的余弦值为 ,成立。

故答案为:① ④ ⑤ 考点:空间中的线面关系,正六边形的性质 点评:本小题考查空间中的线面关系,正六边形的性质等基础知识,考查空间 想象能力和思维能力,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 13、已知 的三个顶点均在球 O 的球面上,且 AB=AC=1, ,

直线 OA 与平面 ABC 所成的角的正弦值为 距离为 【答案】 。

,则球面上 B、C 两点间的球面

【解析】 考点:球面距离及相关计算. 分析:欲求球面上 B、C 两点间的球面距离,作出 O 到平面 ABC 的高,判断垂 足 O′是外心,然后解三角形 ABC 的外接圆半径和球心角,最后求得 P 到球面 上 B、C 两点间的球面距离.

解:在三角形 ABC 中,AB=AC=1,∠ BAC=120° , ∴ 由余弦定理得 BC= , 由正弦定理得,三角形 ABC 外接圆的半径 O′B= 又直线 OA 与平面 ABC 所成的角的正弦值为 ∴ =cos∠ OAO′,解得 OA= , , ,如图,

在三角形 BCO′中, ∠ BO′C= ,球的半径 R= , × = π

则球面上 B、C 两点间的球面距离为: 故答案为: π.

14、已知结论:“在三边长都相等的 外接圆的圆心,则 都相等 的四面体

中,若



的中点,



”.若把该结论推广到空间,则有结论:“在六条棱长 中,若 是 ” 的三边中线的交点, 为四面体

外接球的球心,则 【答案】3 【解析】略

15、下列各图中, 、 为正方体的两个顶点, 中点,能得出 //平面 的图形的序号





分别为其所在棱的





【答案】① ③ 【解析】略 16、(本题满分 13 分) 如图,在三棱 柱

中,已知



侧面

(1)求直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正弦值;

(2)在棱 (不包含端点 明理由). (3)在(2)的条件下,若

上确定一点

的位置,使得 的大小. ,

(要求说

,求二面角

【答案】解:如图,以 B 为原点建立空间直角坐标系 ,则 ,

(1)直三棱柱 平面 设 (2)设 ,∴ 即 的法向量

中, ,又 ,则 ,则 8分 , , , 4分

(3)∵ AB= 设平面 则 ∵

,从而 的法向量

,则



,取 , , ∴ ,又



∴ 平面 ∴ 二面角 【解析】略

的法向量 为 45° . 13 分

,∴



17、(本小题满分 12 分)如图,在四面体 中, ,且 (I)设 为线段 的中点,试在线段 上求一点

, ,使得 ;

(II)求二面角

的平面角的余弦值.

【答案】解:在平面内 过点 作 交 于点 . 以 为坐标原点,分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴,建立 空间直角坐标系(如 图). ………………………………………………………………………1 分

则 分 (I)设 所以







. ……………………….…..3

,因为

, ,

. 因为 故所求点为 ,所以 . .即 ,解得 .

即点 为线段 的三等分点(靠近点 ). ………………………………………7 分 (II)设平面 的法向量为 , 由 得 .

.

令 分 又 所以

得 是平面

. 即 的法向

. …………………………………………..9

量, ………………………………………………10 分 . 的平面角的余弦值为

故二面角

. ……………………………………12 分 【解析】略 18、(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 , ≌ ,在它的俯视图 , , . ⑴ 求证: 是直角三角形;⑵ 求四棱锥 的体

中,

积.

【答案】解:⑴ 由已知,点 因为 因为 因为 、 ≌

在底面

上的投影是点 , , ,

,所以

,所以 ,所以 ,所以 平面

所以 , 是直角三角形 ⑵ 连接 ,因为 , ,所以 在 中,根据多边形内角和定理计算得 又因为 ,所以 所以 所以 又 所以,四棱锥 【解析】略 19、长方体 上的一点. 中,底面 , 的体积 , ,

是等边三角形

是正方形,





⑴ 求异面直线 ⑵ 若 平面 【答案】(1) 【解析】 试题分析:以

与 (2)

所成的角; ,求三棱锥 的体积;

为原点,



、 ,

所在直线分别为 轴、 轴、 轴建 , 3分 ,

立空间直角坐标系 1 分 ⑴ 依题意, , 所以 所以 ⑵ 设 因为 平面 所以 , ,则 平面 , ,所以 ,所以 ,

所以异面直线所成角为 7分

6分

9分 , 10 分

所以 考点:异面直线所成的角,椎体的体积 点评:解决的关键是能合理的建立空间直角坐标系,然后借助于法向量和直线 的方向向量来表示求解,属于基础题。 20、(、(8 分)如图,在底面是直角梯形的四棱锥 S-AB CD 中,

(1)求四棱锥 S-ABCD 的体积; (2)求证: 【答案】(1)解:

(2)证 明:

又 【解析】略 21、如图,在 交 与点 。 中,点 是 的中点,点 是 的中点, 的延长线

(1)求 (2)若

的值; 的面积为 ,四边形 的面积为 ,同时结合 ,求 的值。 ,那么利用三角

【答案】(1) (2)根据已知条件,得到 形面积公式来得到结论。 【解析】 试题分析:解:(I)过 点作 ,又 ,则 又 点 是 的中点,则

,交

于点

。 点



的中点,

…………3 分

(II)若 是以 为底, …………7 分 又由 ,可知: 高。 则 , 所以

…………5 分 以 为底,则由(1)知 ,其中 分别为 …………10 分 和 的

考点:相似比和三角形面积的求解 点评:解决该试题的关键是利用做辅助线得到平行直线,结合平行线的性质得 到比值,同时能逻辑和三角形面积公式得到结论,属于基础题。


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