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第三节三角函数图像与性质


第三节三角函数图像与性质

正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中 k∈Z). 函数 图像 {x|x∈R,且 x≠ 定义域 值域 周期性 奇偶性 R [-1,1] 2π 奇函数 R [-1,1] 2π 偶函数 π kπ+ ,k∈Z} 2 R π 奇函数 y=sin x y=cos x y=tan x

?2kπ-π,2kπ+ 2 ?

r />单调性 π? 2kπ+ 2?为增;[ π 3π ,2kπ+ ?为减 2 2? 对称 中心 对称轴 (kπ,0) π x=kπ+ 2

[2kπ,2kπ+π]为 减;[2kπ-π,2kπ] 为增

?kπ-π,kπ+π? 2 2? ?
为增

?kπ+π,0? 2 ? ?
x=kπ

?kπ,0? ?2 ?


1.三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结. 2.研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件. [试一试] π ? 1.函数 y=tan? ?4-x?的定义域是________.
? ? 3π ? 答案:?x? ?x≠kπ+ 4 ,k∈Z,x∈R ? ?

2.(2013· 南京三模)函数 y=sin

π 3π? x? ?-4≤x≤ 4 ?的值域是________.

答案:?-

?

2 ? ,1 2 ?

1.三角函数单调区间的求法 先把函数式化成形如 y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再根据基本三角函数的单调区间, 求出 x 所在的区间.应特别注意,考虑问题应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的 单调增区间的不同: π? ?π ? (1)y=sin? ?2x-4?;(2)y=sin?4-2x?. 2.求三角函数值域(最值)的两种方法 (1)将所给函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,通过分析 ωx+φ 的范围,结合图像写出函 数的值域; (2)换元法:把 sin x(cos x)看作一个整体,化为二次函数来解决. [练一练] 1.函数 y=|sin x|的一个单调增区间是________. 3π? 答案:? ?π, 2 ? π? ? π? 2.(2013· 天津高考)函数 f(x)=sin? ?2x-4?在区间?0,2?上的最小值为________. 答案:- 2 2
对应学生用书 P44

考点一 1. 函数

三角函数的定义域与值域

f(x)



π? ? π? 3sin? ?2x-6?在区间?0,2?上的值域为________. 3 - ,3? 答案:? ? 2 ? 2.(2014· 湛江调研)函数 y=lg(sin x)+
? ? π 2kπ<x≤ +2kπ,k∈Z? 答案:?x? 3 ? ? ?

1 cos x- 的定义域为________. 2

3.(1)函数 y=2cos2x+5sin x-4 的值域为________. π 7π? (2)当 x∈? 函数 y=3-sin x-2cos2x 的最小值是________, 最大值是________. ?6, 6 ?时, 7 答案:(1)[-9,1] (2) 8 [类题通法] 2

1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数 图像来求解. 2.三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求; (2)把所给的三角函数式变换成 y=Asin(ωx+φ)的形式求值域; (3)把 sin x 或 cos x 看作一个整体,转换成二次函数求值域; (4)利用 sin x± cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域. 考点二 三角函数的单调性

[典例] 求下列函数的单调递减区间: π? ?π ? (1)y=2sin? ?x-4?;(2)y=tan?3-2x?.

? π?? 若将本例(1)改为“y=2? ?sin?x-4??”,如何求解?

[类题通法] 三角函数的单调区间的求法 (1)代换法: 所谓代换法, 就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角 u(或 t), 利用基本三 角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间. (2)图像法:

函数的单调性表现在图像上是:从左到右,图像上升趋势的区间为单调递增区间,图像 下降趋势的区间为单调递减区间,画出三角函数的图像,结合图像易求它的单调区间. 提醒:求解三角函数的单调区间时若 x 的系数为负应先化为正, 同时切莫漏掉考虑函数 自身的定义域. [针对训练] π x- ?,x∈[-π,0]的单调增区间为________. 1.(2013· 盐城二模)函数 f(x)=2sin? ? 4? π ? 答案:? ?-4,0? 2π 2π? 2.(2013· 苏北四市联考)若函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在? ?- 3 , 3 ?上单调递增,则 ω 的最 大值为______. 3 答案: 4 考点三 三角函数的对称性与奇偶性

正、余弦函数的图像既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图像只是中心对 称图形,应把三角函数的对称性与奇偶性结合,体会二者的统一.归纳起来常见的命题角度 有:?1?求三角函数的对称轴或对称中心; ?2?由三角函数的对称性求参数值; ?3?三角函数对称性的应用.

角度一 求三角函数的对称轴或对称中心 1.(2013· 扬州期末)已知函数 f(x)=-2sin2x+2 3sin x· cos x+1. (1)求 f(x)的最小正周期及对称中心; π π? (2)当 x∈? ?-6,3?时,求 f(x)的最大值和最小值.

角度二 由三角函数的对称性求参数值 π ? 2. (2014· 连云港期末)若函数 y=3sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像关于点? 则φ ?3,0?中心对称, =________. π 答案: 3 π? π ?π ? 3.已知 ω>0,函数 f(x)=cos? ?ωx+3?的一条对称轴为 x=3,一个对称中心为点?12,0?, 则 ω 的最小值为______.. 答案:2 角度三 三角函数对称性的应用 4.(2014· 辽宁五校联考)设偶函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)

1? 的部分图像如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90° ,KL=1,则 f? ?6?的值为 ______. 3 4 [类题通法] 1.若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当 x=0 时,f(x)取得最大或最小值. 答案: 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当 x=0 时,f(x)=0. 2.对于函数 y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图像的最高点或最低点,对称中心一 定是函数的零点,因此在判断直线 x=x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通 过检验 f(x0)的值进行判断.
对应学生用书 P46

[课堂练通考点] π?? π? 1.(2014· 常州统考)函数 f(x)=sin? ?2x+4??0≤x≤2?的单调增区间是________. π? 答案:? ?0,8? π? 2 .已知函数 f(x) = 2sin ? ?ωx-6? (ω>0) 的最小正周期为 π ,则 f(x) 的单调递增区间为 ________. π π? 答案:? ?kπ-6,kπ+3?(k∈Z) π ? 3.函数 y=cos? ?4-2x?的单调减区间为________. π 5π? 答案:? ?kπ+8,kπ+ 8 ?(k∈Z) π? 4.函数 y=tan? ?2x+4?的图像与 x 轴交点的坐标是________. kπ π ? 答案:? ? 2 -8,0? 5.(2013· 南京二模)对函数 f(x)=xsin x,现有下列命题: (1)函数 f(x)是偶函数; (2)函数 f(x)的最小正周期是 2π; (3)点(π,0)是函数 f(x)的图像的一个对称中心; π? ? π ? (4)函数 f(x)在区间? ?0,2?上单调递增,在区间?-2,0?上单调递减. 其中是真命题的是________(填序号). 答案:(1) (4)

[课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.函数 y= cos x- 3 的定义域为________. 2

π π? 答案:? ?2kπ-6,2kπ+6?,k∈Z π 2.(2013· 洛阳统考)如果函数 y=3sin(2x+φ)的图像关于直线 x= 对称,则|φ|的最小值 6 为________. π 答案: 6 π π? 3.已知函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间? ?-3,4?上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于 ________ 3 答案: 2 1 1? 2 cos2? ?2x-2?-x 4.(2014· 镇江期末)函数 f(x)= 的对称中心坐标为________. x-1 答案:(1,-1) 5.(2013· 浙江高考改编)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇 π 函数”是“φ= ”的________条件. 2 答案:必要不充分 π? ? π? 6.函数 y=2sin? ?2x+3?-1,x∈?0,3?的值域为________,并且取最大值时 x 的值为 ________. π 答案:[-1,1] 12 7.设 f(x)= 1-2sin x. (1)求 f(x)的定义域; (2)求 f(x)的值域及取最大值时 x 的值. 2π? 8.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)? ?0<φ< 3 ?的最小正周期为 π. (1)求当 f(x)为偶函数时 φ 的值; π 3 (2)若 f(x)的图像过点? , ?,求 f(x)的单调递增区间. ?6 2 ?

第Ⅱ组:重点选做题 1.(2014· 福州质检)已知函数 f(x)=sin x+cos x,x∈R. π ? (1)求 f? ?12?的值; (2)试写出一个函数 g(x),使得 g(x)f(x)=cos 2x,并求 g(x)的单调区间.

π? ? π? 2.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin? ?2x+6?+2a+b,当 x∈?0,2?时,-5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值; π? (2)设 g(x)=f? ?x+2?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间.


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