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高二数学二项式定理3(1)


二项式定理

指导教师:管西郎

浙江黄岩中学

赵国藩

问题1
4个容器中有红、蓝玻璃球各 一个,每次从 4 个容器中各取一 个球,有什么样的取法?各种取 法有多少种?

都不取蓝球 (全取红球): C (? C ) 取1个蓝球 (1蓝3红) : C (? C ) 2 取2个蓝球 (2蓝2红) :C 2 ( ? C 4) 4 取3个蓝球 (3蓝1红) :C (? C ) 4 0 取4个蓝球 (无 红球) : C 4 ( ? C 4)
0 4 4 4

1

3

4

4

3

1

4

4

C

m m m n ?m Cn ? C n?1 nn

? C ?C

m?1 n

问题2
不作多项式运算,用 组合知识 来考 察,展开 (a ? b)(a ? b)(a ? b)(a ? b)
展开式中有哪些项?各项系数各是什么?
1 3 (a ? b) 4 ? C 40 a 4 ? C 4 a b ? C 42 a 2 b 2 ? C 43 ab3 ? C 44 b 4

? a ? 4a b ? 6a b ? 4ab ? b
4 3 2 2 3

4

取4个a球 取3个a球 取2个a球 取1个a球 不取 a球

(不取 b球) (取3 a 1 b) (取2 a 2 b) (取1 a 3 b) (全取b球)

: C (? C ) : C (? C ) 2 : C2 ( ? C 4) 4 : C (? C ) 4 0 : C 4 ( ? C 4)
0 4 4 4

1

3

4

4

3

1

4

4

(a+b)的n次方展开式的系数的规律
?a ? b ?0 ??? ?a ? b ?1 ??? ?a ? b ?2 ??? ?a ? b ?3 ??? ?a ? b ?4 ??? ?a ? b ?5 ??? ?a ? b ?6 ???
??????

1 1 1 1 1 1 1 6 5 4 10 15 20 3 6 10 15 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1

本节课的课题《二项式定理》就是研究 杨辉简介 ( )的平方,(a+b)的三次方…… ? a+b 南宋末年钱塘人,是当时有名的数学家 ( a+b)的n次方的乘法展开式的规律, 和教育家,杨辉一生编写的数学书很多, 法国数学家帕斯卡在17世纪发现了它,国外 但散佚严重。 把这一规律称为帕斯卡三角。其实,我国数学 杨辉生活在浙江杭州一带,曾当过地方官, 家杨辉早在1261年在他的《详解九章算法》 到过苏州、台州等地,他每到一处都会有人 中就有了相应的图表。 慕名前来 请教数学问题。

没有大胆的猜想,就不能有伟大的发现和发明。 ------牛顿

猜想:
n

(a ? b) ? ____?_____
n
0 n n
r n

( a ? b) ? C a ? C a b ? C a b ? ?
1 n?1 n 2 n?2 2 n
n n

?C

a

n? r r

b ? ?? ? C n b

二项式定理的证明
?2?
假设n ? k等式成立,即

数学归纳法

?

0 1 a ? b ? C1 a ? C1 b成立 证: ?1? 当n ? 1时,显然有

?a ? b ?k

0 1 ? Ck a k ? Ck a k ?1b ? ? r k ? Ck a k ?r br ? ? ? Ck bk

当n ? k ? 1时 ,

?a ? b ?k ?1 ? ?a ? b ?k ?a ? b ?

需 要 证 明
证毕

? ??????
0 k ?1 1 k ? Ck a ? C a b ?? ?1 k ?1

?C

r ?1 k ?1

a

k ?r

b

r ?1

? ?? C

k ?1 k ?1

b

k ?1

当n ? k ? 1 时,

?a ? b ?k ?1 ? ?a ? b ?k ?a ? b ?
? (C a ? C a b ? ?? C a b ? ? ? C b )?a ? b ?
0 k k 1 k ?1 k r k ?r r k k k k 0 k ?1 1 k Ck a ? Ck a b ? ?? C kr ?1a k ?r br ?1 ? ?? C kk abk 0 k 1 k ?1 2 ? Ck a b ? Ck a b ? ?? C kr a k ? r br ?1 ? ?? C kk ?1abk ? C kk bk ?1
0 k ?1 1 0 r ?1 r ? Ck a ? (C k ? Ck )a k b ? ? ? (C k ? Ck )a k ? r b r ?1 k k ?1 k k ?1 ? ? ? (C k ? Ck )ab k ? C k b 0 k ?1 1 k r ?1 k ? r r ?1 ? Ck a ? C a b ? ? ? C b ?1 k ?1 k ?1 a k k k ?1 k ?1 ? ? ? Ck ab ? C ?1 k ?1 b

(a ? b) ? C n a
n
0 r

n

?C n a

n?r

? Cn a
r

1

n ?1

b? C n a
2

n?2

b 2 ? ??

b ? ?? ? C n b n

n

该公式所表示的定理叫做二项式定理,

右边的多项式叫做的 (a ? b)n 展开式,其中
的系数 C ?r ? 0,1,2,?, n? 叫做二项式系数。
r n

式中

n?r r a Cn b

r

的叫做二项式通项,用

Tr ?1

表示,即通项为展开式的第 r ? 1 项。

1.写出( 1 ? q) 的展开式
7

课堂练习
2 3

(1 ? q) ? 1 ? 7q ? 21q ? 35q
7

? 35q 4 ? 21q 5 ? 7q 6 ? q 7
2.写出( 1 ? x) 的展开式
n

(1 ? x) ?
n

n x ? ? ? ? x ?C n Cn r r n

1? Cn x

1

2 x ? C n ? ?? 2

n 3.写出(a ? b) 的展开式

(a ? b) ?
n

? ??1? C
r

Cna ? Cna
n
r n

0

1

n?1

b

n? 2 2 a ?C n b ? ?? 2

a

n? r r

b

n n n ? ? ? ?? ? ? 1 C n b

课堂练习

4.求( 2 x ? 3 y) 的展开式的第三项
6

5.求( 3 y ? 2 x) 的展开式的第三项
6

6.求( 2a ? 3b) 的展开式的第三项
6

的二项式系数

练习解答

4.求( 2 x ? 3 y) 的展开式的第三项
6

解 : 由 二 项 式 展 开 式通 的项 知 T3 ? T2?1 ? C ?2 x ?
2 6 6? 2

?3 y ?

2

? 2160x y
4

2

练习解答

5.求( 3 y ? 2 x) 的展开式的第三项
6

解 : 由 二 项 式 展 开 式通 的项 知 T3 ? T2?1 ? C ?3 y ?
2 6 6? 2

?2 x ?

2

? 4860y x
4

2

6.求 ( 2a ? 3b) 的展开式的第三项
6

的二项式系数
解 : 由 二 项 式 展 开 式通 的项 知 T3 ? T2?1 ? C ?2a ?
2 6 6? 2

?3b ?

2

? 2160 a b
4

2

由二项式系数定义知 ,展 开 式 的 第三项的二项式系数C 为 ? 15,
2 6

而展开式的第三项的数 系 为2160

小结:
( a ? b) ? C a ? C a b ? C a b ? ?
n
0 n n 1 n?1 n
r

?

2 n?2 2 n
n

?C n a
r

n? r

b ? ?? ? C n b n
r

(a ? b) 的展开式通项 T r ?1 ? C n a n? r b r的特点:
n

①项数:共n+1项,是关于a与b的齐次多项式 ②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列; b的指数从0逐项递增到n,是升幂排列。

作业: P253 (1),(2)





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什么好吃的,还不立即想着姐姐爱吃,有什么好顽的,便想着姐姐要玩,定要给姐姐送了来,着姐姐开心了,我才开心?”这些都是真的。明远 和明诗对明秀的照顾,比明柯多。但他们是哥哥姐姐,又是嫡亲的,明柯说起来只是堂弟,又是庶出,这份情意也实在是难得了。虽然他或许是 不得亲爹与母亲的宠、亲娘又靠不上,想给自己找条粗大腿抱,才投资到明秀身上,有这么个小九九在,感情搀了杂,但好歹有了感情,比那些 不懂投资、光晓得抱怨得罪人的蠢材好得多。看明柯自己收拾扬琴,明秀忙阻拦:“这样累活何用你动手?叫个人来不就完了。”“没事儿!外 头田庄里,我干的活儿还多呢!算什么?”明柯咧嘴笑,“大伯还勉励说,天欲将大任于斯人也,必先劳其体肤!四姐你瞧我的——嘿!”差点 没闪着腰。而且不知是有心还是无意,他把琴边的一个格子一拨,有片小小的纸笺从琴里滑出来,落在地上。应该是以前就夹在琴里的吧?说不 定是从前琴主人遗留的?被明柯一拨弄,就滑了出来,但奇怪的是,明柯看不见、明秀也看不见。明柯道:“四姐,那回头我叫人来抬!”明秀 亲自送他到门口,一笑回去。扬琴还摆在双螭银妆灯架边儿上,纸落在架脚,近窗。明秀拣起它来,其实并不是很旧,小小、秀丽得似春水般一 封信笺,封得郑重。明秀还未拆开,筱筱报说,表 来访。明秀便把信笺还丢在地上,足一钩,踢它到长长流苏的窗帘子底下,去见宝音,临去给 筱筱一个眼色,筱筱会意,阖了琴房的门。宝音坐在书房中。适才她来时,撞见了五少爷,行礼、问好,明柯恭贺她身子看起来大安了,她道了 谢。他又问,过几天要不要同上学塾去?指的是府中的女塾,韩毓笙若不生病卧床时,是爱去的,宝音便点点头。明柯殷勤,约好这两天帮她理 书,便先告辞去了,宝音款款行进书房,坐着品茗等四姑娘来,一边欣赏她书房景致。这书房,内外两间,鸳鸯板壁,堂心一道水磨紫檀嵌太湖 石的屏风隔开,进得屏后,壁上一卷云烟山水、两挂草字联轴,架上图书经籍、卷典册页,桌前文房四宝、香茗细点,案边珊瑚净瓶、雕漆香盒, 小窗外头,细木曲作芍药栏,一弯细泉从假山上引下来,恰似檐前飞瀑。宝音看此景致,与表 屋里比起来,何止天上地下?无怪乎刘四姨娘、明 蕙,还有不少人,争争争,吐了血都要往上争。所谓安贫乐道,除非住在深山里,心远地自偏,对红尘繁华或者能一哂置之,但明明在一座府邸 中,是一家人,待遇有这样大的差别,心可以安乐么?就算不贪图物质享受好了,单论及雅事,琴棋书画诗酒花,四姑娘也远远压过诸姐妹们去, 真的可以叫人心平么?宝音在书架上认出了许多熟悉的书本。光看着它们的封面,她就几乎可背诵出里头的内容。这儿


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