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2015届高考数学(理)基础知识总复习课时精练:第5章 第2节 等差数列及其前n项和]


第二节

等差数列及其前 n 项和

1.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差 为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由等差中项的性质知 a3=

a1+a5

2 又∵a4=7,∴d=a4-a3=2.故选 B. 答案: B

=5.

r />
2.记等差数列的前 n 项和为 Sn,若 S2=4,S4=20,则该数 列的公差 d=( ) A.2 B.3 C.6 D.7 解析: S4-S2-S2=4d=12? d=3.故选 B. 答案: B 3.(2013·深圳一模)等差数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下 表第一、二、三行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数 不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 2 3 5 第二行 8 6 14 第三行 11 9 13 则 a4 的值为( ) A.18 B.15 C.12 D.20 解析:由题意可得 a1=3,a2=8,a3=13,故此等差数列的 公差为 5,故 a4=a3+d=18,故选 A. 答案: A 4.(2013·揭阳一模)已知等差数列{an}满足,a1>0,5a8= 8a13,则前 n 项和 Sn 取最大值时,n 的值为( ) A.20 B.21 C.22 D.23

解析:设数列的公差为 d,由 5a8=8a13 得 5(a1+7d)=8(a1 3 +12d),解得 d=- a1, 61 ? 3 ? 64 ? 由 an=a1+(n-1)d=a1+(n-1)? - a = 1 ≥0,可得 n≤ ? 61 ? 3 ? ? 1 21 , 3 所以数列{an}前 21 项都是正数,以后各项都是负数, 故 Sn 取最大值时,n 的值为 21,故选 B. 答案: B 5.(2013·韶关三模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, * 且 S2=10,S5=55,则过点 P (n,an)和 Q(n+2,an+2)(n∈N )的 直线的斜率是( ) A.4 B.3 C.2 D .1 2a1+d=10, ? ? 解析:由题意知? a1+4d =55, ? 2 ? =4. ∴直线的斜率为 答案: A 6.等差数列{an}中,已知 a1=-6,an=0,公差 d∈N *,则 n(n≥3)的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.8 解析: an=a1+(n-1)d=0,∴ d= ∴n(n≥3)的最大值为 7.故选 A. 答案: A 6 * .又 d∈N , n-1

解得 a1=3,d

an+2-an =4,故答案选 A. n+2-n

π 7.设函数 f(x)=2x-cos x,{an}是公差为 的等差数列, 8 2 f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π ,则[f(a3)] -a1a5=( ) 2 2 2 π π 13π A.0 B. C. D. 16 8 16 解析:f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=(2a1-cos a1)+(2a2-cos a2)+…+(2a5 -cos a5) =5π ,即 2(a 1+a2 +…+a5) -(cos a1 +cos a2+…+cos a5)=5π , π 而{an}是公差为 的等差数列,代入 8 2(a1+a2+…+a5) -(cos a1+cos a 2+…+cos a5 )=5π , ? ? ? π? π? π? ? ? ? ? ? 即 10a3 - cos ? a - + cos a - + cos a + cos a + + 3 3 3 3 ? ? ? ? ? 4? 8? 8? ? ? ? ? ? π? π π ? cos? a =10a3-2cos +2cos +1cos a3=5π , 3+ ? ? 4? 4 8 ? ? ? π π ? ∵? 2cos + 2cos + 1 ? ?cos a3 不是 π 的倍数, 4 8 ? ? ? ? π π ?2 ∴10a3 = 5π .∴a3 = .∴[f(a3)]2 - a1a5 = ? 2× - 0 ? ? - 2 2 ? ? 2 ? π? π? ?π ?? ?π ? 13π - + = .故选 D. ?2 ? ? 4 ?? 2 4 ? 16 ? ? 答案: D 8.已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn,且 S10 = ∫3 0 (1+ 2x)dx,S20=17,则 S30 为( ) A.15 B.20 C.25 D.30
2 3 2 2 解析:S10= ∫3 0 (1+2x)dx=(x+x ) | 0=3+3 -0-0 =12,

由 S10,S20-S10,S30-S20 为等差数列,解得 S30=15. 答案: A 9.(2013·广东卷)在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=________.

解析:依题意 2a1+9d=10,所以 3a5+a7=3(a1+4d)+a1+ 6d=4a1+18d=20.或 3a5+a7=2(a3+a8)=20. 答案: 20 10. (2013·重庆卷)已知{an}是等差数列, a1=1, 公差 d≠0, Sn 为其前 n 项和,若 a1,a2,a5 成等比数列,则 S8=________. 解析:因为 a1,a2,a5 成等比数列,则 a2=a1·a5,即(1+d) =1×(1+ 4d ) , d = 2. 所以 an = 1 + (n -1)×2= 2n - 1 , S8 = a1+a8 =4×(1+15)=64. 2 答案: 64
2 2

11. (2013·洛阳统考)在等差数列{an}中, 其前 n 项和为 Sn, 且 S2 011=2 011,a1 007=-3,则 S2 012=________. 解析:∵S2 011=2 011, a1+a2 011 ∴ =2 011.得 a1+a2 011=2. 2 又∵a1+a2 011=2a1 006,∴a1 006=1. 又∵a1 007=-3, a1+a2 012 a1 006+a1 007 ∴S2 012 = = 2 2 - =-2 012. 2 答案:-2 012



12 .将正奇数排列如下表,其中第 i 行第 j 个数表示 aij(i∈N * , j∈N *) ,例如 a32 = 9 ,若 aij = 2 009 ,则 i + j = ________________. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

… 解析:由 2n-1=2 009,求得 n=1 005,由此可知将正奇 数按从小到大的顺序排列,2 009 位于第 1 005 个,而数表自上 而下,每行所放的奇数个数,恰好与行数相等,设 2 009 位于第 i 行,则 1+2+3+…+i≥1 005,且 1+2+3+…+ (i-1)≤1 i +i i i- 005, 于是得 ≥1 005 且 ≤1 005? i(1+i)≥2 2 2 010, i(i-1)≤2 010,并注意到 i∈N *,所以 i=45,而 j=1 005 + - =1 005-22×45=1 005-990 =15,故 i +j= 2 45+15=60. 答案: 60 1+an 13.已知数列{an}满足 an+1= ,n∈N *,且 a1=0. 3-an (1)求 a2,a3; ? 1 ? ?为等差数列,求 (2)若存在一个常数 λ ,使得数列 ? ?an-λ ? λ 的值; (3)求数列{an}的通项公式. 1+a1 1 1+a2 1 解析: (1)a2= = ,a3= = . 3-a1 3 3-a2 2 ? 1 ? 2 1 1 ?为等差数列,则有 (2)若? = + , a2-λ a1-λ a3-λ ?an-λ ? 将 a1,a2,a3 代入,解得 λ =1. 1+an 1+an 2an-2 (3) 由 an + 1 = , 得 an + 1 - 1 = -1= = 3-an 3-an 3-an an- , 2- an- ? 1 ? 1 1 ? 取倒数 = +? , ? an+1-1 an-1 ?-2? ? 1 1 1 即 - =- , an+1-1 an-1 2

1 ? 1 1 1 ?为等差数列, = + (n - 1)d =- 1- (n an-1 a1-1 2 ?an-1? 1 1 -1)=- n- , 2 2 n-1 整理得 an= ,n∈N *. n+1 ∴? 14.(2013·梅州二模)f(x)对任意 x∈R 都有 f(x)+f(1- 1 x)= . 2 ? ? ? * ?1? ? ?1? ? ?n-1? ? (1)求 f? ?和 f? ?+f? (n∈N )的值; ? ?2? ?n? ? n ? ?1? ? ? ? ?2? ? ?n-1? ? (2) 数列 {an} 满足: an = f(0) + f ? + f +…+ f ? ? ? ? ? ?+
?n? ?n? ?

?

n

?

f(1),数列{an}是等差数列吗?请给予证明;
4 16 2 2 2 ,Tn=b2 .试 1+b2+b 3+…+bn,Sn=32- 4an-1 n 比较 Tn 与 Sn 的大小. (3)令 bn=
?1? ? ?1? 1 1? ? ? ? 1 ? ? 解析: (1)因为 f? + f 1 - = ,所以 f ?2? ? ? ?2?=4. 2? 2 ? ? ? ? ? ?1? ? ? ? 1 1? ? ? ? 1 ?1? ? ?n-1? ? 1 令 x= ,得 f? + f 1 - = ,即 f + f ?n? ? ?n? ? n ?=2. n n? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ?1? ?2? ?n-1? ? ? ? ? ? (2)an=f(0)+f? ?+f? ?+…+f? ? ?+f(1),

?n? ?n? ? n ? ? ? ?n-1? ? ?1? 又 an=f(1)+f? +…f? ? ? ?+f(0), ? n ? ?n? ? ? ? ? ? 1? ? ?n-1? ?? ? 两式相加 2an=[f(0)+f(1)]+ ?f? ? +f? ? ?+…+[f(1) ? ? n? ? n ??

+f(0)]=

n+1
2

, 4 ,n∈N .
*

所以 an=

n+1

又 an+1-an=

- = . 4 4 4 故数列{an}是等差数列. 4 4 (3)bn= = , 4an-1 n

n+1+1 n+1 1

Tn = b

2 1

+ b

2 2

+ … + b

2

n

= 16

? 1 1 1? ? ? ?1+22+32+…+n2? ? ?

? ? 1 1 1 ? ≤16? 1 + + +…+ ? 1×2 2×3 n n- ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 1? 1? ? ? ?1 1? ? ?? =16? 1 + 1 - + - +…+ - ? ? ? ? ?n-1 n?? 2? ? ? ? ?2 3? ? ?? ? 1? 16 ? =16? 2 - = 32 - =Sn.所以 Tn≤Sn. ? ? ?

n?

n


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