当前位置:首页 >> 数学 >>

人教版-高中数学选修2-3


(a ? b) ? a ? 2ab ? b
2
2

2

(a+b)2= (a+b) (a+b)
展开后其项的形式为:a2 , ab , b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b 每个都不取b的情况有1种,即C20 ,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种,则ab前的系数为

C21 恰有2个取b的情况有C22 种,则b2前的系数为C22

(a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b
3
3 2 2

(a+b)2 = a2 +2ab+b2 =C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
3

= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3 单三步

(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)=?

问题:
1).(a+b)4展开后各项形式分别是什么? a4 a3b a2b2 ab3 b4 2).各项前的系数代表着什么?

各项前的系数代表着这些项在展开式 中出现的次数
3).你能分析说明各项前的系数吗?
单三步

3).你能分析说明各项前的系数吗?
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) a4 a3b a2b2 ab3 项
b4
都 不 取 b 取 一 个 b 取 两 个 b 取 三 个 b 取 四 个 b

系数

C0 4

C1 4

2 C4

C3 4

C4 4
单三步

(a+b)4 = C40 a4 +C41 a3b +C42 a2b2 +C43 ab3 +C44 b4

归纳提高 将(a+b)n展开的结果又是怎样呢? 发现规律: 对于(a+b)n=

(a ? b)( a ? b) ? (a ? b) ???? ? ???? ? ?
n个

的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中,恰有r个 r 括号中取b(其余括号中取a)的组合数 C n .那么, 我们能不能写出(a+b)n的展开式? 引出定理,总结特征

(a ? b) ? C a ? C a
n 0 n n 1 n

n ?1

b?C a
2 n r

n? 2

b ?
2

?C a
r n

n? r

b ?

?C b

n n n 单三步

二项展开式定理:
一般地,对于n?N*,有:

(a ? b) ? C a ? C a
n 0 n n 1 n

n ?1

b?C a
2 n r

n? 2

b ?
2 n

?C a
r n

n? r

b ?

?C b
n n

这个公式表示的定理叫做二项式定理,公式 展开式 右边的多项式叫做 (a+b) n的 , r 其中 Cn(r=0,1,2,……,n)叫做 二项式系数 , r n?r r Cn a b 叫做二项展开式的通项,用 Tr+1 表示,该项是指展开式的第 r+1 项,展开式共有 n+1 个项. T ? C r an?r br (r ? 0,1, 2, n) _____
r ?1 n

单三步

二项展开式定理:

(a ? b) ? C a ? C a b ? ? C a b ? ? C b
n 0 n n

1 n?1 n

1.项数规律: 展开式共有n+1个项 2.二项式系数规律:

(n ? N ? )

r n ?r r n

n n n

C 、C 、C 、 ? ? ?、C
0 n 1 n 2 n

n n

3.指数规律:

(1)各项的次数和均为n; (2)二项和的第一项a的次数由n逐次降到0, 第二项b的次数由0逐次升到n.

单三步

二项展开式定理:

(a ? b) ? C a ? C a b ? ? C a b ? ? C b
n 0 n n

1 n?1 n

特别地: 1、把b用-b代替 (a-b)n=

(n ? N ? )

r n ?r r n

n n n

0 n 1an-1b+ Cna -Cn

?

r n-r r r +(-1) Cna b

+? 2、令a=1,b=x
n 1 n
0 1

n n n +(-1) Cnb
2 n 2 r n r n n n

( 1 ? x) ? 1 ? C x ? C x ? ?? C x ? ?? C x
3、 C n ? C n ? ? C n ? (1 ? 1) ? 2
n

n

n
单三步

1 4 例1:展开(1+ ) x
1 4 1 1 2 1 2 3 1 3 解: (1+ ) ? 1 ? C 4 ( ) ? C 4 ( ) ? C 4 ( ) x x x x 4 6 4 1 4 1 4 ? C4 ( ) ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 . x x x x x
注:1)注意对二项式定理的灵活应用 2)注意区别二项式系数与项的系数的概念
r 二项式系数为 C n ;

项的系数为:二项式系数与数字系数的积
单三步

1 6 例2:展开(2 x ? ) ,并求第3项的 x 二项式系数和第6项的系数.

1 6 1 6 解: (2 x ? ) = 3 (2x ? 1) x x 1 6 1 5 2 4 3 3 = 3 [(2x) ? C6 (2 x) ? C6 (2 x) ? C6 (2 x) x 4 2 5 6
60 12 1 =64 x ? 192 x ? 240 x ? 160 ? ? 2 ? 3 x x x
3 2

?C6 (2x) ? C6 (2x) ? C6 ]

第三项的二项式系数为 C 2
6

? 15
5

第六项的系数为

C ? 2(?1) ? ?12
5 6

单三步

例3:(1)求(1+2x) 的展开式的第4项的系数

7

1 9 3 (2)求(x ? ) 的展开式中x 的系数和中间项 x 3 ?17?3 (2x)3 ? 280x3 解: (1)T3?1 ? C7
第四项系数为280

(2)Tr ?1 ? C x
r 9

9? r

由9 ? 2r ? 3, 得r=3.故x 的系数为(-1) C ? ?84
3 3

1 r r r 9? 2 r (? ) ? (?1) C9 x x
4 9? 4 9

中间一项是第5, 6项, T4?1 ? C x T5?1 ? C x
5 9?5 9

1 4 (? ) ? 70x x
单三步

3 9

1 5 ?70 (? ) ? x x

?x 1 ? 例4(1):试判断在 ? ? 3 ? x? ?2

8

的展开式中有

无常数项?如果有,求出此常数项;如果 没有,说明理由.
(2):由 ( 3 x ? 2 ) 展开式所得的x的 多项式中,系数为有理数的共有多少项?
3 100

单三步

?x 1 ? 例4(1):试判断在 ? ? 3 ? x? ?2

8

的展开式中有

无常数项?如果有,求出此常数项;如果 没有,说明理由.
解:设展开式中的第r+1项为常数项,则: r 8? r 8? r 24 ? 4 r ? 1 ? r r ? x? r ?1? Tr ?1 ? C8 ? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ?1? C8 ? ? ? ? x 3 x? ?2? ?2? ?
24 ? 4r ?0?r ?6 由题意可知, 3

故存在常数项且为第7项,
6 6 8

1 ? ? 常数项T ? ? ?1? ? C ? 7 ? ? ?2?

8? 6

?x ?7
0

常数项即 0项. x
单三步

(2):由 ( 3 x ? 2 ) 展开式所得的x的 多项式中,系数为有理数的共有多少项?
3 100

解: ( 3 x ? 3 2 )100 的展开式的通项公式为:
r Tr ?1 ? C100 ?

?

3x

?

100 ? r

?

? ?
3

2

r

?3

100 ? r 2

100 ? r r , 均为整数时, T 为有理数. 有理项即 2 3 整数次幂项 ? r为6的倍数, 且0 ? r ? 100. 即r为0, 6,12, ???,96, 展开式中共有17项有理项.

, , 2, , 100? ? r ? 01

r ? 2 ? C100 ? x100? r

r 3

点评:求常数项、有理项等特殊项问题一般由 通项公式入手分析,综合性强,考点多且对思 单三步 维的严密性要求也高.

练习:

x 3 9 1、求 ( ? ) 的展开式常数项 3 x
解:
r 9 1 9? r ? r 2

x 9?r 3 r r 1 9?r r Tr ?1 ? C ( ) ( ) ? C9 ( ) 3 x 3 3 x 1 由9-r- r ? 0得r ? 6. 2
1 9?6 6 T7 ? C ( ) 3 ? 2268 3
6 9

单三步

x 3 9 ) 的展开式的中间项 2、求 ( ? 3 x
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项 3 4 4 x 9? 4 3 T5 ? T4?1 ? C9 ( ) ( ) ? 42 x 3 x

x 9 ?5 3 5 T6 ? T5?1 ? C ( ) ( ) ? 42 x 3 x
5 9

3 2

单三步

课堂小结:
①二项式定理是初中多项式乘法的延 伸,又是后继学习概率的基础,要理解和 掌握好展开式的规律,利用它对二项式展 开,进行相应的计算与证明; ②要注意“系数”、“二项式系数” 等概念的区别与联系,对二项式展开式的 特征要分析清楚,灵活正用、逆用展开式.
单三步

课后作业
? 完成“168试卷”专题十二

单三步

单三步


相关文章:
人教版高中数学选修2-3课后习题解答(...
人教版高中数学选修2-3课后习题解答(..._数学_高中教育_教育专区。新课程标准数学选修 2—3 第一章课后习题解答第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步...
人教版高中数学选修2-3全部教案
高中数学教案选修全套 人教版 选修 2-3 第一章 第二章 第三章 计数原理 1.1分类加法计数原理与分部乘法计数原理 探究与发现 子集的个数有多少 1.2排列与...
人教版高中数学选修2-3课后习题参考答案
人教版高中数学选修2-3课后习题参考答案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 人教版高中数学选修2-3课后习题参考答案_数学_高中教育_教育...
高中数学选修2-3课后习题答案[人教版]
高中数学选修2-3课后习题答案[人教版]_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学选修2-3课后习题答案[人教版] 高中数学选修 2-3 课后习题答案[人教版] 第 1...
高二数学人教版选修2-3测试卷及答案
高二数学人教版选修2-3测试卷及答案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高二数学人教版选修2-3测试卷及答案_数学_高中教育_教育专区。...
人教版高中数学知识点总结:新课标人教A版高中数学选修2-3知识点总结
人教版高中数学知识点总结:新课标人教A版高中数学选修2-3知识点总结_数学_高中...2}和{y1, y2},其样本频数列联表为: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b...
高中数学全套教案新人教版选修2-3
高中数学全套教案新人教版选修2-3_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高中数学全套教案新人教版选修2-3_数学_高中教育_教育专区。高中...
人教版高中数学选修2-1、2-2、2-3课后习题参考答案
人教版高中数学选修2-1、2-2、2-3课后习题参考答案_数学_高中教育_教育专区...,所以 ? ?(3.2) ? 20? . 8 因此,车轮在开始转动后第 3.2 s 时的...
高中数学(人教版)选修2-3教学设计:1.2.2组合
高中数学(人教版)选修2-3教学设计:1.2.2组合_数学_高中教育_教育专区。高中数学(人教版)选修2-3教学设计 1.2.2 组合教学目标: 知识与技能:理解组合的意义,...
更多相关标签:
人教版高中数学选修 | 高中数学人教版选修22 | 人教版高中数学选修21 | 人教版高中数学选修32 | 人教版高中数学选修11 | 人教版高中化学选修3 | 人教版数学选修2 3 | 人教版高中物理选修31 |