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高一数学指数函数及其性质导学案1


2.1.2《指数函数及其性质》教案
一、学习目标 1.了解指数函数的背景,以及与实际生活的联系。 2.理解指数函数概念。 3.能画出具体指数函数的图象,掌握指数函数的性质。. 二、新课导学 探究一:指数函数的概念 1 2 问题 1:细胞分裂时,第一次由 1 个分裂成 2 个(即 2 ) ,第 2 次由 2 个分裂成 4 个(即 2 ) ,第 3 次 由 4 个分裂成 8

个(即 2 ) ,如此下去,如果第 x 次分裂得到 2 个细胞,那么细胞个数 y 与次数 x 的函数关 系式是 y ? 2 ( x ? N )
x *
3 x

问题 2: 《庄子· 天下篇》中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”请你写出截取 x 次后,木棰剩余量 y 关于 x 的函数关系式是 y ? ( ) ( x ? N )
x *

1

2

思考: 以上两个函数关系式有何共同特征? (1)均为幂的形式, (2)底数是一个正的常数(3)X 在指数的位置(4)幂的系数为 1 指数函数的定义 一般地,函数 y ? a ( a ? 0 , 且 a ? 1) 叫做指数函数, x 是自变量,函数的定义域为 x ? R 。
x

思考:1、底数 a 为何要规定“ a ? 0 , 且 a?? ) 如 :( 2

2 1 ”?

?

1

?

1 2

,0

当 a ? 0 时,ax 有些会没有意义; 当 a=1 时,函数值 y 恒等于 1,没有研究价值
(1) y ? 1 .0 7 3 ;
x ?x

(2) y ? 3 (4) y ? 4

; (3) y ? ?

x

? 1;
x

? x?3

; (5 ) y ? b ;
x

(6 ) y ? ( ? 4 ) ; (7 ) y ? ? 4 ;
x

1 ? x ? (9 ) y ? ( 2 a ? 1) ? a ? 且 a ? 1 ? 2 ? ?

.

练习:1、下列函数是指数函数的序号为 (1) (9) (2) 练习 2: 已知函数 y ? ( a ? 3 a ? 3 ) ? a 是指数函数,则 a ? 2
2 x

探究二:指数函数的图像与性质。 一般来说,函数与图像紧密联系,图像可反映函数的性质。 研究步骤:利用列表法的三个步骤(列表,描点,连线)画图,通过图像发现并归纳性质 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、奇偶性
x x 1.画出指数函数 y ? 2 、 y ? 3 和 y ?

1 2

x

,y ? 1

1 3

x

和的图像。 2

x

-2

-1

0

y ? 2 y ? 3

x

1 4
1 9

1 2
1 3

1 1

2 3

4 9

x

?1? y ? ? ? ?2?

x

4

2

1

1 2

1 4

?1? y ? ? ? ?3?

x

9

3

1

1 3

1 9

x x 思考:不用描点法,能否利用 y ? 2 与 y ? 3 的图像把 y ?

1 2

x

与y ?

1 3

x

图像作出来?

通过图像,分析以下问题: 问题 1、图象分别在哪几个象限?Ⅰ、Ⅱ象限 问题 2、图象的上升、下降与底数 a 有联系吗?当底数 A>1 时图象上升;当底数 0<A<1 时图象下降. 问题 3、图象中有哪些特殊的点? 四个图象都经过点(0,1) 问题 4、指数函数 y ?
1 2 1 2
x x

图像是否具有对称性? 不关于 Y 轴对称不关于原点中心对称

x 问题 5、函数 y ? 2 与 y ?

图象有什么关系 ? 关于 Y 轴对称

思考:按照什么分类标准,可以把指数函数图像分类研究?

2.通过比较,会发现指数函数 y ? a ( a ? 0 , 且 a ? 1 )的图像和性质如下:
x



a >1

0< a <1



y

y

0 1 -

y

0 1 -

0 定义域 值域 定点 性 质 单调性 函数值 的变化 奇偶性

指数函数:
x

0

y=a0x
x

0

(a >0且
y=ax
(a>1)

R

( 0 , ?? )

a>1
y
在 R 上是减函数 当 x >0 时, 0 ? y ? 1 当 x <0 时, y ? 1

过定点 ( 0 ,1) ,即 x = 0 时, y = 1 在 R 上是增函数

图 象
0

当 x >0 时, y ? 1 当 x <0 时, 0 ? y ? 1 非奇非偶

y=1

(0,1)

记忆口诀:左右无限上冲天,永与横轴不沾边,大于 1 增,小于 1 减,图像恒过(0,1)点 例 1:已知指数函数 f(x)的图象经过点(3,π ),求 f(0)、f(1)、f(-3)的值.
1

a ??

3

f ?0 ? ? π

? 1 ,f ?1 ? ? π 3 ?

1

0

x

3

思考:确定一个指数函数需要什么条件?待定系数法 例 2: 比较下列各题中两值的大小: (1) 1 . 7
2 .5

与1 .7

3

(2) 0 . 8 -0 . 1 与 0 . 8 -0 . 2
-0 .3


0 .3

(4 (3) 1 ) 与(
3 .1

( (5 0 . 3) 与( 0 . 2)

-0 .3

(6) 1 . 7

与 0 .9


练习:已知下列不等式 , 比较 m,n 的大小 : (1) 2
m

定义域: R 值 域: (0,+ 必过 点: 0 , 1 ) ,即 (
0 .8 1 2

π ,f ? ? 3 ? ? π

?1

?

1 π

.



1 .8

( (4

8 7

)7 与(

-3

7 8

12 )

5

在 R 上是 增函数
m

? 2

n

m n (2) 0 .-2 ? 0 . 2

(3) a

? a ( a ? 0 , a ? 1)
n

思考:比较两个指数有那两种方法?①构造函数法 ②搭桥比较法 三、小结与收获: 1. 本节课学习了指数函数的定义,图象及其性质。 2. 数形结合的方法记忆指数函数的性质,所以记住两个基本图形是关键。

四、课后练习 1.下列函数中,指数函数的个数是( ① y ? 2 ?3 A,0
x


x

②y ? 3 C,2
x ?1

x ?1

③y ? ? D,3

?2? ? ?3?

④y ? x

2

⑤ y ? 2 ? 1 ⑥ y ? ( ? 3)
x

x

B,1

2. (1)函数 y ? 3

的定义域是___________, (2)函数 y ? 3

?x

? 1 的定义域是___________________,值

域是_________________。 3.比较大小 (1) 0 . 9 _______
?

0 .9

3 . 14

(2) 0 . 2
x

?3

_______

3

? 0 .2

4.已知 0 ? a ? 1, b ? ? 1 ,则函数 y ? a ? b 不经过( A,第一象限
|x|



B,第二象限

C,第三象限 )

D,第四象限

5.函数 y ? a ( a ? 1) 的图像是( y y

y

y

0 A

x

0 B

x

0 C
x

x

0 D

x

6.已知 f ( x ) 是偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? 10 ,则当 x ? 0 时, f ( x ) 等于(
? 1 ? B, ? ? ? 10 ?
x



A, 10

x

C, ? 10

x

? 1 ? D, ? ? ? ? 10 ?

x


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