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北京市宣武区2012-2013学年度第一学期期中检测高三数学(文)


北京市宣武区 2012-2013 学年度第一学期期中检测

高三数学(文)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题

共 40 分)

一、选择题(本大题共有 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在

每小题给出的四个选项中, 有且只有一个是符合题目要求的) 1.设 S 为全集, B ? A ? S ,则下列结论中正确的是 A. C S A ? C S B B. A ? B ? B C. A ? CS B) ? ( ? ( D. A ? B ? S )

2.设 a, b ? R ,则命题 p : a ? b 是命题 q : A. 充分不必要条件 C. 充要条件

a2 ? b2 ? ab 成立的 2
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件





3. 集合 P ? { x | x ? 2 k , k?Z},若对任意的 a, b ? P 都有 a * b ? P ,则运算*不可能 是 ... ( A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法 ( D. 99 ( D. y ? ?3 x ? 2 ( D. ?? 1, 8? ( ) ) ) ) )

4.已知等差数列{ an }中, a2 ? a14 ? 16, a4 ? 2, 则 S11 的值为 A. 15
3 2

B.33

C.55

5.曲线 y ? x ? 3x ? 1 在点 (1,?1) 处的切线方程为 A. y ? 3x ? 4 6. 函数 y ? 3 A. ?2, 8?
x

B. y ? 4 x ? 5

C. y ? ?4 x ? 3

则函数的值域为 ? 1的定义域为 ?? 1, 2? , B. ?0, 8? C. ?1, 8?

7. 在 Δ ABC 中,若 cos2B ? 3 cos(A ? C ) ? 2 ? 0, 则 sin B 的值是

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D. 1

高三数学(文) (共 8 页) 第 1 页

8. 已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的部分对应值如下表所示, 则不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解
2

集为 (



x
y

-2 -5

-1 0

0 3

1 4

2 3

3 0

4 -5

5 -12

A. ?0,? 3 C. ?? 1 3? ,

B. ?? ?, 1? ? ?3 ? ?? ? , D. ?? ?,? ? ?3 ? ?? 0 ,

第 II 卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)

?? 1 ? x 1 ?? ? ( x ? 0) , 则 f [ f ( )] = 9 . 设函数 f ( x) ? ?? 5 ? 3 ?log x( x ? 0) ? 3

.

10. 函数 f ?x ? ? 2 x 2 ? kx ? 3 在 ?2, ? ?? 上是增函数,则 k 的取值范围是 11. 设 a1 ? 1, 数列{2 an ? 1 }是公比为 ? 2 的等比数列,则 a6 ?
2

. .

12. 曲线 f ( x) ? ax ? bx ? c ?a ? 0, b, c ? R ? 通过点 P 0, 2a ? 8 ,在点 Q ?? 1, f ?? 1??
2

?

?

处的切线垂直于 y 轴,则 13.若 0 ? a ? 1 , 14.下列命题中:

c 的最小值为 b

.
x cos x 1 ? a ? ? 的值是 cos x a x ? 1

?
2

? x ? ? ,则

?a ? x ?2
x?a

.

①若函数 f ( x ) 的定义域为 R,则 g ( x) ? f ( x) ? f ( ?x) 一定是偶函数; ②直线 x ?

?
2

是函数 y ? sin( 2 x ?

?
2

) 图像的一条对称轴;

, ③若 1 a, b, c, 4 这五个数组成一个等比数列,则 b ? ?2 ;

?x ? y ? 0 ? ④若实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 x ? y 的最大值是 6; ? x ? ?2 ?
其中正确的命题序号是 .
高三数学(文) (共 8 页) 第 2 页

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 80 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 13 分) 已知 tan ? ? 2 . 求: (Ⅰ) tan? ? ?

? ?
2

?? ? 的值; 4?
2

(Ⅱ) sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? 的值.

高三数学(文) (共 8 页) 第 3 页

16. (本题满分 13 分) 若 k ? R ,求解关于 x 的不等式

x2 (k ? 1) x ? k ? . 2? x 2? x

高三数学(文) (共 8 页) 第 4 页

17. (本题满分 13 分) 已知: f ?x? ? 2 3 cos2 x ? sin 2x ? 3 ? 1 ? x ? R ? . 求: (Ⅰ) f ?x ? 的最小正周期; (Ⅱ) f ?x ? 的单调增区间; (Ⅲ)若 x ? [ ?

? ?
4
,

4

]时,求 f ?x ? 的值域.

高三数学(文) (共 8 页) 第 5 页

18.(本题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? 3n , 数列 {bn } 满足

b1 ? ?1, bn?1 ? bn ? (2n ? 1) n ? N ? .
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an ; (Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式 bn ; (Ⅲ)若 cn ?

?

?

an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . n

高三数学(文) (共 8 页) 第 6 页

19.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? (c ? 3a ? 2b) x ? d 的图像 如图所示. (Ⅰ)求 c, d 的值; (Ⅱ)若函数 f (x) 在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 , 求函数 f (x) 的解析式; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 m ,使得 y ? f ?x ? 的图像与 y ?

1 f ?? x ? ? 5 x ? m 3

的图像有且只有三个不同的交点?若存在,求出 m 的取值范围,若不存在,说明理由.

高三数学(文) (共 8 页) 第 7 页

20. (本题满分 14 分)

a ? ?0.1 ? 15ln a ? x , x ? 6 ? 有时可用函数 f ? x ? ? ? 描述学习某学科知识的掌握程度. ? x ? 4.4 , x?6 ? x?4 ?
其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N * ) f ( x ) 表示对该学科知识的掌握程度,正实数 ,

a 与学科知识有关.
(Ⅰ)求 f ?8? 的值; (Ⅱ)证明:当 x ? 7 时,掌握程度的增长量 f ?x ?1? ? f ?x ? 总是下降; (Ⅲ)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121],(121,127], (127,133] .当学习某学科知识 6 次时, 掌握程度是 85%, 请确定相应的学科. e (
0.04

? 1.04,

e 0.05 ? 1.05, e 0.06 ? 1.06; )

高三数学(文) (共 8 页) 第 8 页

北京市宣武区 2009~2010 学年度第一学期期中检测

高三数学(文)参考答案及评分标准
2009.11 一、选择题: (本大题共有 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 D 6 B 7 C 8 C

二、填空题: (本大题共有 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 题号 答案 9 5 10 11 12 4 13 1 14 ①②

?? ?,? 8

?

31 2

三、解答题:本大题共有 6 个小题,共 80 分;解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤 15.(本题满分 13 分) 解: (Ⅰ) tan? ? ?

? ?

? ? tan ? ? 1 1 ? ; ?= 4 ? 1 ? tan ? 3
2

-----------------------------6 分

(Ⅱ) sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?
2

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ?



tan 2 ? ? tan ? ? 2 4 ? 2 ? 2 4 = ? . ----------------------------13 分 4 ?1 5 tan 2 ? ? 1

16. (本题满分 13 分)

x2 (k ? 1) x ? k x 2 ? (k ? 1) x ? k ? , 可化为 ?0 解: 不等式 2? x 2? x 2? x 即 ( x ? 2)(x ? 1)(x ? k ) ? 0. -----------------------------------5 分 当 k ? 1 时, x ? ?k,? ? ?2,??? ; 1 当 k ? 1 时, x ? ?2, ? ?? ; 当 1 ? k ? 2 时, x ? ?1 k ? ? ?2, ? ?? ; , 当 k ? 2 时, x ? ?1 2? ? ?k , ? ?? ; ,
-------------------------------------13 分 17. (本题满分 13 分) 解: f ?x ? ? sin 2x ? 3(2 cos2 x ? 1) ? 1

? sin 2 x ? 3 cos2 x ? 1

高三数学(文) (共 8 页) 第 9 页

? ? 2 sin( 2 x ? ) ? 1 --------------------------------------- 4 分 3 2? ?? (Ⅰ)函数 f(x)的最小正周期为 T ? ------------------ 5 分 2
(Ⅱ)由 2k? ? 得 2k? ?

?

5? ? ? 2 x ? 2k? ? 6 6 5? ? ? x ? k? ? , ? k? ? 12 12

2

? 2x ?

?

3

? 2k? ?

?

2

(k ? Z )

5? ?? ? , k? ? ?, (k ? Z ) .-----------------9 分 ? 函数 f (x) 的单调增区间为 ?k? ? 12 12? ?
(Ⅲ)因为 x ? ??

? ? ? 5? ? ? ? ?? , ? ,? 2 x ? ? ?? , ? , 3 ? 6 6? ? 4 4?
-----------------------------------13 分

? sin(2 x ?

?

? 1 ? ) ? ?? ,1? ,? f ( x) ? ?0, 3? . 3 ? 2 ?

18. (本题满分 13 分)解: (Ⅰ)∵ S n ? 3n , ∴ S n?1 ? 3n?1 , (n ? 2) . ∴ an ? S n ? S n?1 ? 3n ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 ?n ? 2? . 当 n ? 1 时, 2 ? 31?1 ? 2 ? S1 ? a1 ? 3 , ∴ an ? ?

?n ? 1? n ?1 ?2 ? 3 ?n ? 2 ?
?3

------------------------------4 分

(Ⅱ)∵ bn?1 ? bn ? (2n ? 1) ∴ b2 ? b1 ? 1 ,

b3 ? b2 ? 3 , b4 ? b3 ? 5 ,
………

bn ? bn?1 ? 2n ? 3 ,
高三数学(文) (共 8 页) 第 10 页

以上各式相加得

bn ? b1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? (2n ? 3) ?
∵ b1 ? ?1 , ∴ bn ? n 2 ? 2n . (Ⅲ)由题意得 cn ? ? 当 n ? 2 时,

(n ? 1)(1 ? 2n ? 3) ? (n ? 1) 2 . 2
-----------------------9 分

?n ? 1? n ?1 ?2?n ? 2?3 ?n ? 2?
?? 3

Tn ? ?3 ? 2 ? 0 ? 31 ? 2 ?1? 32 ? 2 ? 2 ? 33 ? ? ? ? ? 2(n ? 2) ? 3n?1 ,
∴ 3Tn ? ?9 ? 2 ? 0 ? 32 ? 2 ? 1? 33 ? 2 ? 2 ? 34 ? ? ? ? ? 2(n ? 2) ? 3n , 相减得: ? 2Tn ? 6 ? 2 ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? ? ? 2 ? 3n?1 ? 2(n ? 2) ? 3n

Tn ? (n ? 2) ? 3n ? 3 ? 32 ? 33 ? ... ? 3n?1
= (n ? 2) ? 3 ?
n

?

?

3n ? 3 ?2n ? 5?3 n ? 3 ? . 2 2

n ?1 ?? 3 ?2n ? 5?3 n ? 3 ( n ? N ? ). ? ? ∴ Tn ? ? ?2n ? 5?3 n ? 3 2 n?2 ? 2 ?
19. (本题满分 14 分) 解: 函数 f (x) 的导函数为

--------------13 分

f ' ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 3a ? 2b

(Ⅰ)由图可知 函数 f (x) 的图像过点(0,3) ,且 f ' (1) ? 0

?d ? 3 得 ? ?3a ? 2b ? c ? 3a ? 2b ? 0
(Ⅱ)依题意

?d ? 3 ?? ?c ? 0

---------------4 分

f ' (2) ? ?3 且 f (2) ? 5

?12a ? 4b ? 3a ? 2b ? ?3 ? ?8a ? 4b ? 6a ? 4b ? 3 ? 5
解得 a ? 1, b ? ?6 所以 f ( x) ? x 3 ? 6x 2 ? 9x ? 3
高三数学(文) (共 8 页) 第 11 页

----------------9 分

(Ⅲ) f ?( x) ? 3x 2 ? 12x ? 9 . 可转化为: x 3 ? 6x 2 ? 9x ? 3 ? x 2 ? 4x ? 3 ? 5x ? m 有三个不等实根, 即: g ?x ? ? x 3 ? 7 x 2 ? 8x ? m 与 x 轴有三个交点;

?

?

g ??x? ? 3x 2 ? 14x ? 8 ? ?3x ? 2??x ? 4?,

x

2? ? ? ? ?, ? 3? ?
+ 增

2 3
0 极大值

?2 ? 4 ? ,? ?3 ?


4

?4, ?? ?
+ 增

g ?? x ?
g ?x ?

0 极小值

? 2 ? 68 g? ? ? ? m, g ?4? ? ?16 ? m . ? 3 ? 27
当且仅当 g ? ? ? 故而, ? 16 ? m ?

---------------12 分

?2? ?3?

68 ? m ? 0且g ?4? ? ?16 ? m ? 0 时,有三个交点, 27
68 为所求. 27
-------------14 分

20.(本题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ?8? =0.9. ------------------------------------------------------2 分

证明: (Ⅱ)当 x ? 7 时, f ( x ? 1) ? f ( x) ?

0.4 ( x ? 3)( x ? 4)

而当 x ? 7 时,函数 y ? ( x ? 3)( x ? 4) 单调递增,且 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0 故函数 f ( x ? 1) ? f ( x) 单调递减, 当 x ? 7 时,掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降. -----------------------7 分
21 世纪教育网

(Ⅲ)有题意可知 0.1 ? 15ln 解得 a ?

a a ? 0.85 ,整理得 ? e0.05 a?6 a?6

e 0.05 ? 6 ? 21? 6 ? 126? ?121127? ,由此可知,该学科是乙学科. -------14 分 , e 0.05 ? 1
高三数学(文) (共 8 页) 第 12 页


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