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2013贵州大学附中高考数学复习单元练习:圆锥曲线与方程)


2013 贵州大学附中高考数学一轮复习单元练习--圆锥曲线与方程 I 卷 一、选择题 1.下列命题中假命题是(



A.离心率为 2的双曲线的两渐近线互相垂直 B.过点(1,1)且与直线 x-2y+ 3 =0 垂直的直线方程是 2x + y-3=0 C.抛物线 y2 = 2x 的焦点到准线的距离为 1

x 2 y2

25 2 2 D. 3 + 5 =1 的两条准线之间的距离为 4
【答案】D

l:y?
2. 已知直线 是 ( )

1 1 x?m C:y? | 4 ? x2 | 2 2 与曲线 仅有三个交点,则实数 m 的取值范围

A. (?2, 2) B. (? 2, 2) 【答案】C

C. (1, 2)

D. (1, 3) )

3.直线 x+y+ 2=0 截圆 x2+y2=4 所得劣弧所对圆心角为( π π A. 6 B . 3 π C. 2 2π D. 3

【答案】D 4.与两圆 x2+y2=1 及 x2+y2-8x+12=0 都外切的圆的圆心在( A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D.一个圆上

)

图 17-1 【答案】B x2 y2 5.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲 线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A.(1,2) B.(-1,2) C.(2,+∞) D.[2,+∞) 【答案】D )

x2 y2 6.过点 P(-3,0)的直线 l 与双曲线16- 9 =1 交于点 A,B,设直线 l 的斜率为 k1(k1≠0),弦 AB 的中点为 M,OM 的斜率为 k2(O 为坐标原点),则 k1?k2=( 9 3 16 A.16 B.4 C. 9 D.16 【答案】A x2 y2 7.设双曲线a2- 9 =1(a>0)的渐近线方程为 3x±2y=0,则 a 的值为( A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 8.与圆 x2+y2-2y-1=0 关于直线 x-2y-3=0 对称的圆的方程是( 1 A.(x-2)2+(y+3)2=2 B.(x-2)2+(y+3)2=2 1 C.(x+2)2+(y-3)2=2 D.(x+2)2+(y-3)2=2 【答案】B x2 y2 9.若直线 mx+ny=4 与圆 O:x2+y2=4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆 9 + 4 =1 的交点个数为( ) A.至多一个 B.2 C.1 D.0 【答案】B x2 y2 10.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的距离为 4,且双 曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( A.2 3 C.4 3 【答案】B B.2 5 D.4 5 ) ) )

)

2 11.已知直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 C: y ? 8x 相交 A、B 两点,F 为 C 的焦点。若

FA ? 2 FB
1 A. 3
【答案】D

,则 k=

2 2 B) 3 C. 3

2 2 D. 3
2

12.已知直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 C: y ? 8 x 相交 A、B 两点,F 为 C 的焦点.若

FA ? 2 FB

,则 k=(



1 A. 3

2 2 B . 3 C. 3

2 2 D. 3

【答案】D

II 卷 二、填空题 x2 y2 13.双曲线 n - =1 的渐近线方程为 y=±2x,则 n=________. 3-n 3 【答案】5 5 x2 y2 14.两个正数 a、b 的等差中项是2,一个等比中项是 6,且 a>b,则双曲线a2-b2=1 的离心 率 e 等于________. 【答案】 13 3

1 15.如图,过抛物线 y=4x2 的焦点的直线交抛物线与圆 x2+(y-1)2=1 于 A、B、C、D 四点, 则 AB?CD=______.

【答案】1

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 16. 椭圆 a 的离心率为 2 ,若直线 y ? kx 与其一个交点的横坐标为
b ,则 k 的值为
?
【答案】

2 2

三、解答题 17.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1⊥MF2; (3)求△F1MF2 的面积. c 【答案】(1)由 e= 2? a= 2? c2=2a2? a2=b2. 设双曲线方程为 x2-y2=λ , 将点(4,- 10)代入得:λ =6, 故所求双曲线方程为 x2-y2=6. (2)∵c2=12,∴焦点坐标为(±2 3,0) 将 M(3,m)代入 x2-y2=6 得:m2=3. 当 m= 3时,=(-2 3-3,- 3), =(2 3-3,- 3) ∴?=(-3)2-(2 3)2+(- 3)2=0, ∴MF1⊥MF2, 当 m=- 3时,同理可证 MF1⊥MF2. 1 1 (3)S△F1MF2=2?|2c|?|m|=2?4 3? 3=6. 18.如图 16-3,已知点 D(0,-2),过点 D 作抛物线 C1:x2=2py(p>0)的切线 l,切点 A 在第 二象限,如图 16-3. (1)求切点 A 的纵坐标; 3 x2 y2 (2)若离心率为 2 的椭圆a2+b2=1(a>b>0)恰好经过切点 A,设切线 l 交椭圆的另一点为 B,记 切线 l,OA,OB 的斜率分别为 k,k1,k2,若 k1+2k2=4k,求椭圆方程.

图 16-3 x2 0 x0 x0 x2 0 【答案】(1)设切点 A(x0,y0),且 y0=2p,由切线 l 的斜率为 k= p ,得 l 的方程为 y= p x-2p, 又点 D(0,-2)在 l 上, x2 0 ∴2p=2,即切点 A 的纵坐标为 2. (2)由(1)得 A(-2 p,2),切线斜率 k=- 2 , p

3 设 B(x1,y1),切线方程为 y=kx-2,由 e= 2 ,得 a2=4b2, x2 y2 所以设椭圆方程为4b2+b2=1,且过 A(-2 p,2), ∴b2=p+4.

?y=kx-2, ? 由? ? (1+4k2)x2-16kx+16-4b2=0, ? ?x2+4y2=4b2

y0 2y1 x1y0+2x0y1 k1+2k2=x0+ x1 = = x0x1

将 k=-

2 ,b2=p+4 代入得 p=32,所以 b2=36,a2=144, p

x2 y2 所以椭圆方程为144+36=1.

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 19.已知椭圆 C : a 的离心率为 3 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构
5 2 成的三角形的面积为 3 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点.

1 ①若线段 AB 中点的横坐标为 2 ,求斜率 k 的值; ? 7 M ( ? , 0) 3 ②已知点 ,求证: MA ? MB 为定值.

x2 y 2 c 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 2 2 2 b 3 , 【答案】 (Ⅰ)因为 a 满足 a ? b ? c , a
x2 y 2 ? ?1 5 5 1 5 2 5 2 2 a ? 5, b ? ? b ? 2c ? 3 3 ,则椭圆方程为 2 3 。解得

x2 y 2 ? ?1 5 5 3 (Ⅱ) (1)将 y ? k ( x ? 1) 代入 中得

(1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 ? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 48k 2 ? 20 ? 0
6k 2 x1 ? x2 ? ? 2 3k ? 1 6k 2 1 1 3 ? 2 ?? k ?? 2 ,解得 3 因为 AB 中点的横坐标为 2 ,所以 3k ? 1
?

6k 2 3k 2 ? 5 x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? 2 3k ? 1 , 3k ? 1 (2)由(1)知
7 7 7 7 MA ? MB ? ( x1 ? , y1 )( x2 ? , y2 ) ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 3 3 3 3 所以 7 7 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 3 3 7 49 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? ? k2 3 9

? (1 ? k 2 )

3k 2 ? 5 7 6k 2 49 2 ? ( ? k )( ? ) ? ? k2 2 2 3k ? 1 3 3k ? 1 9

?

?3k 4 ? 16k 2 ? 5 49 4 ? ? k2 ? 2 9 3k ? 1 9

20.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值. 【答案】(1)曲线 y=x2-6x+1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为(3+2 2,0),(3-2 2, 0). 故可设 C 的圆心为(3,t),则有 32+(t-1)2=(2 2)2+t2,解得 t=1. 则圆 C 的半径为 32+(t-1)2=3. 所以圆 C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:

消去 y,得到方程 2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0. 由已知可得,判别式△=56-16a-4a2>0.

由韦达定理得 a2-2a+1 x1+x2=4-a,x1x2= . 2 ①

由于 OA⊥OB,可得 x1x2+y1y2=0.又 y1=x1+a,y2=x2+a,所以 2x1x2+a(x2+x2)+a2=0. ② 由①,②得 a=-1,满足Δ >0,故 a=-1. 21.已知向量 m1 =(0,x) , n1 =(1,1) , m 2 =(x,0) , n2 =(y2,1) (其中 x,y 是实数) , 又设向量 m = m1 + 2 n2 , n = m 2 - 2 n1 ,且 m n ,点 P(x,y)的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求曲线 C 的方程;

4 2 (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 M、N 两点,当|MN|= 3 时,求直线 l 的方程.
【答案】 (I)由已知, m

? (0, x) ? ( 2 y2 , 2), ? ( 2 y2 , x ? 2),
2 ).

) ( 2 , ?2 x )? ( ? 2 , n ? ( x , 0?
2 m / /n ? , 2 y (? 2 )? x( ?

2x ) (?

2?)

0

x2 ? y 2 ? 1. 2 即所求曲线的方程是:

? x2 ? ? y 2 ? 1, 消去y得 : (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kx ? 0. ?2 ? y ? kx ? 1. (Ⅱ)由 ?

? 4k ( x1 , x 2 2 解得 x1=0, x2= 1 ? 2k 分别为 M,N 的横坐标). | MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x 2 |? 1 ? k 2 | 4k 4 |? 2, 2 3 1 ? 2k



解得 : k ? ?1.
所以直线 l 的方程 x-y+1=0 或 x+y-1=0. x2 y2 3 22.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 3 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两 2 点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 2 . (1)求 a,b 的值; (2)C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP = OA + OB 成立?若存在,求 出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由.

【答案】(1)设 F(c,0),当 l 的斜率为 1 时, |0-0-c| c 其方程为 x-y-c=0,O 到 l 的距离为 = , 2 2 故 c 2 = 2 ,c=1. 2

c 3 由 e=a= 3 ,得 a= 3,b= a2-c2= 2. (2)C 上存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时, 有 OP = OA + OB 成立. 由(1)知 C 的方程为 2x2+3y2=6. 设 A(x1,y1),B(x2,y2). ①当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=k(x-1). C 上的点 P 使 OP = OA + OB 成立的充要条件是 P 点的坐标为(x1+x2, y1+y2), 且 2(x1+x2)2 +3(y1+y2)2=6, 整理得 2x2 1+3y2 1+2x2 2+3y2 2+4x1x2+6y1y2=6. 又 A、B 在 C 上,即 2x2 1+3y2 1=6,2x2 2+3y2 2=6. 故 2x1x2+3y1y2+3=0. 将 y=k(x-1)代入 2x2+3y2=6,并化简得 (2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0, 3k2-6 6k2 于是 x1+x2= ,x1?x2= , 2+3k2 2+3k2 -4k2 y1 ? y2=k2(x1-1)(x2-1)= . 2+3k2 3 代入①解得,k2=2.此时 x1+x2=2. k 3 k 于是 y1+y2=k(x1+x2-2)=-2,即 P(2,-2). 3 2 因此,当 k=- 2时,P(2, 2 ), 3 2 l 的方程为 2x+y- 2=0;当 k= 2时 ,P(2,- 2 ), l 的方程为 2x-y- 2=0. ②当 l 垂直于 x 轴时,由 OA + OB =(2,0)知,C 上不存在点 P 使 OP = OA + OB 成立. 3 2 综上,C 上存在点 P(2,± 2 )使 OP = OA + OB 成立,此时 l 的方程为 2x±y- 2=0.



(8 分)


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