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二项式定理


美 丽 的 校 园

10.4 二 项 式 定 理
二项式系数的性质
1 1 1 1 1 1 3 2 3 1 1 1
新余四中高二数学组 彭晨艳

4 6 4 1 5 10 10 5 1

r Cn ,

0 2 r n n c n , c 1 , c n , c n

, c n ?1 , c n n

复习回顾: 复习回顾:
二项式定理及展开式: 二项式定理及展开式:
0 1 2 n r n +b)= Cn anb0 +Cnan?1b1 + Cn an?2b2 +L+ Cn an?rbr +L+Cn a0bn (a


0 n


1 n 2 n

T r +1 = C a
r n
……

n?r

b

r

二项式系数

C ,C ,C ,

C ,

r n

……

, C

n?2 n

n C ,n , C

n ?1 n

二项式系数的性质
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
C
0 6
0 4

C 10
C
0 2

C 11
C
1 2

1
C
2 2

1 2 1 3 6 4 5 6 1 1 1 1

1 1 1
5 5

1 C 30 C 3

C 32 C 33 C
3 5

3 4

C
C
0 5

1 C 4 C 42
1 5

3 4

C 44
4 5

C
1 6

C
2 6

2 5

C
3 6

C
4 6

C
5 6

1
6 6

5 10 10 6 15 20 15

C

C

C

C

C

C

1

C =1
0 n

二项式系数表

《详 解 九 章 算 法 》 记 载 的 表

杨辉 三角

以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉 杨辉1261年所著的《详解九章 年所著的《 以上二项式系数表 早在我 国南宋数学家杨辉 年所著的 算法》一书里就已经出现了,这个表称为杨辉三角。 详解九章算法》 算法》一书里就已经出现了,这个表称为杨辉三角。在《详解九章算法》 一书里,还说明了表里“ 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 每一个数都等于它肩上两个数的和, 一书里,还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和, 杨辉指出这个方法出于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪( 杨辉指出这个方法出于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元 11世纪)已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于 世纪。在欧洲, 世纪) 世纪。 世纪 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪 在欧洲, 这个表被认为是法国数学家帕斯卡(1623-1662)首先发现的,他们把这 这个表被认为是法国数学家帕斯卡( )首先发现的, 帕斯卡 个表叫做帕斯卡三角。这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左 个表叫做帕斯卡三角。这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。 右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。

二项式系数的性质
a).表中每行两端都是1。 b).除1外的每一个数都等 表中每行两端都是 外的每一个数都等
于它肩上两个数的和。 于它肩上两个数的和
1 1 1 1 1 1 6 5 4 4 3 6 6 10 10 10 15 20 15 2 2 3 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1
C
6

例如: 例如:2+1=3

4+6=10
C 因为: 因为:

C 10 C
C
1 2

1 1

C2 + C2 = C3 = 3 2 1 1 C 30CC+ CC 32 C 2 33 10 3 = C5 = 4 4
C
1 5

1

0 2

2

C

2 2 2

C
0 5

0 4

cn + cn = cn+
r

1 4 r-1

C

2 4

C 43 r C
1

4 4

C
6

C
6

不大时,可用该表来求二项式系数。 当n不大时,可用该表来求二项式系数 C 1 C 0 C 2 C 3
C
6

2 5

C

3 5

C
4 6

4 5

C
5 6

5 5

C

C

6 6

二项式系数的性质
第1行——— 行 第2行—— 行 第3行—行 第4行— 行 第5行-行 第6行行
1 C 10 C 1
0 1 C 2 C 2 C 22

1

1 2 1 3 6 4 1 1 1 1

对称
1 1 1 1

1 3 4

0 1 2 3 C3 C3 C3 C3

1 C 40 C 4 C 42 C 43 C 44 1 C 50 C 5 C 52 C 53 C 54 C 55 1 C 60 C 6 C 62 C 63 C 64 C 65 C 66

5 10 10 5 6 15 20 15 6

m n C n = C n ?m

先增后减

二项式系数与函数
函数定义:如果A 都是非空数集 函数定义:如果 、B都是非空数集,那A
的映射f 就叫做A到 的函数 的函数。 到B的映射f :A→B就叫做 到B的函数。 的映射 就叫做 r ★ 对于二项式系数,r与 C 之间也有对应关 n 系 , 即: r 0 1 2 … r … n

C

r n

C

0 n

C

1 n

C

2 n



r Cn



n Cn

的映射。 到 可看成是集合{ , , , } 二项式系数的集合的映射 可看成是集合{0,1,…,n} 二项式系数的集合的映射。 集合

二项式系数与函数
从映射、函数的观点看,二项式系数可 从映射、函数的观点看,二项式系数可 以看作是一个定义域为 {0,1,2,…,n} , , , , 的函数当自变量从小到大依次取值时对 应的一列函数值 一列函数值。 应的一列函数值。

y = f (x)
r n

函数值

C

二项式系数是函数值 是函数值, 是自变量, 即:r是自变量, 是自变量 二项式系数是函数值, 组合数公式就是相应函数的解析式 就是相应函数的解析式。 组合数公式就是相应函数的解析式。

r

自变量

①当n=6时,二项式系数 C 时

r ( r )用图象表示: 6 0≤r≤6)用图象表示:

1:对称性

f(r) 与首末两端“等距离” ①与首末两端“等距离” 20 的两个二项式系数相等

7 个
孤 立 的 点

②关于r= 3 r= 3对称

14

2:增减性与最大值 增减性与最大值
①先增后减
②r=3时取得最大值 时取得最大值 O 3 6 6

r

f(r) 35 f(r)
20 15
n?1 2

30

n为奇数; 为奇数; 为奇数 如n=7
n+1 2

20

10 6 O 1 O

n 2

n

r

3 n4 2

7

n

n为偶数; 为偶数; 为偶数 如n=6

①关于r=n/2对称 关于 对称 ②r=3和r=4时取得最大值 和 时取得最大值

二项式系数的性质
性质1:对称性 性质1

C

m n

=C

n?m n

与首末两端“等距离” 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等

性质2 增减性与最大值 性质2:增减性与最大值

先增后减

即 T n +1 2
n 2 n

是偶数时, 当n是偶数时,中间的一项 的二项式系数 C 是偶数时 最大值 ; 是奇数时, 当n是奇数时,中间的两项 二项式系数 是奇数时 相等, 同时取得最大值。 相等,且 同时取得最大值。

取得

C

n ?1 2 和 n

C

n +1 2 n

? + 即T n2 1 +1 和 T n2 1 +1

2.增减性与最大值 k = n(n-1)(n-2)(n-3)……(n-k+1) 由于 C n k ? (k-1) ! = C k-1 ? n – k + 1 n k k-1 的增减情况由 n – k + 1 决定 k 相对于 所以 C n Cn k n+1 由于 n – k + 1 > 1 ? k < 2 k
因而 二项式系数是逐渐增大的, 当 k < n + 1 时,二项式系数是逐渐增大的,由对称性知它的 2 后半部是逐渐减小的,且在中间取得最大值。 后半部是逐渐减小的,且在中间取得最大值。

当n是偶数时,中间的一项 是偶数时 当n是奇数时,中间的两项 是奇数时 最大值 最大值。

C

n 2

取得最大时 取得最大时 ; 最大

n

C

n?1 2,

n

C

n+1 2 相等,且同时取得 相等, 同时取得

n

二项式系数的性质
性质3 性质3:各二项式系数的和 n n 0 n 1 2 2 1 ) ( + x) = C n + C n x + Cn x + …+ C n x 0 1 2 n n = Cn + Cn + Cn +L + Cn 令x=1; 2 ;
令x=-1; ;
3 (C + C + ) ? (C + Cn + … ) 0= n?1 ? 2 0 3 … C n + Cn + … = C + C n + 0 n 2 n 1 n

0

0 1 2 n n = C n ? C n + C n ? L + ? 1)C n (





=2

1 n

也就是说, 也就是说, (1+x)n的展开式中的各个 二项式系数的和为2n,且奇数项的二 项式系数和等于偶数的二项式系数和

赋值法

课堂练习: 课堂练习:
(a+ 展开式中, 1、在(a+b)20展开式中,与第五项二项式系数相同 的项是( ). 的项是( A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 (a+ 展开式中,二项式系数最大的项( 2、在(a+b)11展开式中,二项式系数最大的项( A.第6项 A.第 C.第 项和第7 C.第6项和第7项 3, 已知
? ? ? ? x +
4

C

B.第7项 B.第 D.第 项和第7 D.第5项和第7项
1 x3 ? ? ? ?
n

C

).

展开式中只有第10 展开式中只有第10

18 项二项式系数最大, n=______。 项二项式系数最大,则n=______。
4,化简

C

1 5

+C

2 5

+C

3 5

+

C

4 5

+C =

5 5

2 ?1
5

+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和 的展开式中, 例1、证明 (a
等于偶数项的二项式系数的和。 等于偶数项的二项式系数的和。 证明: 证明: 在展开式

例题讲解

r n 0 1 +b)n = Cnan +Cnan?1b1 +… +Cnan?rbr +… +Cnbn (a 中 令a = 1, b = -1, 则得 n n 1 2 0 3 ? Cn + Cn ? C n + … + (?1 ) nCn (1 ?1) = Cn 2 0 就是 … ) ? (C1 + C 3 + … ) 0 = ( C n + Cn + n n 2 0 … = C1 + C 3 + … ∴ C n + Cn + n n n 即在 (a +b) 的展开式中,奇数项的二项式系数的和 的展开式中,

等于偶数项系数的和。证毕。 等于偶数项系数的和。证毕。

上述证明过程中用到了什么方法? 上述证明过程中用到了什么方法?

变式练习:
已知(1 ? 2 x ) 7 = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + … + a 7 x 7 则 a1 + a 2 + … + a 7 = -2 a1 + a 3 + a 5 + a 7 = -1094 a 0 + a 2 + a 4 + a 6 = 1093
… 1

(1 ? 2?1)7 = -1= a0 + a1 + a 2 + a 3 + a 4 +a 5 +a 6 +a7 令x=1, 则

简解: 简解

(1+ 2 ?1) 7= 37= a0 ? a 1 + a 2 ? a 3 + a 4 ? a 5 +a 6 ? a 7 令x= -1, 则 …2 由 1 得 a 1 + a 2 + … + a 7 = -2 ( x=0 时, a 0=1)
由(1 由(1

? 2 ) ÷2 得 a1 + a 3 + a 5 + a 7 = -1094 + 2 ) ÷2 得 a 0 + a 2 + a 4 + a 6 = 1093

求解二项式系数和时, 求解二项式系数和时, 灵活运用赋值法可以使问 题简单化。 题简单化。通常选取赋值 时取- 时取-1,1,0。

小结: 小结:
对称性 (1)二项式系数的三个性质 ( 2) a b c 数学思想:函数思想 数学思想: 图象、图表; 图象、图表; 单调性; 单调性; 最值。 最值。 增减性与最大值 各二项式系数和

(3) 数学方法 : 赋值法

作业: 作业:
习题10.4 习题10.4 9,10。 。


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