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2016年安徽电气工程职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 年安徽电气工程职业技术学院单招数学模拟试题(附答 案)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若 a, b, c 是实数,则 b ? ac 是 a, b, c 成等比数列的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件
王新敞
奎屯 新疆





王新敞
奎屯

新疆

C 充要条件
王新敞
奎屯 新疆

D 既非充分又非必要条件
王新敞
奎屯 新疆

2.已知全集 U ? ?1,2,3,4,5? ,集合 A, B ? U ,若 A ? B ? ?4? , ? CU A? ? B ? ?2,5? ,则

B?
( A.{2, 4, 5} B.{2, 3, 5} C.{3, 4, 5} D.{2, 3, 4} ) )

1 ? cos 2 ? ? 3.若角 ? 的终边落在直线 y ? ? x 上,则 的值等于 ( cos ? 1 ? sin 2 ?
A.0 B.2 C.-2 D. 2 tan ?

sin ?

1 4.如图所示,在两个圆盘中,指针在本圆盘每个数所在区域的机会均为 ,那么两个 6 指针同时落在奇数所在区域的概率是 ( ) 8 1 7 3 4 2 7 2 A. B. 9 9 3 5 9 1 4 2
C.

2 3

D.

1 3

? ? ?? ? b ,它们的夹角为 ,则 2a ? b 的值为 5.已知单位向量 a、 3

( D. ?10 (



A. 7

B. 3

C. 10

6.直线 y ? x ? 1 上的点到圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 上的点的最近距离是



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A. 2 2 B. 2 ? 1 C. 2 2 ?1 D. 1 )

7.数列 {an } 是各项均为正数的等比数列, {bn } 是等差数列,且 a6 ? b7 ,则有 ( A. a3 ? a9 ? b4 ? b10 C. a3 ? a9 ? b4 ? b10 B. a3 ? a9 ? b4 ? b10 D. a3 ? a9与b4 ? b10 的大小不确定

8.球面上有三点,其中任意两点间的球面距离等于大圆周长的 ,经过这三点的小圆 周长为 4? ,则球的体积为 A. 256 3? B. 32 3? C. 32? D. 4 3? ( )

1 6

9.如图所示的阴影部分由方格纸上 3 个小方格组成,我们称这样的图案为 L 形(每次 旋转 90 ? 仍为 L 形图案),那么在由 4 ? 5 个小方格 的方格纸上可以画出不同位置的 L 形图案的 个数是 A.16 C.48 B.32 D.64 组成

10.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 成立,则 A. ?1 ? a ? 1 B. 0 ? a ? 2 ( ) 2 , 6

1 3 C. ? ? a ? 2 2

3 ,1 D. ? ? a ? 42 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.命题:若 a , b 都是偶数,则 a ? b 是偶数,其逆否命题是__________________.

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12. ( x ? 2 y)10 的展开式中 x6 y 4 项的系数是.
3 2 13.当 k ? 时, f ( x) ? x ? kx 在 ?0,2? 上是减函数.

14.对甲乙两小组在某次考试中的成绩进行抽样分析,得到的观测值如下: 甲:70 乙:80 80 60 60 70 70 84 90 76

那么,两小组中成绩较为均衡的是.

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ??? ? ? 15.设 O 为坐标原点, A? 2,0? , P ? x, y ? 坐标满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ,则 OP cos ?AOP ?x ? 1 ? 0 ?
的最大值为________. 16.过双曲线 M : x 2 ?

y2 ? 1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的两条 b2 渐近线分别相交于点 B, C ,且 AB ? BC ,则双曲线 M 的离心率是.

17. ?ABC1 和 ?ABC2 是两个腰长均为 1 的等腰直角三角形,当二面角 C1 ? AB ? C2 为

60? 时,点 C1 和 C2 之间的距离等于 .(请写出所有可能的值)
18.(本小题满分 14 分) 2 , 设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 ( a , b 为实数), 4 , 6 ( x ? 0) ? f ( x) . F ( x) ? ?

?? f ( x)

( x ? 0)

(Ⅰ)若 f (?1) ? 0 ,且对任意实数 x 均有 f ( x) ? 0 成立,求 F ( x) 的表达式; (Ⅱ)设 m ? 0, n ? 0 ,且 m ? n ? 0, a ? 0, f ( x) 为偶函数,求证: F (m) ? F (n) ? 0 .

19.(本小题满分 14 分)

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在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)已知函数 f ( A, C) ? cos2 A ? sin 2 C ,求 f ( A, C ) 的最大值.

20.(本小题满分 14 分) 在各棱长均相等的平行六面体 AC1 中,底面 ABCD 为正方形,对角线 AC、BD 相 交于点 O ,且 ?C1CB ? ?C1CD ? 60? . (Ⅰ)证明: C1O ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)设 E、F 分别为棱 BB1 , CD 的中点,求直线 D1F 与平面 ADE 所成角的大小
A A1 D1 B1 C1

E D O B F C

21.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 nan?1 ? Sn ? n(n ? 1) ,且 a1 ? 2 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 Tn ?

Sn ,若对一切正整数 n ,总有 Tn ? m ,求 m 的取值范围. 2n

22.(本小题满分 16 分) 如图,已知圆 A 过定点 B(0, 2) ,圆心 A 在抛物线 C : x2 ? 4 y 上运动, MN 为圆 A 在 x 轴上所截得的弦.

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(Ⅰ)证明:当 A 点运动时, MN 为定值. (Ⅱ)当 OB 是 OM 与 ON 的等差中项时, 试判断抛物线 C 的准线与圆 A 的位置关系,并说明理由.
y

B A O M N

x

参考答案
1.C 2. A 3. C 4. A 5.C 6. D 7. B 8. B 9. C 10. D 2 , 11.若 a ? b 不是偶数,则 a , b 不都是偶数. 12.840 13.1 14.6 15. 10 4 , 62 5 ?1 16. 0 或 17. 2,1,
2 2

18. 解: (1)设公比为 q ,由题意知, a2 ? a1 ? 3(a3 ? a4 ) ,? 2a4 ? 3a3 ? a2 ? 0 , 即 2a1q3 ? 3a1q2 ? a1q ? 0 ,即 2a1q3 ? 3a1q2 ? a1q ? 0 ,? a1 ? 0 ,

? 2q2 ? 3q ? 1 ? 0 .? q ? 1,? q ?
(2) bn ? log2 an ? 7 ? n ,? Sn ?

1 1 n ?1 7?n ,? an ? 64( ) ? 2 . 2 2

n(6 ? 7 ? n) n(13 ? n) ? ? 0, 2 2

即 n ? 13 时, Sn ? 0 .? 从第 14 项起, Sn ? 0 . 19. 解: (1)由 (2a ? c) cos B ? b cos C 得 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C ,

? 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A ,? 0 ? A ? ? ,? sin A ? 0 ,? cos B ?

1 , 2

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? 0 ? B ? ? ,? B ?
(2)? B ?

?
3

.

?
3

,? A ? C ?

2? , 3

? f ( A, C ) ? cos 2 A ? sin 2 C ?

1 ? cos 2 A 1 ? cos 2C ? 2 2 1 4 1 1 3 ? 1 ? [cos 2 A ? cos( ? ? 2 A)] ? 1 ? [cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A] 2 3 2 2 2

1 3 3 ? 1 ? ( cos 2 A ? sin 2 A) 2 2 2 3 3 1 3 ? ? 1? ( cos 2 A ? sin 2 A) ? 1 ? sin(2 A ? ) 2 2 2 2 3
?0 ? A ?
即A?

2? ? ? 5? ? ? ,? ? 2 A ? ? ,?当 2 A ? ? , 3 3 3 3 3 2 ,C ? 7? 3 时, f ( A, C )max ? 1 ? . 12 2

?
12

20.(1)证明:设 C1 在底面的射影为 H ,

?cos ?C1CH ? cos ?BCH ? cos ?C1CB,cos ?C1CH ? cos ?DCH ? cos ?C1CD, ??C1CB ? ?C1CD ? 60?,??BCH ? ?DCH ,即 H 点在对角线 AC 上.
??BCH ? 45? ,

? cos ?C1CH ?

2 2 2 ,??C1CH ? 45? ,?CH ? CC1 ? BC ? OC , 2 2 2

? H 点即为 O 点,即 C1O ? 平面 ABCD .
(2)分别以 OB, OC, OC1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz ,设边长为 2 , 则 B (1, 0, 0), B1 (1, ?1,1),? E (1, ? , ) , 而 F (? , , 0), D1 (?1, ?1,1), A(0, ?1, 0), D(?1, 0, 0) ,

1 1 2 2

1 1 2 2

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???? ? 1 3 ???? ??? ? 1 1 ? D1 F ? ( , , ?1), AD ? (?1,1, 0), AE ? (1, , ) ,设平面 ADE 的法向量为 2 2 2 2 ? ? n, n ? ( x, y, z) ,则

? ???? ? n?AD ? ? x ? y ? 0 ? ? ,? n 可取为 (1,1, ?3) ,设 D1F 与平面 ADE 所成角为 ? , ? ? ? ??? 1 1 ?n?AE ? x ? y ? z ? 0 ? 2 2
则 sin ? ? cos ? D1 F , n ? ?

???? ? ?

5 154 5 154 ,? D1F 与平面 ADE 所成角为 arcsin . 77 77
2 x0 ? ( y0 ? 2) 2 ,则圆 A 的方

2 21.解: (1)设 A( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 4 y0 ,则圆 A 的半径 AB ?

程为
2 2 ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? x0 ? ( y0 ? 2)2 ,令 y ? 0 ,并将 x0 ? 4 y0 代入得 2 x2 ? 2x0 x ? x0 ? 4 ? 0 ,解得 x1 ? x0 ? 2, x2 ? x0 ? 2 ,? MN ? x1 ? x2 ? 4 为定值.

(2)不妨设 M ( x0 ? 2,0), N ( x0 ? 2,0) ,由 2 OB ? OM ? ON 知,

x0 ? 2 ? x0 ? 2 ? 4 ,??2 ? x0 ? 2,? A 到抛物线准线 y ? ?1 的距离
d ? y0 ? 1 ?
2 x0 ?4 , 4

又圆 A 的半径 r ?

2 x0 1 4 x ? ( y0 ? 2) = x ? ( ? 2)2 ? x0 ? 64 , 4 4
2 0 2

2 0

4 2 2 2 4 2 ? x0 ? 64 ? ( x0 ? 4)2 ? 48 ? 8x0 ,? x0 ? 4 ? 6. ? x0 ? 64 ? ( x0 ? 4)2 ,?r ? d ,

即圆 A 与抛物线的准线总相交.
2 ' 22. 解:(1)? f ( x) ? ln( x ? 1),? f ( x) ?

2x 2x 2 |? 1 ,由 x ? 1 ? 2 | x |?| 2 x ?1 x ?1
2

? f ' ( x) 的值域为[-1,1]
(2)∵m 为方程 f(x)=x 的根,∴f(m)-m=0.令

F ( x) ? f ( x) ? x, 则F ' ( x) ? f ' ( x) ? 1 ? 0
∴F(x)为单调减函数,∴当 x>m 时,F(x)<F(m),即当 x>m 时,

f ( x) ? x ? f (m) ? m ? 0

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∴当 x>m 时,f(x)<x. (3)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln( x 2 ? 1) ?

1 ?a, x ?1
2

h ' ( x) ?

2x ? 2x 1 1 ? 2 ? 2 x[ 2 ? 2 ], 2 x ? 1 ( x ? 1) x ? 1 ( x ? 1) 2
2

当 x ? [0,1) ? (1,??)时h ' ( x) ? 0,当x ? (??,?1) ? (?1,0]时,h ' ( x) ? 0

? h( x) ? ln( x 2 ? 1) ?

1 ? a在(?? ,?1)单调减,在 (?1,0) 单调递减; x ?1
2

在(0,1)和(1,+∞)单调增 ∴当 x∈(-1,1)时, h( x) min ? h(0) ? ln 1 ?

1 ? a ? 1? a 0 ?1

x→-1-时, h( x) ? ??; x ? ?1? 时, h( x) ? ??; x ? ??时, h( x) ? ??
由 h(x)为偶函数得,x→-1-时,h(x)→∞,x→1+,时,f(x)→-∞, x→+∞时,h(x)→+∞

? f ( x) ? g ( x)有四个不同的根时 1? a ? 0 ? a ? 1
(若考虑到 h(x)是偶函数,题意等价转化为 h(x)在 x ? [0,1) ? (1,??) 上有 2 实根的问题,因而只需研究 h(x)在 x ? [0,1) ? (1,??) 上单调性与 h(0)的值以 及 h(x)在 x→1+,x→1-,x→+∞的极限值,则可参照赋分,若仅从图象直观 说明,则酌情扣分)


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