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2014届高三数学辅导精讲精练94


2014 届高三数学辅导精讲精练 94
1.若 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,则 a+ b+ c的最大值为 ( A.1 C. 3 答案 解析 C 方法一 ( a+ b+ c)2=a+b+c+2 ab+2 bc+2 ca≤a+b+c B. 2 D.2 )

+(a+b)+(b+c)+(c+a)=3. 当且仅当 a=b=c 时取等号成立. 方法二

柯西不等式:( a+ b+ c)2=(1× a+1× b+1× c)2≤(12+12

+12)(a+b+c)=3. 2.设 a,b∈R,若 a2+b2=5,则 a+2b 的最大值为 A.2 C.4 答案 解析 D 方法一 设 a+2b=t, B.3 D.5 ( )

则 a=t-2b,代入 a2+b2=5. 得(t-2b)2+b2=5. ∴5b2-4tb+t2-5=0. 由 Δ=16t2-20(t2-5)≥0, 得 t2≤25,∴t≤5. 方法二 由柯西不等式,得

(a2+b2)(12+22)≥(a+2b)2. 因为 a2+b2=5, 所以(a+2b)2≤25, 即-5≤a+2b≤5. 当且仅当 b=2a 且 a2+b2=5 时等号成立,故选 D. 3.已知关于 x 的不等式 2x+ 的最小值为________. 2 ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a x-a

答案 解析 3 a≥2.

3 2 2x+ 2 2 =2(x-a)+ +2a≥2 x-a x-a 2?x-a? 2 +2a=2a+4≥7, ∴ x-a

4.若不等式|a-1|≥x+2y+2z,对满足 x2+y2+z2=1 的一切实数 x、y、z 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 答案 解析 |a-1|≥3, ∴a≥4 或 a≤-2. 5.把一条长是 m 的绳子裁成三段,各围成一个正方形,则这三个正方形的 面积和的最小值为________. 答案 解析 m2 48 设三段的长度分别为 x,y,z,则 x+y+z=m,三个正方形的面积和 a≥4 或 a≤-2 由柯西不等式,得(x+2y+2z)2≤(12+22+22)(x2+y2+z2)=9,由题意

x y z 1 为 S=(4)2+(4)2+(4)2=16(x2+y2+z2). 因为(x2+y2+z2)(12+12+12)≥(x+y+z)2=m2, m 当且仅当 x=y=z= 3 时等号成立. m2 m2 所以 x2+y2+z2 有最小值 3 ,从而 S 有最小值48 . 6.设 a,b,c 为正数,且 a+b+c=1,则 ab2c+abc2 的最大值为________. 答案 解析 27 1 024. 1 3 当且仅当 a=4,b=c=8时取等号. 7.若 logxy=-2,求 x+y 的最小值. 27 1 024 1 1 3?a+b+c? 4 ab2c+abc2 =abc(b+c)= 12 (3a)(2b)(2c)· (b+c)≤ 12 [ ] = 4

解析

1 由 logxy=-2,得 y=x2.

3 xx 1 3 1 33 2 1 x x 1 x 1 而 x+y=x+x2=2+2+x2≥3 2··2=3 4= 2 ,当且仅当2=x2即 x= 2x 3 3 3 2 2时取等号.所以 x+y 的最小值为 2 . 8.已知实数 a、b、c、d 满足 a2+b2=1,c2+d2=2,求 ac+bd 的最大值. 解析 ∵(ac+bd)2=(ac)2+(bd)2+2abcd

≤(ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2=(a2+b2)(c2+d2)=2, ∴|ac+ad|≤ 2,即- 2≤ac+bd≤ 2. x y z 1 1 1 9.已知 x,y,z 均为正数.求证:yz+zx+xy≥ x+ y+ z . 证明 x y 1x y 2 y z 2 因为 x, z 均为正数, y, 所以yz+zx= z (y+x)≥ z , 同理可得zx+xy≥ x,

z x 2 xy+yz≥ y,当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立,将上述三个不等式两边 x y z 1 1 1 分别相加,并除以 2,得yz+zx+xy≥x +y + z . 10.已知实数 x、y、z 满足 x2+4y2+9z2=a(a>0),且 x+y+z 的最大值是 1, 求 a 的值. 解析 由柯西不等式,得

1 1 1 1 [x2+(2y)2+(3z)2][12+(2)2+(3)2]≥(x+2×2y+3×3z)2(当且仅当 x=4y=9z 时取等号). 因为 x2+4y2+9z2=a(a>0), 所以 49 7 a 7 a a≥(x+y+z)2,即- ≤x+y+z≤ . 36 6 6

7 a 36 因为 x+y+z 的最大值是 1,所以 6 =1,a=49. 36 9 4 所以当 x=49,y=49,z=49时,x+y+z 取最大值 1. 36 所以 a 的值为49. 11.(2013· 衡水调研卷)已知实数 m,n>0.

a2 b2 ?a+b? (1)求证: m + n ≥ ; m+n
2

2 9 1 (2)求函数 y= x+ 〔x∈(0,2)〕的最小值. 1-2x (1)证明 因为 m,n>0,利用柯西不等式,

a2 b2 得(m+n)( m + n )≥(a+b)2, a2 b2 ?a+b? 所以 m + n ≥ . m+n
2

(2)解析

?2+3?2 2 9 22 32 由(1),函数 y=x+ =2x+ ≥ =25, 1-2x 1-2x 2x+?1-2x?

2 9 1 1 所以函数 y=x + 〔x∈(0,2)〕的最小值为 25,当且仅当 x=5时取得. 1-2x 12.已知实数 a,b,c,d 满足 a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,试 求 a 的最值. 解析 由柯西不等式,得

?1 1 1? (2b2+3c2+6d2)?2+3+6?≥(b+c+d)2, ? ? 即 2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2,由条件, 可得 5-a2≥(3-a)2, 解得 1≤a≤2,当且仅当 2b 3c 6d = = 时等号成立, 1 1 1 2 3 6

1 1 1 2 1 即当 b=2,c=3,d=6,amax=2;b=1,c=3,d=3时,amin=1. 13.(2012· 福建理)已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为 [-1,1]. (1)求 m 的值; 1 1 1 (2)若 a,b,c∈R,且a+2b+3c=m,求证:a+2b+3c≥9. 解析 (1)因为 f(x+2)=m-|x|,所以 f(x+2)≥0 等价于|x|≤m,由|x|≤m 有

解,得 m≥0,且其解集为 {x|-m≤x≤m}. 又 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1],故 m=1.

1 1 1 (2)由(1)知a+2b+3c=1,又 a,b,c∈R+,由柯西不等式,得 1 1 1 1 1 1 a+2b+3c=(a+2b+3c)(a+2b+3c)≥( a· + 2b· + 3c· )2=9. a 2b 3c


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