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2017年辽宁单招数学模拟试题及答案


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根据历年单招考试大纲出题

2017 年辽宁单招数学模拟试题及答案
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项

中,只有一项是符合题目要求的。 1 已知命题 p : ?x ? R,cos x ? 1则 A ?p : ?x ? R,co

s x ? 1 C ?p : ?x ? R,cos x ? 1 2 若复数 A -6 B ?p : ?x ? R,cos ? 1 D ?p : ?x ? R,cos ? 1

a ? 3i ( a ? R, i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i
B6 C -2 D4

3 下列几何体各自的三视图中,至少有两个试图相同的是

A

①②③

B ①④

C ②④

D①②④

4 函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 1零点的个数为 A4 B3 C2 D1

?x ? y ? 5 ? 0 ? 5 若不等式组 x ? y ? a 表示的平面区域是一个三角形,则 a 得取值范围是 ?0 ? x ? 3 ?
A a?5 B a ?8 C 5?a?8 D a ? 5或a ? 8

6 过点(0,1)的直线与 x2 ? y 2 ? 4 相交于 A、B 两点,则|AB|的最小值为 A2 B2 3 C3 D2 5

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sin B 的值为 sin C 5 8

7 在三角形 ABC 中,A=1200,AB=5,BC=7,则 A

3 5

B

5 3

C

8 5

D

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? AB AC ??? AC ?BC 2 ? ? ??? ? )?BC ? 0且 ??? ? ??? ?= 8 已知非零向量 AB、 ,则 ? BC 和 BC 满足 ( ??? | AB | | AC | | AC | |BC| 2
ABC 为 A 等边三角形 B 等腰非直角三角形 C 非等要三角形 D 等腰直角三角形

9 函数 y ? f ( x) 的图像如图所示,则函数 y ? log0.5 f ( x) 的图像大致是

x2 y 2 10 若点 p(2,0)到双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线的距离为 2 ,则在双曲线德离心率 a b
为 A

2

B

3

C 2 2

D2 3

11 为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了 该校 1000 名高三学生的视力情况,得到频率分布直 方图,如图,由于不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频数成等比数列,后 6 组的频数成等差数列, 设最大频率为 a ,视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数 b,则

a、 b 的值分别为
A 2.7,780 B2.7,830 C 0.27,780 D 0.27,830

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12 设 f ( x) 是定义在 R 上的齐函数,且党 x ? 0 时 f ( x) ? x2 ,若对任意的

x ?[?2 ? 2, 2 ? 2] 不等式 f ( x ? t ) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 t 的取值范围是
A [ 2, ??) C [4 ? 3 2, ??) B (??, 2] D (?? ? 2,] ?[4 ? 3 2, ??)

第 II 卷(非选择题 共 90 分)
注意事项: 1 第 II 卷包括填空题和解答题共两个大题 2 第 II 卷所有题目的答案考生需要用 0.5 毫米黑色签字笔答在答题纸制定的位置 上 二、 填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分

13 若 cos ? ? ? , ? ? (

3 5

?
2

, ? ) 则 tan ? ?

14 在如下程序图框中,输入 f0 ( x) ? sin x ,则输出的是

15 已知 m、n 是不同的直线, ?、? 是不重合的平面,给出下列命题: ①若 m || ? , 则 m 平行与平面 ? 内的无数条直线 ②若 ? || ? , m ? ? , n ? ? , 则m || n ③若 m ? ? , n ? ? , m || n则? || ? ④若 ? || ? , m ? ? , 则m || ? 上面命题中,真命题的序号是(写出所有真命题的序号)

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e x ? e? x 和双曲线余弦函数 2

16 在技术工程上,常用到双曲线正弦函数 shx ?

e x ? e? x ,而双曲线正弦函数和双曲线余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函 2 数有关类似的性质,比如关于正、余弦函数有 sin( x ? y) ? sin x cos y ? cos x sin y 成立, shx ?
而关于双曲正、余弦函数满足 sh( x ? y) ? shxchy ? shxshy 。请你御用类比的思想,写 出关于双曲正弦、双曲余弦很熟的一个新关系试 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 17 (12 分) 已知 a ? 2(cos ? x,cos ? x), b ? (cos ? x, 3sin ? x) (其中 0< ? <1),函数 f ( x) ? a? b 若直线 x ? 函数 f ( x) 图像的一条对称轴, (I) (II) 18(12 分) 将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷 两次, 记第一次出现的点数为 a ,第二次出现的点数为 b ,设复数 z=a+bi (I) (II) 求事件 " z ? 3i 为实数”的概率; 求事件“复数 z 在复平面内的对应点(a,b)满足(a-2)2 +b2 ? 9 的 概率 19 (12 分) 如图,已知里棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, 试求 ? 的值; 先列表在作出函数 f ( x) 在区间 [?? , ? ] 上的图像

?

?

? ?

?
3



AD || BC, ?BCD ? 900 , PA ? PB, PC ? PD

考单招上高职单招网---(I) (II)

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证明平面 PAB ? 平面 ABCD; 如果 AD ? 1 , BC ? 3, CD ? 4 ,且侧面 PCD 的面积为 8,求四棱锥

P ? ABCD 的面积。

20(12 分) 已知函数 f ( x) ? ? 2]上单调递增。 (I) (II) 求实数 a 的值 求函数 f ( x) 的极值

1 4 2 3 x ? x ? ax 2 ? 2 x ? 2 在区间 [-1 , 1]上单调递减,在区间 [1, 4 3

21(12 分) 已知数列 ?a? 满足 an ? 2an?1 ? 2n ? 2(n ? 2, a1 ? 2) , (I) 求 a2 , a3 , a4 ;

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? an ? ? ? ? 成等差数列,若存在,求 n ? 2 ?

是否存在一个实数 ? ,使得数列 ?

出 ? 的值,若不存在,请说明理由; (III) 求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn

22(14 分)

2 ,一曲线 E 过点 C,动点 P 2 在曲线 E 上运动,并保持 | PA | ? | PB | 的值不变,直线 l 经过点 A 与曲线 E 交于 M , N
如图,在 Rt ?ABC 中, ?CAB ? 900 , AB ? 2, AC ? 两点。 (I) (II) 建立适当的坐标系,求取现 E 的方程; 设直线 l 的斜率为 k,若 ?MBN 为钝角,求 k 的取值 范围。

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参考答案
1—5 CBDDC 11.C 12B 13. ? 6—10 BADCA

4 3

14. cos x 15.①③④

16.sh ? x ? y ? ? shxchy ? chxshy或ch ? x ? y ? ? chxchy ? shxshy 或sh 2 x ? 2 shxchx或ch 2 x ? sh 2 x ? 1等等(写对一个即可)
17.解:

? ? f ? x ? ? a ? b ? 2 ? cos ? x, cos ? x ? ? cos ? x, 3 sin ? x ? 2cos 2 ? x ? 2 3 cos ? x sin ? x

?

?

?? ? ? 1 ? 2cos ? x ? 3 sin ? x ? 1 ? 2sin ? 2? x ? ? 6? ?

? ? ? ? 直线x ?

2?? ? ? ? 2?? ? ? 为对称轴,? sin ? ? ? ? ?1? ? ? k? ? ? k ? Z ? 3 6? 3 6 2 ? 3 3 1 1 1 1 ?? ? K ? ,? 0 ? ? ? 1?? ? k ? ? k ? 0, ? ? 2 2 3 3 2

?

? ? ?由? ? ? 知f ? x ? ? 1 ? 2sin ? ?x?
?
列表

??
? 6?

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描点作图,函数 所示。

f ? x ? 在 ??? , ? ? 的图像如图

18.(文) 解:(Ⅰ) ? ?3i 为实数,即 a ? bi ? 3i ? a ? ?b ? 3? i 为实数,? b ? 3 依题意 a 可取 1,2,3,4,5,6 故出现 b ? 3 的概率为 p1 ?

6 1 ? 36 6 1 6

即事件“ ? ?3i 为实数”的概率为

(Ⅱ)有条件可知, b 的值只能去 1,2,3

考单招上高职单招网---当b ? 1时, 2, 3, 4 ? a - 2 ? ? 8,即a可取1,
2

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当b ? 2时, 2, 3, 4 ? a - 2 ? ? 5,即a可取1,
2

当b ? 3时, ? a - 2 ? ? 0,即a可取2
2

? 共有 8 中情况下可使事件发生,有 a , b 的取值情况共有 36 种
2 所以事件“点 ? a, b ? 满足 ? a ? 2 ? ? b ? 9 ”的概率为 2

p2 ?

4 4 1 1 ? ? ? 36 36 36 4

19.(文 12 分) 解:(Ⅰ)取 AB、CD 的中点 E、F。连结 PE、EF、PF,由 PA=PB、PC=PD 得 PE ? AB、PF ? CD

? EF 为直角梯形的中位线,? EF ? CD
又 PF ? EF ? F ,?CD ? 平面 PEF

PF ? 平面 PEF ,得 CD ? PE
又 PE ? AB 且梯形两腰 AB、CD 必交

? PE ? 平面ABCD 又PE ? 平面PAB ? 平面PAB ? 平面ABCD

? ? ?由? ? ? PF ? CD, 则S?PCD ?
? PF ? 4
由已知, EF ?

1 1 CD ? PF ? ? 4 ? PF 2 2

1 ? AD ? BC ? ? 2 又在直角 ?PEF 中, 2

PE ? PF 2 ? EF 2 ? 42 ? 22 ? 2 3
即四棱锥 P ? ABCD 的高为 2 3

? 四棱锥 P ? ABCD 的体积

考单招上高职单招网---1 ? AD ? BC ? ? CD V? ? ? PE 3 2 1 16 3 ? ?8? 2 3 ? 3 3
20.(文 12 分)

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1 4 2 3 x ? x ? ax 2 ? 2 x ? 2 在区间 ??1,1? 上单调递减,在 4 3 区间 ?1, 2? 上单调递增,可知当时 x ? 1 取得极小值,? f ? ?1? ? 0
解:(Ⅰ)由函数 f ? x ? ? ?

? f ? ? x ? ? ? x3 ? 2 x 2 ? 2ax ? 2 ? f ? ?1? ? ?1 ? 2 ? 2a ? 2 ? 0, 得a ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 2

1 2 f ? x ? ? ? x 4 ? x3 ? ax 2 ? 2 x ? 2 4 3 3 ? f ? ? x ? ? ? x ? 2 x 2 ? x ? 2 ? ? ? x ? 1?? x ? 1?? x ? 2 ? 令f ? x ? ? 0, 得x ? ?1, x ? 1, x ? 2
列表

所以函数 f ? x ? 有极大值 f ? ?1? ? ?

5 8 37 , f ? 2 ? ? ? ,极小值 f ?1? ? ? 12 3 12

21. .(文 12 分) 解:(Ⅰ) a2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 10, a3 ? 20 ? 8 ? 2 ? 30, a3 ? 60 ? 16 ? 2 ? 78, (Ⅱ)假设存在一个实数 ? ,使得数列 ?

an ? ? an ?1 ? ? ? an ? ? ? ? 成等差数列,则 n ? n 2 2n ?1 ? 2 ?

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2an ?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 2an ?1 ? 2? 2?? ? 1 ? n 恒为常数 n 2 2
a1 ? 2 a ? 2 a1 ? 2 ? 2, 2 ? ? 1, 2 2 2

? 2 ? ? ? 0即? ? 2,此时
当 ? ? 2 时,数列 ? (Ⅲ) ?

? an ? ? ? ? 是首项为 2、公差为 1 的等差数列 n ? 2 ?

an ? 2 a1 ? 2 ? an ? ? ? ? ? n ? 1? ? n ? 1 ? 由(Ⅱ)得 n ? n 2 2 ? 2 ?

? an ? ? n ? 1? 2n ? 2 Sn ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ??? ? ? n ? 1? 2n ? 2n 2Sn ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ??? ? ? n ? 1? 2n ?1 ? 4n
两式相减得:

? Sn ? 2 ? 2 ? 22 ? 23 ??? ?2n ? ? n ? 1? 2n ?1 ? 2n ? ? n ? 2n ?1 ? 2n ? Sn ? n ? 2n ?1 ? 2n
22. (文 14 分) 解:(Ⅰ)以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系,则 A ? ?1,0?

B ?1,0?
? 2? 2 2 3 2 有题设可得: PA ? PB ? CA ? CB ? ? 22 ? ? ? ? ?2 2 ?2 ? ? 2 ? 2 2 2 ? ?
2

? 动点 P 的轨迹为椭圆
设其方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 1? a 2 b2

2 2 则 a ? 2, c ? 1, b ? a ? c ? 1

? 曲线 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

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(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? k ? x ?1? , M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ?

? y ? k ? x ? 1? ? 由? 2 得 ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 4k 2 x ? 2 ? k 2 ? 1? ? 0 ① 2 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0
有直线 l 过点 A 知,方程①有两个不等的实数根

2 ? k 2 ? 1? 4k 2 ? x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ???? ? BM ? ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? y1 y2 ? ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? k 2 ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? ? k 2 ? 1? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? k 2
2

4k 2 7k 2 ? 1 2 ? ?1 ? k ? ? ? k ? 1? ? ?1? k ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ???? ? ??? ? ? ?MBN 是钝角? BM ? BN ? 0
2

2 ? k 2 ? 1?



7k 2 ? 1 7 7 ? 0 ,解得: ? ?k? 2 1 ? 2k 7 7

又 M、B、N 三点不共线,? k ? 0 综上, k 的取值范围是 ? ?

? ? ?

7 ? ? 7? ,0? ? 0, ? ? ? 7 ? ? 7 ? ? ?


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