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2016届云南省玉溪市第一中学高三第四次月考理科数学试卷 word版


2016 届云南省玉溪市第一中学高三第四次月考理科数学试卷
命题:

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 1}, B ? {x | x ? 2 x} ,则 ?R ( A ? B ) 等于(
2

) D. [0,1) )

A. [0, ??) 2. 由幂函数 y ? A.

B.

[?1,1)

C. (??, 0) ? [1, ??)

x 和幂函数 y ? x 3 图象围成的封闭图形的面积为(
B.

1 12

1 4

C.

1 3
) D. 4

D.

5 12

(3 - 4i ) z ? 4 ? 3i ,则 z 的虚部为( 3. 若复数 z 满足
A.

4 i 5

B.

4 5

C. 4i

4. 如右图,若 Ω 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的几 何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥A1D1,则下列 结论中不正确的是( A.EH∥FG C.Ω 是棱柱 ) B.四边形 EFGH 是矩形 D.四边形 EFGH 可能为梯形

5. 执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 2 ,则输入的正整数 a 的可能取值的集合是 ( ) A. ?1, 2,3, 4,5? C. ?2,3, 4,5? B. ?1, 2,3, 4,5, 6? D. ?2,3, 4,5, 6?

6. 已 知 在 等 差 数 列 {an } 中 , a1 ? 120 , 公 差 d ? ?4 , S n 为 该 数 列 的 前 n 项 和 , 若

S n ? an (n ? 2) ,则 n 的最小值为(
A. 60 B. 62

) C. 70 D. 72

? ? ? ? ? ? ? ? ? 7. 若向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 ,且 a ? (a ? b) ,则 a 与 b 的夹角为(
A.



? 2

B.

2? 3

C.

3? 4

D.

8. 若函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? (| ? |?

?

5? 6

) 满足 f ( x) ? f ( ) ,则函数 f ? x ? 的单调递增 2 3

?

区间是( A. ? 2k? ? C. ? k? ?



? ?

?
6

, 2 k? ?

??

(k ??) 3? ?

B. ? 2k? ? D. ? k? ?

? ?

?
3

, 2 k? ?

5? ? (k ??) 6 ? ?

? ?

?
6

, k? ?

??

(k ??) 3? ?

? ?

?
3

, k? ?

5? ? (k ??) 6 ? ?

9. 已知圆 C1 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 ,圆 C2 : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 9 , M 、N 分别是圆 C1、C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为( A. 5 2 ? 4 B. ) D.

17 ? 1

C. 6 ? 2 2

17

10. 已知 a、b、c 分别为 ?ABC三个内角A、B、C的对边,若 cos B ?

4 , a ? 10, 5

?ABC的面积为42,则b ?
A. 27 2 2
2

a 的值等于 ( sin A

) C. 8 2 D. 16

B. 16 2

11. 过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的焦点 F 作倾斜角为 60? 的直线,若直线与抛物线在第一象 限的交点为 ? ,并且点 ? 也在双曲线 的离心率为( ) B. 13

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 ,b ? 0 )的一条渐近线上,则双曲线 a 2 b2

A.

21 3

C.

2 3 3

D. 5

12. 已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ? 1( x ? 0) ,把函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? 1 的零点按从小到大的 ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)
) D. 2
10

顺序排列成一个数列,记该数列的前 n 项和为 S n ,则 S10 =( A. 45 B. 55 C. 2 ? 1
9

?1

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填写在题中的横线上. 13. 在 ( x ? 1) 4 的展开式中, x 的系数为 .

14. 求值:

3 1 ? ? cos10? sin170?

.

15. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是正三角形,则几何体 的外接球的

表面积为__________. 16. 如下图,在直角梯形 ABCD 中,AB//CD,AB=2,AD=DC=1, P 是线段 BC 上一动点,Q 是线段 DC 上一动点,

???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? DQ ? ? DC , CP ? (1 ? ? )CB ,则 AP ? AQ 的取值范围是



三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列,b1=1, 且 b2S2=64,b3S3=960. (I)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; 18.(本小题满分 12 分) 为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运 动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随 机选择 4 人参加比赛. (I)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会”求 事件 A 发生的概率; (II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. (II)求证:

1 1 1 3 + +? + ? S1 S 2 Sn 4

19. (本小题满分 12 分) 已知矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1 , M 为 CD 的中点.将 ?ADM 沿 AM 折起,使得平面

ADM ? 平面 ABCM .

(Ⅰ)求证: AD ? BM ;

A

(Ⅱ) 若点 E 是线段 DB 上的一动点, 问点 E 在何位置时, 二面角 E ? AM ? D 的余弦值为

5 . 5

20. (本小题满分12分) 已知直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B 两点, M 是线段 AB 上 a2 b2
1 x 上. 2

的一点, AM ? ? BM ,且点 M 在直线 l 2 : y ? (I)求椭圆的离心率;

(II)设椭圆左焦点为 F1 ,若 ?AF1B 为钝角,求椭圆长轴长的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? ln( x ? 1) . (I)当 a ? ?

1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 4

?x ≥ 0 (II) 当 x ? [0, ??) 时,函数 y ? f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的平面区域内 ,求实 ?y ? x ≤ 0 数 a 的取值范围.

请考生在(22) 、 (23)两题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多 做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22. (本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建 π 立极坐标系。已知射线 C1:θ= (ρ≥0),动圆 C2:ρ2-2x0 ? cos ? +x2 0-4=0(x0∈R). 6 (I)求 C1,C2 的直角坐标方程; (II)若射线 C1 与动圆 C2 相交于 M 与 N 两个不同点,求 x0 的取值范围.

23. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2a . (I)当 a ? 1 时,求 f ( x) ? 3 的解集; (II)当 x ? ?1,2? 时, f ( x) ? 3 恒成立,求实数 a 的集合.

参考答案: 题号 答案 1 C 2 D 14. ?4 3 B 4 D 5 C 6 B 7 C 8 C 9 A 10 B 11 A 12 A

13. 6

15.

64? 3

16.

?0, 2?
6

17. 解:(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正数, - an=3+(n-1)d,bn=qn 1.
?d ? ? , ? S 2 b2 ? (6 ? d )q ? 64, 依题意有 ? 解得 ? d ? 2 ? 5 ? ? 2 或? ( 舍去 ) ? ? ? S 3 b3 ? (9 ? 3d )q ? 960, q ? 8 40 ? ?

故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8

n-1

q? . ? ? 3

.

1 1 1 (2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),所以 + +…+ S1 S2 Sn 1 1 1 1 = + + +…+ 1× 3 2× 4 3× 5 n(n+2) 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1- + - + - +…+ - ) 2 3 2 4 3 5 n n+2 1 1 1 1 = (1+ - - ) 2 2 n+1 n+2 2n+3 3 3 = - 4 2(n+1)(n+2) ? 4 18. 解:(I)由已知,有 P ( A) ?
2 2 2 2 C2 C3 ? C3 C3 6 6 所以事件 A 发生的概率为 . ? 4 C8 35 35

(II)随机变量 X 的所有可能取值为 1, 2,3, 4

P?X ? k? ?
所以随机变量 X 的分布列为

4?k C5k C3 (k ? 1, 2,3, 4) C84

X P

2

3

4

1 3 3 1 14 7 7 14 1 3 3 1 5 所以随机变量 X 的数学期望 E ? X ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 14 7 7 14 2
19.解:(1) 证明: 连接 BM, 则 AM=BM= 2 , 所以 AM ? BM 又因为面 ADM ? 平面 ABCM , 面ADM ? 面ABCM=AM , H

? BM ? 面ADM .? BM ? AD
O (2)取 AM 的中点 O,连接 DO.易证得 DO ? 面ABCM .过 M

点作 OD 的平行线 MH,以 M 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 M ? xyz ,

则 A( 2, 0, 0), B(0, 2, 0), D(

2 2 , 0, ), M (0, 0, 0) 由(1)可知,平面 ADM 的法向量 2 2

?? ? m ? (0,1, 0) ,设平面 EAM 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,

??? ? ??? ? 2 2 ???? 2 2 DB ? (? , 2, ? ), DE ? ? DB ? E ((1 ? ? ) , 2? , (1 ? ? ) ) 2 2 2 2 ? ???? ? ? n ? MA ? 0 ? ???? ???? 2 2 ? ???? ? ? n ? (0,1 ? ? , ?2? ) MA ? ( 2,0,0), ME ? ((1 ? ? ) , 2? ,(1 ? ? ) ) 2 2 n ? ME ? 0 ? ?
?? ? | m?n | ? 5 1 |? 由题意知 ?? ? ?| 解得 ? ? 2 2 5 | m || n | 2 (1 ? ? ) ? 4?
? E 为 DB 的中点时.二面角 E ? AM ? D 的余弦值为
20. 解:设 A, B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ).B ( x 2 , y 2 )

5 . 5
(I)由 AM ? ? BM 知 M 是 AB 的中点,

.



? x ? y ? 1 ? 0, ? 2 ?x y2 ? 2 ? 2 ? 1, b ?a



:

( a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ? a 2 b 2 ? 0

,

∴ x1 ? x 2 ?

2a 2 2b 2 , , y ? y ? ? ( x ? x ) ? 2 ? 1 2 a2 ? b2 1 2 a2 ? b2 a2 2b 2 又点 M 在直线 l 2 上,∴ 2 ? ? 0, a ? b2 a2 ? b2
2 2

a2 b2 ∴点 M 的坐标为 ( 2 , ) a ? b2 a2 ? b2
2 2 2 2

∴ a ? 2b ? 2(a ? c ) ,∴ a 2 ? 2c 2 ,∴ e ?

(II)由(I)知 b ? c ,方程化为 3 x 2 ? 4 x ? 2 ? 2c 2 ? 0 ? ? 16 ? 24 1 ? c 2 ? 0, c ?

?

?

3 3

∴ x1 ? x 2 ?

2 ? 2c 2 2c 2 1 4 ? , x1 x2 ? , y1 y 2 ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? ? 3 3 3 3
2

由已知知 F1 A ? F1 B ? 0 ,即 ( x1 ? c, y1 ) ? ( x 2 ? c, y 2 ) ? x1 x 2 ? c( x1 ? x 2 ) ? c ? y1 y 2 ? 0 代入得 c 2 ? 4c ? 3 ? 0 ,解得 c ? 2 ? 7 或 c ? 2 ? 7 , 综上得 c ? 2 ? 7

又a ?

2c , ∴ 2a 的取值范围是 (4 2 ? 2 14 ,??)
1 1 时, f ( x) ? ? x 2 ? ln( x ? 1) ( x ? ?1) , 4 4

21. 解:(1) 当 a ? ?

1 1 ( x ? 2)( x ? 1) f ?( x) ? ? x ? ?? ( x ? ?1) , 由 f ?( x) ? 0 解 得 ?1 ? x ? 1 , 由 2 x ?1 2( x ? 1)
f ?( x) ? 0 解得 x ? 1 . 故函数 f ( x) 的单调递增区间为 (?1,1) ,单调递减区间为 (1, ??) .
? x ? 0, (2) 因函数 f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的平面区域内, ?y ? x ? 0

则当 x ? [0, ??) 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,即 ax 2 ? ln( x ? 1) ? x ? 0 恒成立,、 设 g ( x) ? ax 2 ? ln( x ? 1) ? x ( x ? 0 ),只需 g ( x) max ? 0 即可. 由 g ?( x) ? 2ax ?
1 x[2ax ? (2a ? 1)] , ?1 ? x ?1 x ?1

?x , x ?1 当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立.

(i) 当 a ? 0 时, g ?( x) ?

(ii) 当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? ① 若

x[2ax ? (2a ? 1)] 1 ? 0 ,因 x ? [0, ??) ,所以 x ? ?1 , x ?1 2a

1 1 ? 1 ? 0 ,即 a ? 时,在区间 (0, ??) 上, g ?( x) ? 0 , 2a 2 则函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值,当 x ? ?? 时, g ( x) ? ?? ,

此时不满足条件; ② 若
1 1 1 ? 1 ? 0 ,即 0 ? a ? 时,函数 g ( x) 在 (0, ? 1) 上单调递减, 2a 2 2a 1 ? 1, ??) 上单调递增,同样 g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值,当 x ? ?? 时, g ( x) ? ?? , 2a

在区间 (

不满足条件.
x[2ax ? (2a ? 1)] ,∵ x ? [0, ??) ,∴ 2ax ? (2a ? 1) ? 0 , x ?1 ∴ g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立.

(iii) 当 a ? 0 时,由 g ?( x) ?

综上所述,实数 a 的取值范围是 (??, 0] . π y 3 22. (1)∵tan θ= ,θ= (ρ≥0),∴y= x(x≥0). x 6 3 所以 C1 的直角坐标方程为 y= 3 x(x≥0). 3

?x=ρcos θ, ∵? 所以 C2 的直角坐标方程 x2+y2-2x0x+x2 0-4=0. ?y=ρsin θ,

π ? ?θ= 6 (ρ≥0), (2)联立? ? ?ρ2-2x0ρcos θ+x2 0-4=0(x0∈R), 关于 ρ 的一元二次方程 ρ2- 3x0ρ+x2 0-4=0(x0∈R)在[0,+∞)内有两个实根.
2 2 ?? =3 x0 ? 4( x0 ? 4) ? 0 ? ?4 ? x0 ? 4 ? ? ? x0 ? 0 即 ? ?1 ? ? 2 ? 3 x0 ? 0 得 ? 即 2 ? x0<4. ? x ? 2或x ? -2 ? ? ? ? ? x2 ? 4 ? 0 0 ? 0 0 ? ? 1 2

23. 解:(I)解:原不等式可化为 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 3 , 当 x ? 2 时, 3 x ? 3 ? 3 ,则 x ? 2 ,无 解;

1 1 ? x ? 2 时 , x ? 1 ? 3 , 则 x ? 2 ,∴ ? x ? 2 ; 2 2 1 x ? 0 ,∴ 0 ? x ? , 综上所述:原不等式的解集为 ?0,2? 2


当x?

1 时 , 3 ? 3x ? 3 , 则 2

(II)原不等式可化为 x ? 2a ? 3 ? 2 x ? 1 , ∵ x ? ?1,2? ,∴ x ? 2a ? 4 ? 2 x , 即 2 x ? 4 ? 2a ? x ? 4 ? 2 x , 故 3 x ? 4 ? 2a ? 4 ? x 对 x ? ?1,2? 恒成立,

1? 当 1 ? x ? 2 时, 3 x ? 4 的最大值为 2 , 4 ? x 的最小值为 2 ∴实数 a 的集合为 ?


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