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天体运动练习题3


天体运动练习题(三)
1、 (20 分)经过用天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对 它们的研究, 使我们对宇宙中物质的存在形势和分布情况有了较深刻的认识。 双星系统由两 个星体构成, 其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。 一般双星系统距离其他星体 很远,可以当作孤立系统处理。 现根据对某一双星系统的光度学测量确定,该双星系统中每个星体的质量都是 M ,两 者相距 L 。他们正绕两者连线的中点作圆周运动。 1. 试计算该双星系统的运动周期 T计算 。 2. 若实验上观测到的运动周期为 T观测 , T观测 : 计算 ? : N ( N 1? 且 T 1 ) 。 为了解释 T观测 与 T计算 的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗 物质。 作为一种简化模型, 我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物 质, 而不考虑其它暗物质的影响。 试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质 的密度。

2、 (25 分)宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动,飞行器的质量比小行 星的质量小得很多,飞行器的速率为 v0 ,小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的 6 倍.有 人企图借助飞行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系,于是他便设计了如下方案:Ⅰ. 当 飞行器在其圆周轨道的适当位置时, 突然点燃飞行器上的喷气发动机, 经过极短时间后立即 关闭发动机,以使飞行器获得所需的速度,沿圆周轨道的切线方向离开圆轨道;Ⅱ. 飞行器 到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘,速度的方向和小行星在该处速度的方向相同, 正好可被小行星碰撞;Ⅲ. 小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰,不计燃烧的燃料质量. 1.试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系; 2.设在上述方案中,飞行器从发动机取得的能量为 E1 .如果不采取上述方案而是令飞 行器在圆轨道上突然点燃喷气发动机, 经过极短时间后立即关闭发动机, 以使飞行器获得足 够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系. 采用这种办法时, 飞行器从发 动机取得的能量的最小值用 E2 表示,问

E1 为多少? E2

3、 (20 分)有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想.其设想如下:沿地球的一 条弦挖一通道,如图所示.在通道的两个出口处 A 和 B ,分别将质量为 M 的物体和质量为 m 的待发射卫星同时自由释放,只要 M 比 m 足够大,碰撞后,质量为 m 的物体,即待发射 的卫星就会从通道口 B 冲出通道;设待发卫星上有一种装置,在待发 卫星刚离开出口 B 时,立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切 线的方向, 但不改变速度的大小. 这样待发卫星便有可能绕地心运动, 成为一个人造卫星.若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动, 则地心到该通道的距离为多少?己知 M =20 m ,地球半径 R0 =6400 km.假定地球是质量均匀分布的球体,通道是光滑的,两物体间的碰 撞是弹性的.

4、(20 分) 两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动,它们通过轨道上同一点的时间相 差半个周期.已知轨道近地点离地心的距离是地球半径 R 的 2 倍,卫星通过近地点时的速 度 v ? 3GM 4R ,式中 M 为地球质量,G 为引力常量.卫星上装有同样的角度测量仪, 可测出卫星与任意两点的两条连线之间的夹角. 试设计一种测量方案, 利用这两个测量仪测 定太空中某星体与地心在某时刻的距离. (最后结果要求用测得量和地球半径 R 表示)

5、 (25 分)从赤道上的 C 点发射洲际导弹,使之精确地击中北极点 N, 要求发射所用的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球 体,R=6400km。已知质量为 m 的物体在地球引力作用下作椭圆运动时, 其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为 E=-G Mm 式中 M 为地球质量,G 为
2a

引力常量。 1、假定地球没有自转,求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与从地心 O 到发射 点 C 的连线之间的夹角表示) 。 2、若考虑地球的自转,则最小发射速度的大小为多少? 3、试导出 E=-G Mm 。 2a

6、为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近,可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的
携带探测器的宇宙飞船, 要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内, 轨道的近日点 到太阳的距离为 0.01AU(AU 为距离的天文单位,表示太阳和地球之间的平均距离:1AU = 1.495 × 11 m) 10 ,并与地球具有相同的绕日运行周期(为简单计,设地球以圆轨道绕太阳运 动) .试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度 u0(发射速度是指在关闭火箭发动 机,停止对飞船加速时飞船的速度)发射此飞船,才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地 球绕太阳运行轨道附近 (也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上) 进入 符合要求的椭圆轨道绕日运行?已知地球半径 Re = 6.37 × 6 m ,地面处的重力加速度 g = 10 9.80 m / s2 ,不考虑空气的阻力.


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